2003年高考数学试题（全国理）及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知 （ ）

A． B． C． D．

2．圆锥曲线 （ ）

A． B． C． D．

3．设函数 （ ）

A．（－1，1） B．（－1，+）

C． D．

4．函数的最大值为 （ ）

A． B． C． D．2

5．已知圆的弦长为时，则a=

A． B． C． D．

6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

A． B． C． D．

7．已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，则（ ）

A．1 B． C． D．

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是 （ ）

A． B． C． D．

9．函数 （ ）

A． B．

C． D．

10．已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

11． （ ）

A．3 B． C． D．6

12．一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A．3 B．4 C．3 D．6

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13．展开式中的系数是 .

14．使成立的的取值范围是 .

15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区

域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共

有 种.（以数字作答）

16．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为具所在棱的中点，能得出⊥面MNP的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知复数z的辐角为60°，且是和的等比中项. 求.

18．(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.

19．（本小题满分12分）

已知 设

P：函数在R上单调递减.

Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.

20．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

21．（本小题满分14分）

已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分12分，附加题4分）

（Ⅰ）设中所有的数从小到大排列成的数列，

即

将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3

5 6

9 10 12

— — — —

— — — — —

（i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i）求.

（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）

设中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(理工农医类)答案

一、选择题

1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A

二、填空题

13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤

三、解答题：

17． 解：设，则复数由题设

18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

（Ⅱ）解：

19．解：函数在R上单调递减

不等式

20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为

此时台风侵袭的区域是 其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

即

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：①

直线GE的方程为：②

从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程

整理得当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。

当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值。

当时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2.

22．（本小题满分12分，附加题4分）

（Ⅰ）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48

（i i）解：设，只须确定正整数

数列中小于的项构成的子集为

其元素个数为满足等式的最大整数为14，所以取

因为100－

（Ⅱ）解：令

因

现在求M的元素个数：

其元素个数为：

某元素个数为

某元素个数为

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