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2012年湖南省高考数学试卷(文科)答案与解析

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2012年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析


一、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分） 1．（5分）（2012•湖南）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=（ ） A． { ﹣1，0，1} B． {0，1} C． {1} D． {0}
考点：交集及其运算． 专题：计算题． 分析：集合M与集合N的公共元素，构成集合M∩N，由此利用集合M={﹣1，0，1}，
N={x|x2=x}={0，1}，能求出M∩N． 解答： 解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={0，1}，
∴M∩N={0，1}， 故选B． 点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2．（5分）（2012•湖南）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是（ ） A． ﹣ 1﹣i B． ﹣1+i C． 1﹣i D． 1+i
考点：复数的基本概念． 专题：计算题． 分析： 由z=i（i+1）=i2+i=﹣1+i，能求出复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数． 解答： 解：∵z=i（i+1）=i2+i=﹣1+i，
∴复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是﹣1﹣i． 故选A． 点评：本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

3．（5分）（2012•湖南）命题“若α= A．

若α≠，则tanα≠1
，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
B．
若α=，则tanα≠1
C．

若tanα≠1，则α≠D．
若tanα≠1，则α=
考点：四种命题间的逆否关系． 专题：简易逻辑． 分析：原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a． 解答：
解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．
故选C． 点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．


4．（5分）（2012•湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）

A．

B．
C．
D．




考点：简单空间图形的三视图． 专题：作图题． 分析：由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不
吻合的为正确选项 解答：解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A
若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B； 若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C 若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D； 故选C 点评：本题主要考查了简单几何体的构成和简单几何体的三视图，由组合体的三视图，判断
组合体的构成的方法，空间想象能力，属基础题 5．（5分）（2012•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A． y与x具有正的线性相关关系 B． 回归直线过样本点的中心（，） C． 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D． 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
考点：回归分析的初步应用． 专题：阅读型． 分析：
根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定． 解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；

对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；
对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；

对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确 故选D． 点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．

6．（5分）（2012•湖南）已知双曲线C：近线上，则C的方程为（ ） A．


C．


D．

的焦距为10，点P（2，1）在C的渐B．


考点：双曲线的标准方程． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：
利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程． 解答：
解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，
∴a2+b2=25，∴b=，a=2=1，

．
∴双曲线的方程为故选：A． 点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基
础题． 7．（5分）（2012•湖南）设 a＞b＞1，C＜0，给出下列三个结论： ①＞；
②ac＜bc；

③logb（a﹣c）＞loga（b﹣c）．
其中所有的正确结论的序号（ ）
①② A． ① B．

②③ C． ①②③ D．

考点：不等式比较大小． 专题：计算题． 分析： 利用作差比较法可判定①的真假，利用幂函数y=xc的性质可判定②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假． 解答：
解：①﹣=，∵a＞b＞1，c＜0∴﹣=＞0，故＞正确；
②考查幂函数y=xc，∵c＜0∴y=xc在（0，+∞）上是减函数，而a＞b＞0，则ac＜bc正确；
③当a＞b＞1时，有logb（a﹣c）＞logb（b﹣c）＞loga（b﹣c）；正确． 故选D． 点评：本题主要考查了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题．

8．（5分）（2012•湖南）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（ ） A． B． C． D．


考点：解三角形． 专题：计算题；压轴题． 分析： 在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB可求AB=3，作AD⊥BC，则在Rt△ABD中，AD=AB×sinB 解答： ：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB 解把已知AC=，BC=2 B=60°代入可得，7=AB2+4﹣4AB×
整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0 ∴AB=3 作AD⊥BC垂足为D Rt△ABD中，AD=AB×sin60°=即BC边上的高为故选B
，

点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基
础试题


9．（5分）（2012•湖南）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（ ） A． 2 B． 4 C． 5 D． 8

考点：函数的单调性与导数的关系；根的存在性及根的个数判断． 专题：综合题；压轴题． 分析：
根据x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，确定函数的单调性，利用函数的图形，即可得到结论． 解答：
解：∵x∈（0，π），且x≠时，（x﹣∴x∈（0，），函数单调减，x∈（）f′（x）＞0， ，π），函数单调增，
∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1， 在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图象如下，

由图知y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为4个． 故选：B． 点评：本题考查函数的单调性， 考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．

