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2020年湖南省郴州市中考数学试卷-

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2020年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是(

A．点A与点B
B．点A与点D
C．点C与点B
D．点C与点D
2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒(1秒1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为( A．1108秒
B．1109秒
C．10109秒
D．0.1109秒
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是(
A． B．

C． D．
4．（3分）下列运算正确的是( A．(a4a4
B．a2a3a6
C．826
D．2a33a25a5
5．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a//b的是(

A．13
B．24180
C．45
D．12
6．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码(cm 销售数量（双
24 2
24.5 7
25 18
25.5 10
26 8
26.5 3
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是(
第1页（共30页）



A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
7．（3分）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(

A．x22x1(x12 C．x22x1(x12
B．x21(x1(x1 D．x2xx(x1
8．（3分）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1k1(x0上任意一点，连接AO，过点xkkAOO作AO的垂线与双曲线y22(x0交于点B，连接AB，已知2，则1(
k2xBO
A．4
B．4
C．2
D．2
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）若分式1的值不存在，则x ． x110．（3分）已知关于x的一元二次方程2x25xc0有两个相等的实数根，则c ． 11．（3分）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有 件次品．
12．（3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分分别为：86，88，90，92，94，方差为S28.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成2 ． 绩的方差S新13．（3分）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：
第2页（共30页）



日期x（日 成绩y（个
1 40
2 43
3 46
4 49
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 ． 14．（3分）在平面直角坐标系中，将AOB以点O为位似中心，得到△A1OB1，已知A(2,3，则点A1的坐标是 ．
2为位似比作位似变换，3
15．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60，则圆锥主视图的面积为 ．

116．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD4，AB8．分别以点B，D为圆心，以大于BD2的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN ．

三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）
117．（6分）计算：(12cos45|12|(310．
318．（6分）解方程：x421． x1x119．（6分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AECF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．
第3页（共30页）




20．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：

（1）此次调查中，共抽查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中的度数；
（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）
21．（8分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD4000米，仰角为30．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：31.732，21.414．
第4页（共30页）




22．（8分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？
23．（8分）如图，ABC内接于O，AB是O的直径．直线l与O相切于点A，在l上取一点D使得DADC，线段DC，AB的延长线交于点E． （1）求证：直线DC是O的切线；
（2）若BC2，CAB30，求图中阴影部分的面积（结果保留．

124．（10分）为了探索函数yx(x0的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
x列表：
x

1 417
41 310
31 25
21 2
2 5
23 10
34 17
45 26
3
y
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：
第5页（共30页）




（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点(x1，y1，(x2，y2在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若0x1x21，则y1 y2；若1x1x2，则y1 y2； 若x1x21，则y1 y2（填“”，“ ”或“” ．
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元． ①请写出y与x的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？
25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ADC中，ADC90，AD4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为(090． （1）如图2，在旋转过程中，
①判断AGD与CED是否全等，并说明理由； ②当CECD时，AG与EF交于点H，求GH的长． （2）如图3，延长CE交直线AG于点P． ①求证：AGCP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
第6页（共30页）




26．（12分）如图1，抛物线yax2bx3(a0与x轴交于A(1,0，B(3,0，与y轴交于点C．已知直线ykxn过B，C两点． （1）求抛物线和直线BC的表达式； （2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设PDC的面积为S1，ADC的面积为S2，求S1的最大值； S2②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EFBC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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2020年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是(

A．点A与点B
B．点A与点D
C．点C与点B
D．点C与点D
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可． 【解答】解：3和3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点． 故选：B．
2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒(1秒1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为( A．1108秒
B．1109秒
C．10109秒
D．0.1109秒
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：1秒1000000000纳秒，
10纳秒101000000000秒0.000 00001秒1108秒．
故选：A．
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是(
A． B．

C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
第8页（共30页）



C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是( A．(a4a4
B．a2a3a6
C．826
D．2a33a25a5
【分析】直接利用合并同类法则以及二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算分别化简得出答案．
【解答】解：A、(a4a4，正确；
B、a2a3a5，故此选项错误；
C、822222，故此选项错误；
D、2a33a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；
故选：A．
5．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a//b的是(

