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2012高考湖南理科数学试题及答案(高清版)

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2012高考湖南理科数学试题及答案(高清版


2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试
数学理工农医类(湖南卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N等于(

A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} 2．命题“若π，则tanα＝1”的逆否命题4是(

πA．若π，则tanα≠1 B．若，44则tanα≠1 C．若tanα≠1，则π D．若tanα≠1，4则π
43．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(


4．设某大学的女生体重y(单位：kg与身高x(单位：cm具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi(i＝1，2，…，n，用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x85.71，则下列结论中不正






D．44
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
(一选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分
9．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：xt1，xasin，(t为参数与曲线C：(θ为参数，a2y12ty3cos3＞0有一个公共点在x轴上，则a＝________. 10．不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为__________________．
11．如图，过点P的直线与O相交于A，B两点，若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则O的半径等于________．
(二必做题(12～16题
12．已知复数z＝(3＋i2(i为虚数单位，则|z|＝________. 13． (2x1的二项展开式中的常数项为6
x________．(用数字作答
14．如果执行如图所示的程序框图，输入x＝－1，n＝3，则输出的数S＝________.



理
图

文图
15．函数f(x＝sin(ωx＋φ的导函数y＝f′(x的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．

33(1若π，点P的坐标为(0，，则ω＝26________；
(2若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．
16．设N＝2n(n∈N*，n≥2，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位


于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放N入对应的前N和后个位置，得到排列P1＝22x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为C变换．将P1分成两段，每段N个数，并对每段作C变换，2得到P2；当2≤i≤n－2时，将Pi分成2i段，每N段2个数，并对每段作C变换，得到Pi＋1.例如，i当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．
(1当N＝16时，x7位于P2中的第________个位置；
(2当N＝2n(n≥8时，x173位于P4中的第________个位置．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次17件
1至5至9至 13至 购
及以4件 8件 12件 16件 物量 上 顾客 数x 30 25 y 10 (人
结算1 1.5 2 2.5
3 时间



(分钟/人
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
(2若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1证明：CD⊥平面PAE；
(2若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
19．已知数列{an}的各项均为正数，记A(n＝a1＋a2＋…＋an，B(n＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，…. (1若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n，B(n，C(n组成等差数列，求数列{an}的通项公式；




(2证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n，B(n，C(n组成公比为q的等比数列．
20．某企业接到生产3 000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k(k为正整数．
(1设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；
(2假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
21．在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－52＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
(1求曲线C1的方程；
(2设P(x0，y0(y0≠±3为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
22．已知函数f(x＝eax－x，其中a≠0.


(1若对一切x∈R，f(x≥1恒成立，求a的取值集合；
(2在函数f(x的图象上取定两点A(x1，f(x1，B(x2，f(x2(x1＜x2，记直线AB的斜率为k.问：是否存在x0∈(x1，x2，使f′(x0＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．

1． B 由N＝{x|x2≤x}，得x2－x≤0⇒x(x－1≤0，
解得0≤x≤1.又∵M＝{－1,0,1}， ∴M∩N＝{0,1}． 2． C 命题“若π，则tanα＝1”的逆否4命题是“若tanα≠1，则π”．
43． D 若为D项，则主视图如图所示，故不可能是D项．

4． D D项中，若该大学某女生身高为170 cm，则其体重约为：0.85×170－85.71＝
58．79(kg．故D项不正确． 5． A 由2c＝10，得c＝5，
x上， ∵点P(2,1在直线yba∴12ab.又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5. 故C的方程为
x2y21205.

6． B f(x＝sinx－cos(x＋π 6＝sinx(＝＝＝31cosxsinx2233sinxcosx22313(sinxcosx22π3sin(x[3,3]6


．
故选B项．
BC|cos(πB2|BC|(cosB1， 7． A ∵ABBC|AB||
1∴cos B2|BC. |又∵＝|AB|2|BC|2|AC|2cosB2|AB||BC|4|BC|29122|BC|2|BC|2，
∴|BC|=3. ∴BC|BC|=3. 8． B 由题意作出如下的示意图．

由图知a＝|xA－xC|，b＝|xD－xB|， 又∵xA·xB＝1，xC·xD＝1， ∴
11|xxAb1Ca|xAxC||xAxC||. yA＋yC＝－log2xA－log2xC


7＝－log2xAxC＝m2m812m212m811， 22当且仅当2m212m81，即m3时取等号．
27由－log2xAxC≥7，得logxx≤，即0＜2AC22xAxC≤2
1从而ba|xx72AC|28272，
b当m3时，取得最小值82，故选B项． a29．答案：3
2xt1,解析：∵C1：∴C1的方程为2x＋y－3y12t,＝0. ∵C2：xasin,y3cos,∴C2的方程为x2y212a9. ∵C1与C2有一个公共点在x轴上，且a＞0，
∴C1与x轴的交点(3，0在C2上， 2代入解得a3. 210．答案：{x|x＞1} 4解析：对于不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0，分三种情况讨论：
1°，当x1时，－2x－1－2(－x＋1＞0，
2即－3＞0，故x不存在；
x1时，2x＋1－2(－x＋1＞0， 2°，当12x1； 即143°，当x＞1时，2x＋1－2(x－1＞0,3＞0， 故x＞1.


