高中数学函数知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质:
要知道它的来历:若B为A的子集,则对于元素a1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a2, a3,……an,都有2种选择,所以,总共有
当然,我们也要注意到,这
(3)德摩根定律:
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
的取值范围。
7. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有nm个。
如:若
函数
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
函数定义域求法:
●分式中的分母不为零;
●偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
10. 如何求复合函数的定义域?
义域是_____________。
例若函数
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例 求函数y=
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:求函数y=
倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例 求函数y=
12. 求一个函数的解析式时,注明函数的定义域了吗?
切记:做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂
15 . 如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当c<0时,它们是反向变化的。
③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;(函数相加)
④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘)
⑤函数f(x)与
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。(同增异减)
⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f-1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。
f(g) | g(x) | f[g(x)] | f(x)+g(x) | f(x)*g(x) 都是正数 |
增 | 增 | 增 | 增 | 增 |
增 | 减 | 减 | / | / |
减 | 增 | 减 | / | / |
减 | 减 | 增 | 减 | 减 |
17. 函数f(x)具有奇偶性的条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
(3)f(x)是定义域在(-6,0),(0,6)上的奇函数,若x>0时f(x)= 求x<0时f(x)
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.
二、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算
三、复合函数奇偶性
f(g) | g(x) | f[g(x)] | f(x)+g(x) | f(x)*g(x) |
奇 | 奇 | 奇 | 奇 | 偶 |
奇 | 偶 | 偶 | 非奇非偶 | 奇 |
偶 | 奇 | 偶 | 非奇非偶 | 奇 |
偶 | 偶 | 偶 | 偶 | 偶 |
18.函数,T是一个周期。)
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t. 推导:
同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函数f(x)关于直线对称,对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如:
19. 你掌握常用的图象变换了吗?
联想点(x,y),(-x,y)
联想点(x,y),(x,-y)
联想点(x,y),(-x,-y)
联想点(x,y),(y,x)
联想点(x,y),(2a-x,y)
联想点(x,y),(2a-x,0)
注意如下“翻折”变换:
19.
(k为斜率,b为直线与y轴的交点)
的双曲线。
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
利用它的单调性求最值
21. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x,
2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、求奇偶性,令y=—x;求单调性:令x+y=x1
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y)
2.幂函数型的抽象函数
f(x)=xa----------------f(xy)=f(x)f(y);f(
例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2求f(x)在区间[-2,1]上的值域.
例2已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)= 5,求不等式f(a2-2a-2)<3的解.
例3已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1].
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤
例4设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2);对任何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求:
(1)f(0);
(2)对任意值x,判断f(x)值的符号.
例5是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)=f(a)f(b),a、b∈N;③f(2)=4.同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明理由.
例6设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(x·y)=f(x)+f(y),f(3)=1,求:
(1)f(1);
(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围.
例7设函数y=f(x)的反函数是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由.
例9已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),
(1)求证:f(1)=f(-1)=0;
(2)求证:f(x)为偶函数;
(3)若f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(x-
例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)·f(y),且当x<0时,f(x)>1,求证:
(1)当x>0时,0<f(x)<1;
(2)f(x)在x∈R上是减函数.
练习题:
1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x、y都成立,则()
(A)f(0)=0 (B)f(0)=1
(C)f(0)=0或1 (D)以上都不对
2. 若对任意实数x、y总有f(xy)=f(x)+f(y),则下列各式中错误的是()
(A)f(1)=0 (B)f(
(C)f(
3.已知函数f(x)对一切实数x、y满足:f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y),且当x<0时,f(x)>1,则当x>0时,f(x)的取值范围是()
(A)(1,+∞)(B)(-∞,1)
(C)(0,1)(D)(-1,+∞)
4.函数f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有
f(x1-x2)=
(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则函数f(x)是()
(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数
函数
1. 函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)= ;
(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则 (可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2. 复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:若已知 的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;
(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时,f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2 的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2 的周期函数;
5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);
6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );
8. 判断对应是否为映射时,抓住两点:(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9. 能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。
10.对于反函数,应掌握以下一些结论:(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
12. 依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题: (或 (或 );
13. 恒成立问题的处理方法:(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/78e2b3daf38583d049649b6648d7c1c709a10bf1.html
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