A．13
B．24180
C．45
D．12
【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案． 【解答】解：A、当13时，c//d，故此选项不合题意；
B、当24180时，c//d，故此选项不合题意；
C、当45时，c//d，故此选项不合题意；
D、当12时，a//b，故此选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码(cm 销售数量（双
24 2
24.5 7
25 18
25.5 10
26 8
26.5 3
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是(
第9页（共30页）



A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数．
【解答】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数． 故选：C．
7．（3分）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(

A．x22x1(x12 C．x22x1(x12
B．x21(x1(x1 D．x2xx(x1
【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可． 【解答】解：由图可知， 图1的面积为：x212， 图2的面积为：(x1(x1， 所以x21(x1(x1． 故选：B．
8．（3分）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1k1(x0上任意一点，连接AO，过点xkkAOO作AO的垂线与双曲线y22(x0交于点B，连接AB，已知2，则1(
k2xBO第10页（共30页）




A．4
B．4
C．2
D．2
【分析】作ADx轴于D，BEx轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义得出11SAODk1，SBOEk2，然后通过证得BOE∽OAD，即可证得结论．
22【解答】解：作ADx轴于D，BEx轴于E， 点A是双曲线y1SAODk1k(x0上的点，点B是双曲线y22(x0上的点， xx1111|k1|k1，SBOE|k2|k2， 2222AOB90， BOEAOD90， AODOAD90， BOEOAD， BEOOAD90， BOE∽OAD，
S1OA(2， S2OB1k1222， 1k22k14， k2故选：B．

二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
第11页（共30页）



9．（3分）若分式1的值不存在，则x 1 ． x1【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值，进而得出答案． 【解答】解：若分式则x10， 解得：x1， 故答案为：1．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程2x25xc0有两个相等的实数根，则c
25 ．
81的值不存在， x1【分析】利用判别式的意义得到△(5242c0，然后解关于c的方程即可． 【解答】解：根据题意得△(5242c0， 解得c25． 825．
8故答案为：11．（3分）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有 20 件次品．
【分析】根据随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，可以计算出这批电子元件中大约有多少件次品． 【解答】解：1000220（件，
100即这批电子元件中大约有20件次品， 故答案为：20．
12．（3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分分别为：86，88，90，92，94，方差为S28.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成2 8.0 ． 绩的方差S新【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【解答】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，
28.0； 所得到的一组新数据的方差为S新第12页（共30页）



故答案为：8.0．
13．（3分）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系： 日期x（日 成绩y（个
1 40
2 43
3 46
4 49
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 y3x37 ．
【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式． 【解答】解：设该函数表达式为ykxb，根据题意得： kb40，
2kb43k3解得，
b37该函数表达式为y3x37．
故答案为：y3x37．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将AOB以点O为位似中心，4得到△A1OB1，已知A(2,3，则点A1的坐标是 (，2 ．
32为位似比作位似变换，3
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
2【解答】解：将AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A(2,3，
3点A1的坐标是：(2，2323，
34即A1(，2．
34故答案为：(，2．
315．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60，则圆锥主视图的面积为 48 ．
第13页（共30页）




【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答． 【解答】解：根据圆锥侧面积公式：Srl， 圆锥的母线长为10， 侧面展开图的面积为60， 故6010r， 解得：r6．
由勾股定理可得圆锥的高102628，
圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，
它的面积112848，
2故答案为：48．
116．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD4，AB8．分别以点B，D为圆心，以大于BD2的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN 25 ．

【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD4，AB8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DNBN，在RtADN中，根据勾股定理得DN的长，在RtDON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长． 【解答】解：如图，连接DN，
第14页（共30页）




在矩形ABCD中，AD4，AB8，
BDAB2AD245， 根据作图过程可知： MN是BD的垂直平分线， DNBN，OBOD25，
ANABBNABDN8DN，
在RtADN中，根据勾股定理，得 DN2AN2AD2，
DN2(8DN242， 解得DN5，
在RtDON中，根据勾股定理，得
ONDN2OD25， CD//AB， MDONBO， DMOBNO， ODOB，
DMOBNO(AAS， OMON5， MN25．
故答案为：25．
三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）
第15页（共30页）



117．（6分）计算：(12cos45|12|(310．
3【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式323222
2211
21．
18．（6分）解方程：x421． x1x1【分析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：x421， x1x1方程两边都乘(x1(x1，得 x(x14(x1(x1，
解得x3，
检验：当x3时，(x1(x180． 故x3是原方程的解．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AECF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．