1综上可知，x1，不等式的解集是xx． 4411．答案：6
解析：过P作圆的切线PC切圆于C点，连结OC．

∵PC2=PA·PB=1×3=3， ∴PC3. 在Rt△POC中，OCPOPC6. 12．答案：10 解析：∵z＝(3＋i2，∴|z|＝32＋12＝10. 13．答案：－160 解析：(2x1的通项为TC(2x(1
226xr1r66rrx＝(－1C2x.当3－r＝0时，r＝3. 36－3故(－1C2＝－C23＝－160. 14．答案：－4 解析：输入x＝－1，n＝3. i＝3－1＝2，S＝6×(－1＋2＋1＝－3； i＝2－1＝1，S＝(－3×(－1＋1＋1＝5； i＝1－1＝0，S＝5×(－1＋0＋1＝－4； i＝0－1＝－1，－1＜0，输出S＝－4. 15．答案：(13 (2π f(x＝sin(ωx＋φ，f′(x4r63636r6－r3－r＝ωcos(ωx＋φ．
π解析：(1π时，f′(x＝ωcos(ωx＋． 66


33∵f'(0323，即cosπ，∴ω＝3. 62(2当ωx＋φ＝π时，2当ωx＋φ＝32π时，π2x；
3πx2.
由几何概型可知，该点在△ABC内的概率为
P3π2π21|AC|||2[0cos(x]12π1||||223π2sin(x
π2＝3ππ22sin(sin(π2
＝＝3ππsin(sin(22π2π114π2
. 16．答案：(16 (23×2＋11 解析：(1由题意知，当N＝16时，P0＝x1x2x3x4x5…x16，P1＝x1x3x5…x15x2x4…x16，则
P2＝x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16，

n－4

此时x7位于P2中的第6个位置．
(2方法同(1，归纳推理知x173位于P4中的n－4第3×2＋11个位置．
17．解：(1由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20，
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本．将频率视为概率得
153303251，P(X1P(X1.5，P(X2， 10020300101004P(X2.52011005101，P(X3100. 10X的分布列为
1.2.X 1 2 3 5 5 33111 P 20104510
X的数学期望为
33111EX＝1＋1.5＋2＋2.5＋3＝1.9. 20104510 (2记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i＝1,2为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则
P(A＝P(X1＝1且X2＝1＋P(X1＝1且X2＝1.5＋P(X1＝1.5且X2＝1．
由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以
P(A＝P(X1＝1×P(X2＝1＋P(X1＝1×P(X2＝1.5＋P(X1＝1.5×P(X2＝1


3333339＝20. 202010102080故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟9的概率为80. 18．解：解法一：(1如图所示，连接AC．由AB=4，BC=3，∠ABC=90°得AC=5.又AD=5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD．而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
(2过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连结PF. 由(1CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE. 由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．
由题意∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝PABF，sin∠BPF＝，所以PA＝BF. PBPB由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC． 又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形．
故GD＝BC＝3，于是AG＝2.


在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以
AB1685. BGABAG25，BFBG522225于是PA＝BF＝855. 又梯形ABCD的面积为S＝1×(5＋3×4＝216，所以四棱锥P－ABCD的体积为
11851285VSPA16. 33515解法二：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0，B(4,0,0，C(4,3,0，D(0,5,0，E(2,4,0，P(0,0，h．

(1易知CD＝(－4,2,0，AE＝(2,4,0，AP＝(0,0，h．
因为CDAE＝－8＋8＋0＝0，CDAP＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. (2由题设和(1知，CD，PA分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面


ABCD所成的角相等，所以
|cosCD,PB||cosPA,PB|，
即CDPBCDPBPAPBPAPB. 由(1知，CD＝(－4,2,0，PA＝(0,0，－h． 又PB＝(4,0，－h，故 160000h||||. 2解得2516h285h5h16h2. 又梯形ABCD的面积为S＝1×(5＋3×4＝216，所以四棱锥P－ABCD的体积为 11851285VSPA16. 3351519．解：(1对任意n∈N*，三个数A(n，B(n，C(n是等差数列，所以
B(n－A(n＝C(n－B(n，
即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4. 故数列{an} 是首项为1，公差为4的等差数列．
于是an＝1＋(n－1×4＝4n－3. (2①必要性：若数列{an}是公比为q的等比数列，则对任意n∈N*，有an＋1＝anq.由an＞0知，A(n，B(n，C(n均大于0，于是
q(aa…aB(naa…aq， A(naa…aaa…a23n1n12n1212nC(na3a4…an2q(a2a3…an1qB(na2a3…an1a2a3…an1，