二、填空题（共7小题，满分30分）（10-11为选做题，两题任选一题，12-16为必做题） 10．（5分）（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=
．

考点：简单曲线的极坐标方程． 专题：计算题． 分析： 根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值． 解答： 解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，
∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0， ∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0） ∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2

∵曲线C1：ρ（∴令y=0则x=解得a=

cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上
，点（，0）在圆x2+y2=a2上
故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，
同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题． 11．（2012•湖南）某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃～63℃．精确度要求±1℃．用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为 7 ．

考点：优选法的概念． 专题：计算题． 分析：由题知试验范围为[29，63]，可得区间长度为34，将其等分34段，共有33个分点，
由分数法的最优性定理可得结论． 解答：解：由已知试验范围为[29，63]，可得区间长度为34，将其等分34段，共有33个分
点
由分数法的最优性定理可知F8=33，即通过7次试验可从这33个分点中找出最佳点． 故答案为：7． 点评：本题考查的是分数法的简单应用．一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考
虑：（1）可能的试点总数正好是某一个（Fn﹣1）．（2）所有可能的试点总数大于某一（Fn﹣1），而小于（Fn+1﹣1）．用分数法安排试验，一旦确定第一个试点，后续的试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定． 12．（5分）（2012•湖南）不等式x2﹣5x+6≤0的解集为 {x|2≤x≤3} ．

考点：一元二次不等式的解法． 专题：计算题． 分析：把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转
化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集． 解答： 解：不等式x2﹣5x+6≤0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣3）≤0，
可化为：或，
解得：2≤x≤3，
则原不等式的解集为{x|2≤x≤3}． 故答案为：{x|2≤x≤3}． 点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，同时考查了计算能
力，属于基础题之列．


13．（5分）（2012•湖南）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 6.8 ． （注：方差xn的平均数）


考点：茎叶图；极差、方差与标准差． 专题：计算题． 分析：根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差
的个数，求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差． 解答：
解：∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是=11 +…+，其中为x1，x2，…，∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]
=[9+4+1+4+16]
=6.8 故答案为：6.8． 点评：本题考查一组数据的方差，考查读茎叶图，这是经常出现的一种组合，对于一组数据
通常要求这组数据的平均数，方差，标准差，本题是一个基础题． 14．（5分）（2012•湖南）如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i= 4 ．


考点：循环结构． 专题：计算题． 分析：计算循环中x，与i的值，当x＜1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可． 解答：解：循环前x=3.5，不满足判断框条件，

第1次循环，i=2，x=2.5，

第2次判断后循环，i=3，x=1.5，
第3次判断并循环i=4，x=0.5，满足判断框的条件退出循环，输出i=4． 故答案为：4． 点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力． 15．（5分）（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则= 18 ．


考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；压轴题． 分析：设AC与BD交于O， 则AC=2AO，在RtAPO中，由三角函数可得AO与AP的关系，代入向量的数量积=||||cos∠PAO可求
解答：解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO
∵AP⊥BD，AP=3，
在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3 ∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2|=||=6，
|||cos∠PAO=3×6=18 由向量的数量积的定义可知，故答案为：18
点评：本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用，解题的关键在于发现规律：
AC×cos∠OAP=2×AOcos∠OAP=2AP．

16．（5分）（2012•湖南）对于n∈N*，将n表示为n=+…+，当i=k时，ai=1，当0≤i≤k﹣1时，ai为0或1．定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0． （1）b2+b4+b6+b8= 3 ；
（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是 2 ．


