取整函数

. 一、取整函数的性质

⑴函数y=[x]的定义域为R，值域Z；

⑵若n∈Z，当n≤x

⑶当x12 时，恒有[x1]≤[x2]；

⑷x-1<[x]≤x<[x]+1；

⑸若n∈Z，则[n+x]=n+[x]，由这一性质可知f（x）=[x]是最小正周期为1的周期函数.

二、取整函数在求值中的应用

1. 求值；[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+．．．+[log250]

解析：由取整函数的性质⑵可得,当2n≤x<2n+1 (n∈Z)时,[x]=n,

所以[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+．．．+[log250]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+5×(50-31)=243

2. 由数[1/100]，[4/100]，[9/100]，[16/100]．．．．．．[10000/100]〕组成集合A，求集合A中的元素的个数。

解析：设f（n）=，则f（n+1)-f（n）=，

当n ≥50时f（n+1)-f（n）>1

所以[],[],...,[]是51个互不相等的数

当 1≤n≤49时f（n+1)-f（n）<1,且[f（1)]=0,[f（49）]=[24.01]=24

所以1≤n≤49时0≤[f（n）]≤24且能取到该范围内的任一个整数

所以集合A中的元素的个数为51+25=76.

点评：根据取整函数定义恰当进行分类，是解决以上两题的关键.

3、求的值.

解析：、、， 、

三、取整函数在函数的应用

. 4 、 定义f（x）=x-[x]，则以下结论正确的是（ ）

A. f（3）=1. B.方程f（x）=0.5有且仅有一个实根

C. f（x）是周期函数 D. f（x）是增函数.

解析：因为x∈Z时f（x）=0，所以排除A、D，又f（0.5）=f（1.5）=0.5，排除 B.选C.

点评：该题以取整函数为载体，综合考查函数的有关性质，试题新颖灵活.

5.用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数

的四个命题：

①函数的定义域为R，值域为；

②函数的图象关于y轴对称；

③函数是周期函数，最小正周期为1；

④函数在上是增函数．

其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）

答案：③④

7.已知f （x）=x[x]的定义域为[0，3]，求f（x）的值域.

解析：⑴当0≤x<1时[x]=0,f（x）=0;

⑵当1≤x<2时[x]=1,f（x）=x,此时1≤f（x)<2;

⑶当2≤x<3时[x]=2,f（x）=2x,此时4≤f（x）<6;

⑷当x=3时[x]=3,此时f（x）=9

.综上所述,f （x）的值域为{y|y=0或1≤y<2或 4≤y<6或y=9}.

点评：根据n≤x

8.设f（x）=-，则[f（x）]+[f（-x）]的值域为＿

解析：f（-x）=-=-=-=-=-f（x）.又0<<1,所以-.

当-

当0

当f（x）=0时[f（x）]+[f（-x）]=0.

综上所述,函数[f（x）]+[f（-x）]的值域为{-1、0}.

点评：本题以取整函数为载体,考查函数值域的求法及函数奇偶性的判定,内容基础,考查方式灵活.

9.对于给定的，定义，当时，函数的值域是

A． B. C. D.

解： 当时，，，当时，,

，于是答D.

10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数表示不大于的最大整数）可以表示为 （ B ）

A． B． C． D．

11.定义：若[x]表示不超过x的最大整数，则称函数y=[x]为“下取整”函数；若（x）表示表示不小于x的最小整数，则称函数y=（x）为“上取整”函数，例如[1.5]=1，(―2.3)= ―2,,(2.9)=3.

试用适当的符号表示如下的函数关系式：

某商场举办周年庆酬宾活动，活动规定：顾客当天在同一柜台购物，每满300元可少付100元，若顾客当天在该柜台购物价值x元，而他实际付款是y元，试建立y关于x的函数关系式。

一顾客拿着某超市的足够多的面值是20元的抵押劵去购物，超市规定使用抵押劵时不找零，该顾客功挑选了价值为x元的物品，全部用抵押劵支付，共付了y张，试建立y关于x的函数表达式。

解 , .

12.已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右边.

（1）求实数m的范围；

（2）令t=―m+2，求的值；

（3）对于（2）中的t，求函数的值域。

解 （1）；（2）因为 t=―m+2，所以 =0或1；

（3）当时，=1，；

当时，=0，这时，

（ⅰ）当时，，

（ⅱ）当，时，，

因为对是递增的，当n=2时取最小值是，而对是递减的，当n=2时取最大值是，

当n=2时是，亦即是所有区间的并集，即时，的值域是，联系当时，及t=1时，得的值域是。

13.，令，，进一步令，

，

（1）若，求，，.