【分析】四边形ABCD是菱形，可得ABBCCDDA，DCABCA，DACBAC，可以证明CDFCBF，DAEBFC，DCFBEA，进而证明平行四边形BEDF是菱形．
【解答】证明：四边形ABCD是菱形， BCCD，DCABCA， DCFBCF，
第16页（共30页）



CFCF，
CDFCBF(SAS，
DFBF，
AD//BC， DAEBCF， AECF，DAAB，
DAEBFC(SAS，
DEBF，
同理可证：DCFBEA(SAS，
DFBE，
四边形BEDF是平行四边形，
DFBF，
平行四边形BEDF是菱形．
20．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：

（1）此次调查中，共抽查了 200 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中的度数；
（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）
【分析】（1）从统计图可知，“A效果很好”的有80人，占调查人数的40%，可求出调查人数；
第17页（共30页）



（2）求出“C效果一般”的人数即所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“”的结果数，进而求出概率． 【解答】解：（1）8040%200（名， 故答案为：200；
（2）20080602040（名，3604072，补全条形统计图如图所示：
200
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”即：1人为A，1人为B的有2种， P1人认为效果很好,1人认为效果较好21． 12621．（8分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD4000米，仰角为30．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：31.732，21.414．
第18页（共30页）




【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB3x，在RtADO中，ADO30，AD4000，可得AO2000，DO20003，在RtBOC中，BCO45，可得BOOC，即可得20003x20003460，进而解得x的值． 【解答】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知： AB3x，
在RtADO中，ADO30，AD4000， AO2000， DO20003，
CD460，
OCODCD20003460，
在RtBOC中，BCO45， BOOC，
OBOAAB20003x， 20003x20003460，
解得x335（米/秒）．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．
22．（8分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？
第19页（共30页）



【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车(50m辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．
【解答】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨， xy540依题意，得：，
3x2y1380x300解得：．
y240答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨． （2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车(50m辆， 7m5(50m300依题意，得：，
3m7(50m2401解得：25m27．
2m为正整数，
m可以为25，26，27，
共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．
23．（8分）如图，ABC内接于O，AB是O的直径．直线l与O相切于点A，在l上取一点D使得DADC，线段DC，AB的延长线交于点E． （1）求证：直线DC是O的切线；
（2）若BC2，CAB30，求图中阴影部分的面积（结果保留．

第20页（共30页）



【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到DAB90，根据等腰三角形的性质得到DCODAO90，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到BOC2CAB60，根据等边三角形的性质得到OCOBBC2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
AB是O的直径．直线l与O相切于点A，
DAB90， DADC，OAOC，
DACDCA，OACOCA， DCAACODACCAO，
即DCODAO90， OCBD，
直线DC是O的切线；
（2）解：CAB30， BOC2CAB60， OCOB，
COB是等边三角形， OCOBBC2， CE3OC23，
图中阴影部分的面积SOCES扇形COB160222． 2232323603
124．（10分）为了探索函数yx(x0的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
x列表：
第21页（共30页）



x

1 417
41 310
31 25
21 2
2 5
23 10
34 17
45 26
3
y
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：

（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点(x1，y1，(x2，y2在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若0x1x21，则y1 y2；若1x1x2，则y1 y2； 若x1x21，则y1 y2（填“”，“ ”或“” ．
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元． ①请写出y与x的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？ 【分析】（1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可． （2）利用图象法解决问题即可．
（3）①总造价对面的造价侧面的造价，构建函数关系式即可． ②转化为一元二次不等式解决问题即可． 【解答】解：（1）函数图象如图所示：
第22页（共30页）




（2）若0x1x21，则y1y2；若1x1x2，则y1y2， 若x1x21，则y1y2． 故答案为，，．
21（3）①由题意，y1(2x0.51x(x0．
xx②由题意1xx0，
13.5，
x可得2x25x20， 解得：1x2，
21x2的范围内．
2长x应控制在25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ADC中，ADC90，AD4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为(090． （1）如图2，在旋转过程中，
①判断AGD与CED是否全等，并说明理由； ②当CECD时，AG与EF交于点H，求GH的长． （2）如图3，延长CE交直线AG于点P． ①求证：AGCP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
第23页（共30页）