考点：数列的应用；数列的函数特性． 专题：压轴题；新定义． 分析： （1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，从而b2=1，b4=1，b6=0，b8=1，故可求b2+b4+b6+b8的值；
（2）设{bn}中第m个为0的项为bi，即bi=0，构造二进制数（i）10=（akak﹣1…a1a0）2，则akak﹣1…a1a0中1的个数为偶数，再进行分类讨论：当a2a1a0=000时，cm=2；当a2a1a0=001时，cm=0；当a2a1a0=010时，cm=1；当a2a1a0=011时，cm=0；当a2a1a0=100时，cm=2；当a2a1a0=101时，cm=0；当a0=0，前面有奇数个1时，cm=1； 当a0=0，前面有偶数个1时，cm=2；当末位有奇数个1时，cm=1；当末位有偶数个1时，cm=0，由此可得cm的最大值． 解答： 解：（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，∴b2=1，b4=1，b6=0，b8=1 ∴b2+b4+b6+b8=3 （2）设{bn}中第m个为0的项为bi，即bi=0，构造二进制数（i）10=（akak﹣1…a1a0）则akak﹣1…a1a0中1的个数为偶数，当a2a1a0=000时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2； 2，当a2a1a0=001时，bi+1=0，cm=0；当a2a1a0=010时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；当a2a1a0=011时，bi+1=0，cm=0；当a2a1a0=100时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；当a2a1a0=101时，bi+1=0，cm=0；当a0=0，前面有奇数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1； 当a0=0，前面有偶数个1时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；当末位有奇数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；当末位有偶数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=0；故cm的最大值为2． 点评：对于新定义型问题，正确理解新定义传递的信息是解题的突破口．

三、解答题（共6小题，满分75分） 17．（12分）（2012•湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示． 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分钟/人 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）

考点：概率的应用；众数、中位数、平均数． 专题：应用题；概率与统计． 分析：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，进而可求顾客一次购物
的结算时间的平均值；
（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式即可得到结论． 解答：解： （Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；
顾客一次购物的结算时间的平均值为=1.9（分钟）；

（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；
A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；
将频率视为概率可得P（A1）；P（A2）=；P（A3）=
∴P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=0.15+0.3+0.25=0.7 ∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7． 点评：本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查互斥事件，将事件分拆成互斥事件
的和是解题的关键，属于中档题．

18．（12分）（2012•湖南）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．
）的部

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；复合三
角函数的单调性． 专题：计算题． 分析：
（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点（，0）和（0，1）代入解析式，分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可；
（II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间 解答：
解：（I）由图象可知，周期T=2（﹣）=π，∴ω==2 ∵点（∴sin（∵0＜φ＜，0）在函数图象上，∴Asin（2×+φ）=0，∴
+φ）=0 ，k∈z +φ=π+kπ，即φ=kπ+
∴φ=
=1，A=2 ）
）+]=2sin2x﹣2sin（2x+）
∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+（II）g（x）=2sin[2（x﹣=2sin2x﹣2（sin2x+=2sin（2x﹣由﹣）
≤
）﹣f（x++2kπ，k∈z ）+]﹣2sin[2（x+cos2x cos2x）=sin2x﹣+2kπ≤2x﹣≤x≤kπ+得kπ﹣∴函数g（x）=f（x﹣）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈z 点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，根据图象求函数的解析式，
利用函数解析式求复合三角函数单调区间的方法，属基础题 19．（12分）（2012•湖南）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD． （Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．


考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角． 专题：计算题；证明题． 分析：（1）由PA⊥平面ABCD，AC⊥BD可证得BD⊥平面PAC，从而证得BD⊥PC；

（2）设AC∩BD=O，连接PO，由BD⊥平面PAC可得∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，于是∠DPO=30°，从而有PD=2OD，于是可证得△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而可求得梯形ABCD的高，继而可求SABCD，VP﹣ABCD． 解答：解： （Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD；

又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线， ∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC， ∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角， ∴∠DPO=30°，
由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°得PD=2OD．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，
∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（4+2）=3，
于是SABCD=×（4+2）×3=9． 在等腰三角形AOD中，OD=∴PD=2OD=4，PA=AD=2，
=4，
∴VP﹣ABCD=SABCD×PA=×9×4=12．

点评：本题考查直线与平面垂直判定定理与性质性质定理， 考查直线与平面所成的角的应用与锥体体积，突出对分析、推理与计算能力的考查与应用，属于中档题． 20．（13分）（2012•湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． （Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．

