随机事件及其概率（知识点总结）

随机事件及其概率

一、随机事件

1、必然事件

在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.

2、不可能事件

在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.

3、随机事件

在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母，，来表示随机事件.

4、确定事件

必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.

5、试验

为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.

【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.

（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.

（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.

二、基本事件空间

1、基本事件

在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.

2、基本事件空间

所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母来表示，中的每一个元素都是一个基本事件，并且中包含了所有的基本事件.

【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.

三、频率与概率

1、频数与频率

在相同条件下进行了次试验，观察某一事件是否出现，则称在次试验中事件出现的次数为事件出现的频数；事件出现的比例为事件出现的频率.

2、概率

对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，则把这个常数称为事件的概率，简称为的概率，记作.

3、频率与概率的关系

（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.

（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.

四、事件的关系与运算

1、包含关系

一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，则我们称

事件包含事件（或称事件包含于事件），记作（或）.

2、相等关系

一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，并且如果事件发生时，事件一定发生，即若且，则我们称事件与事件相等，记作.

3、并事件

如果某事件发生当且仅当事件或事件发生，则我们称该事件为事件与事件

的并事件（或和事件），记作（或）.

4、交事件

如果某事件发生当且仅当事件发生且事件也发生，则我们称该事件为事件

与事件的交事件（或积事件），记作（或）.

5、互斥事件

如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），则我们称事

件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中都不会同时发

生.

6、对立事件

如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），而事件与事件的并事件为必然事件（即），则我们称事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生.

【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件包含事件类比集合包含集合；事件与事件相等类比集合与集合相等；事件与事件的并事件类比集合与集合的并集；事件与事件的交事件类比集合与集合的交集……

五、互斥事件与对立事件

互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.

1、互斥事件与对立事件的关系

互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.

2、互斥事件的概率加法公式

（1）两个互斥事件的概率之和

如果事件与事件互斥，那么；

（2）有限多个互斥事件的概率之和

一般地，如果事件，，…，两两互斥，那么事件“发生”（指事件，，…，中至少有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即.

【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.

3、对立事件的概率加法公式

对于对立的两个事件与而言，由于在一次试验中，事件与事件不会同时发生，因此事件与事件互斥，并且，即事件或事件必有一个发生，所以对立事件与的并事件发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之和，且和为，即

，或.

【注】上述这个公式为我们求事件的概率提供了一种方法，当我们直接求有困难时，可以转化为先求其对立事件的概率，再运用公式即可求出所要求的事件的概率.

4、求复杂事件的概率的方法

求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.

六、概率的基本性质

1、任何事件的概率都在之间，即对于任一事件，都有.

2、必然事件的概率为，不可能事件的概率为.

3、若事件与事件互斥，则.

4、两个对立事件的概率之和为，即若事件与事件对立，则.

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