【分析】（1）①结论：AGDCED．根据SAS证明即可．
②如图2中，过点A作ATGD于T．解直角三角形求出AT，GT，再利用相似三角形的性质求解即可．
（2）①如图3中，设AD交PC于O．利用全等三角形的性质，解决问题即可．
②因为CPA90，AC是定值，推出当ACP最小时，PC的值最大，推出当DEPC时，． ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中）【解答】解：（1）①如图2中，结论：AGDCED．

理由：四边形EFGD是正方形， DGDE，GDE90， DADC，ADC90， GDEADC， ADGCDE，
AGDCED(SAS．

②如图2中，过点A作ATGD于T．
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AGDCED，CDCE， ADAG4， ATGD， TGTD1，
ATAG2TG215， EF//DG， GHFAGT， FATG90， GFH∽ATG， GHFG，
AGATGH2，
415GH815．
15
（2）①如图3中，设AD交PC于O．

AGDCED， DAGDCE，
DCECOD90，CODAOP， AOPDAG90，
第25页（共30页）



APO90， CPAG．

②CPA90，AC是定值，
当ACP最小时，PC的值最大，
当DEPC时，ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），

CED90，CD4，DE2，
ECCD2DE2422223，
EFDE2，
CPCEEF223，
PC的最大值为223．
26．（12分）如图1，抛物线yax2bx3(a0与x轴交于A(1,0，B(3,0，与y轴交于点C．已知直线ykxn过B，C两点． （1）求抛物线和直线BC的表达式； （2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设PDC的面积为S1，ADC的面积为S2，求S1的最大值； S2②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EFBC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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【分析】（1）把A(1,0，B(3,0代可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3,0，C的坐标代即可求解；
（2）①设点D的坐标为(m,m3，利用待定系数法求得直线PA的表达式ym3m3m3m34m，解方程，xxx22x3，求得点P的横坐标为m1m1m1m1m1利用平等线分线段成比例定理求得S1SPDCS2SADC4mmPDMNm1m23m， DAAMm1(m12S1m23m设，整理得(t1m2(2t3mt0，根据△0，即可解决问题． t，则t2(m1S2②根据等腰直角三角形的性质求得的点F坐标为(2,1，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解．
ab30【解答】解：（1）把A(1,0，B(3,0代入yax2bx3得：，
9a3b30a1解得，
b2抛物线的表达式，yx22x3， 点C坐标为(0,3，
3kn0把B(3,0，C(0,3代入ykxn得：，
n3k1解得，
n3直的表达式：yx3．

（2）①PA交直线BC于点，
第27页（共30页）



设点D的坐标为(m,m3，
设直线PA的表达式为yk1xb1， k1b10，
mkbm311m3k1m1解得，
m3b1m1直线PA的表达式，ym3m3， xm1m1m3m3xx22x3， m1m14m(x10 m1整理得，(x解得x4m或1（不合题意，舍去）， m14m， m1点D的横坐标为m，点P的横坐标分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：

DM//PN，OMm，ONS1SPDCS2SADC4m，OA1， m14mmPDMNm1m23m， 2DAAMm1(m1S1m23mt，则t设
(m12S2整理得，(t1m2(2t3mt0， △0，
(2t324t(t10， 解得t
9
16第28页（共30页）


S19有最大值，最大值为． S216
②存在，理由如下：过点F作FGOB于G，如图2中，

yx22x3的对称轴为x1， OE1，
B(3,0，C(0,3
OCOB3，OCB90， OCB是等腰直角三角形， EFB90，BEOBOE2， OCB是等腰直角三角形， EGGBEG1，
点F的坐标为(2,1，
当EF为边时，
EFPQ为平行四边形， QEPF，QE//PF//y轴，
点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当x2时，y222233，
点P的坐标为(2,3，
QEPF312，
点Q的坐标为(1,2；
当EF为对角线时，如图3中，
第29页（共30页）




PEQF为平行四边形， QEPF，QE//PF//轴，
同理求得：点P的坐标为(2,， QEPF312，
点Q的坐标为(1,2；
综上，点P的标为(2,3，点Q的坐标为(1,2或(1,2；

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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6b6b686403d276a20029bd64783e0912a3167c6c.html

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