（2）若，，，求的范围.

解：（1）若，则，，

；=，.

（2）若，则，即 ……………………

，，令=2，

得：，这样： …………………………

，

=，令，得：

这样： …………………………………………………

由、、得：.

14.设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是D

A． B． C． D．

四、不等式中的取整函数问题

15. 不等式2[x]2 -[x]-3 ≥0的解集为＿.

解析：该不等式可看作关于[x]的一元二次不等式，解得[x] ≥1或[x]≤-，所以x ≥1或x<-1 不等式2[x]2 -[x]-3 ≥0的解集为{x|x ≥1或x<-1}.

点评：由[x]≤-及[x]∈ Z得到[x]≤-2，再根据n≤x

16.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数. 例如，.那么“是“”的 （ Ａ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件? （D）既不充分也不必要条件

设[]表示不超过的最大整数（如［2］=2，［1.3］=1）,

17.已知函数，当时，实数的取值范围是 ▲ .

答案：

五、方程中的取整函数问题

18. 方程x2-[x]-2=0的解集为＿.

解析：由[x]≤x得x2-x-2≤0，即-1≤x≤2，又[x]∈Z，2∈Z，所以x2∈Z，因此x的可能取值为-1、0、1、、、2，经检验x取-1、、2时满足方程.所以方程x2-[x]-2=0的解集为{-1、、2 }.

19. 若a ≥0，则方程[2sinx]=[x]的解集是 ＿

解析：因为[2sinx] ∈ {0、1、2}且[2sinx]=[x]，所以0≤x<3,

⑴当0≤x<1时[x]=0=[2sinx],0≤x<,

⑵1≤x<,[x]=1=[2sinx],1≤x<.

⑶当≤x<3时[2sinx]=1=[x],)∪ [1,)∪ (,2).

点评：先根据题中所给条件缩小x 的取值范围，再进行求解是解决以上两题的关键.

20.解方程：；

解 原方程变为：

设，则，又设

，，如图，与在区间（1，4）内有一个交点，令

即，得：，又得，于是，方程的两个根是：

或.

21.解方程

解：令 ，则，带入原方程整理得：，由取整函数的定义有，解得：，则。

若，则；若，则。

注：本例中方程为[7]型的，通常运用取整函数的定义和性质并结合换元法求解。

22. 解方程

解：由取整函数的性质，得：，即，令，在同一坐标系中画出二者的图象：

分析两者在区间内的图象，

显然，当时，

而，方程不成立；当

时， ；当

时， ；当 时， 而，方程不成立。

综上所述，原方程的解是：。

注：本例为型方程。首先由，求出的取值区间。但此条件为原方程成立的充分但不必要条件，故还须利用和的图象进行分析才能得到正确结果。

23.解方程

解：若，则，原方程不成立；

若，则，原方程不成立；

若，则，原方程不成立；

若，则原方程即为；解得：；

若，则，原方程不成立；

所以，原方程的解为：。

注：此题采用的是分区讨论法

24.记号[x]表示不超过x的最大整数，则方程的解是

答案：[4，5]

25.将方程（表示不超过的最大整数）的实数解从小到大排列成，则

答案：,当时，，

∴，，∵，∴

由于，验证可知，此时，，此时

当时，无解

当时，，由于，故

又

∴

由 得

当时，不成立；又

易得，,∴，0

16

26.设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：

分析 要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)

　　 …，n[x]都是整数，所以x必是整数．

解 根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为

　　合并同类项得　　　

　　故有　　

所以x=n(n+1)为原方程的解．

六、数列中的取整函数问题

27.某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：

第k棵树种植在点处，其中，，当时，

，，

表示非负实数的整数部分，例如，，按此方案，第6棵树种植的坐标是____________，第2008棵树种植的坐标是_________________。

解 是1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，

是1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，

第6种植点是（1，2），第2008种植点是（3，402）。

28. 已知，，求最小的正整数n..

解 ，， ，，

…，，

于是，==

，计算得n取最小的正整数是9.

29.，，求前3n项的和；

解 ： =

=0+3+6+

=.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6d07f24dbc1e650e52ea551810a6f524ccbfcb42.html