考点：数列的应用；根据实际问题选择函数类型．


专题：计算题；综合题． 分析：
（Ⅰ）由题意可求得a1=2000（1+50%）﹣d，a2=a（﹣d=，…从而归纳出an+1=an11+50%）﹣d．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an﹣1﹣d=（an﹣2﹣d）﹣d=…=a1﹣d[1+++…+]，利用等比数列的求和公式可求得an=（3000﹣3d）+2d，再结合题意am=4000， 即可确定企业每年上缴资金d的值． 解答： 解：（Ⅰ）由题意得：a1=2000（1+50%）﹣d=3000﹣d，
a2=a1（1+50%）﹣d=a1﹣d=4500﹣d， …
an+1=an（1+50%）﹣d=an﹣d． （Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an﹣1﹣d =（an﹣2﹣d）﹣d ==… =a1﹣d[1+++…+]
an﹣2﹣d﹣d 整理得：an==（3000﹣d）﹣2d[（3000﹣3d）+2d．
﹣1]
由题意，am=4000，即（3000﹣3d）+2d=4000．
解得d==，
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元． 点评：
本题考查数列的应用，着重考查归纳思想的运用，求得an+1=an﹣d是关键，递推关
系的综合应用是难点，突出转化与运算能力的考查，属于难题．

21．（13分）（2012•湖南）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2﹣4x+2=0的圆心． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2．当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 专题：综合题；压轴题． 分析： Ⅰ）确定x2+y2﹣4x+2=0的圆心C（2，0）（，设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，利用离心率为，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2=，由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切，可得同理可得是方程，，从而k1，k2的两个实根，进而，利用，即可求得点P的坐标．
解答： ：解（Ⅰ）由x2+y2﹣4x+2=0得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心C（2，0）
设椭圆E的方程为：∵，∴a=4，
，其焦距为2c，则c=2，
∴b2=a2﹣c2=12 ∴椭圆E的方程为：
（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1：y﹣y0=k1（x﹣x0） l2：y﹣y0=k2（x﹣x0），且k1k2= 由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切得

∴同理可得从而k1，k2是方程根 所以①，且

的两个实
∵∴∴x0=﹣2或，
，

得满足①
）或（）
由x0=﹣2得y0=±3；由故点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣3），或（点评： 题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，解题的关键是确定k1，k2是方程本的两个实根，属于中档题．


22．（13分）（2012•湖南）已知函数f（x）=ex﹣ax，其中a＞0． （1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合； （2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=K恒成立．

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 专题：计算题；压轴题． 分析：（1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x）=0，令f′（x）=0，解可得x=lna，分x＜
lna与x＞lna两种情况讨论可得f（x）取最小值为f（lna）=a﹣alna，令g（t）=t﹣tlnt，对其求导可得g′（t）=﹣lnt，分析可得当t=1时，g（t）取得最大值1，因此当且仅当a=1时，a﹣alna≥1成立，即可得答案；
（2）根据题意，由直线的斜率公式可得k=﹣a，令φ（x）=f′（x）﹣k=ex﹣，可以求出φ（x1）与φ（x2）的值，令F（t）=et﹣t﹣1，求导可得F′（t）=et﹣1，
分t＞0与t＜0讨论可得F（t）的最小值为F（0）=0，则当t≠0时，F（t）＞F（0）
=0，即et﹣t﹣1＞0，进而讨论可得φ（x1）＜0、φ（x2）＞0，结合函数的连续性分析可得答案． 解答： 解：（1）f′（x）=ex﹣a，
令f′（x）=0，解可得x=lna；
当x＜lna，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞lna，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 故当x=lna时，f（x）取最小值，f（lna）=a﹣alna， 对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当a﹣alna≥1，① 令g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
故当t=1时，g（t）取得最大值，且g（1）=1， 因此当且仅当a=1时，①式成立， 综上所述，a的取值的集合为{1}．
（2）根据题意，k==﹣a，
令φ（x）=f′（x）﹣k=ex﹣，
则φ（x1）=﹣[﹣（x2﹣x1）﹣1]，
φ（x2）=[﹣（x1﹣x2）﹣1]，
令F（t）=et﹣t﹣1，则F′（t）=et﹣1，
当t＜0时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F′（t）＞0，F（t）单调递增， 则F（t）的最小值为F（0）=0，
故当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即et﹣t﹣1＞0， 从而﹣（x2﹣x1）﹣1＞0，且＞0，则φ（x1）＜0，
﹣（x1﹣x2）﹣1＞0，＞0，则φ（x2）＞0，
因为函数y=φ（x）在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈（x1，x2），使φ（x0）=0， 即f′（x0）=K成立． 点评：本题考查导数的应用，涉及最大值、最小值的求法以及恒成立问题，是综合题；关键
是理解导数的符号与单调性的关系，并能正确求出函数的导数．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/86dcd9b6f41fb7360b4c2e3f5727a5e9856a270f.html

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