(nC(nq.所以三个数A(n，B(n，C(n即BA(nB(n组成公比为q的等比数列．
②充分性：若对任意n∈N*，三个数A(n，B(n，C(n组成公比为q的等比数列，则
B(n＝qA(n，C(n＝qB(n．
于是C(n－B(n＝q[B(n－A(n]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1，即
an＋2－qan＋1＝a2－qa1. 由n＝1有B(1＝qA(1，即a2＝qa1，从而an＋2－qan＋1＝0. aq. 因为an＞0，所以aaan2n121故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．
综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n，B(n，C(n组成公比为q的等比数列．
20．解：(1设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间(单位：天分别为T1(x，T2(x，T3(x，由题设有
15002300010002000T(x，，， T(xT(x200(1kx6xxkx123其中x，kx,200－(1＋kx均为1到200之间的正整数．
(2完成订单任务的时间为f(x＝
max{T1(x，T2(x，T3(x}，其定义域为{x|0*＜x＜1200，x∈N}．易知，TT1(x，2(x为减函数，k


2T3(x为增函数．注意到T2(x＝kT1(x，于是
①当k＝2时，T1(x＝T2(x，此时
f(x＝max{T1(x，T3(x} 1500＝max{1000}．
,x2003x1500由函数T1(x，T3(x的单调性知，当1000x2003x时f(x取得最小值，解得x400. 9250由于44400，f(4545，而f(44＝T1(44＝119＝T3(45＝300，f(44＜f(45．
13故当x＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44＝250. 11②当k＞2时，T1(x＞T2(x，由于k为正整数，故k≥3，此时
15001500375. 200(1kx200(13x50x375记T(x50，φ(x＝max{T1(x，T(x}，易知xT(x是增函数，则
f(x＝max{T1(x，T3(x}≥max{T1(x，T(x} 375＝φ(x＝max{1000}．
,x50x375由函数T1(x，T(x的单调性知，当1000时x50xφ(x取最小值，解得x400. 1125025037，而φ(36＝T1(36＝由于36400，91111250φ(37＝T(37＝375. 1311此时完成订单任务的最短时间大于250. 11③当k＜2时，T1(x＜T2(x，由于k为正整


数，故k＝1，此时
750f(x＝max{T2(x，T3(x}＝max{2000}．
,x100x750由函数T2(x，T3(x的单调性知，当2000x100x时f(x取最小值，解得x800，类似①的讨论，此11250时完成订单任务的最短时间为250，大于. 911综上所述，当k＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44,88,68. 21．解：(1方法一：设M的坐标为(x，y， 由已知得|x2|(x5y3. 易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以
(x5yx＋5. 化简得曲线C1的方程为y2＝20x. 方法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆C2圆心(5,0的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x. (2当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0．又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是|5ky4k|3. 22220k21整理得72k2＋18y0k＋y02－9＝0.① 设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别


为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根．故18yykk.② 7240012kxyy由y20x1204k10,得
k1y2－20y＋20(y0＋4k1＝0.③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以20(y4kyy.④ k01121同理可得yy30420(y04k2k2.⑤
于是由②④⑤三式得
400(y4k(y4kyyyy kk102123412＝＝400[y024(k1k2y016k1k2]k1k2400(y02y0216k1k26 400k1k2 . 所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400. 22．解：(1若a＜0，则对一切x＞0，f(x＝eax－x＜1，这与题设矛盾．又a≠0，故a＞0. 1ln. 而f′(x＝aeax－1，令f′(x＝0得x1aa111ln时，xln当x1f′(x＜0，f(x单调递减；当aaaa1ln时，f(x时，f′(x＞0，f(x单调递增．故当x1aa1111lnln. 取最小值f(1aaaaa于是对一切x∈R，f(x≥1恒成立．当且仅当
111ln1aaa.①



令g(t＝t－tlnt，则g′(t＝－lnt. 当0＜t＜1时，g′(t＞0，g(t单调递增； 当t＞1时，g′(t＜0，g(t单调递减．
故当t＝1时，g(t取最大值g(1＝1.因此，当且仅当11，即a＝1时，①式成立．
a综上所述，a的取值集合为{1}．
f(xee(2由题意知，kf(xx1. xxx21ax2ax1212令φ(x＝f′(x－k＝ae－φ(x1＝φ(x2＝eax1x2x1eax2x2x1axeax2ex2x11ax1.则
[ea(x2－x1－a(x2－x1－1]，
[ea(x1－x2－a(x1－x2－1]．
令F(t＝et－t－1，则F′(t＝et－1. 当t＜0时，F′(t＜0，F(t单调递减； 当t＞0时，F′(t＞0，F(t单调递增．
故当t≠0时，F(t＞F(0＝0，即et－t－1＞0. 从而ea(x2－x1－a(x2－x1－1＞0，ea(x1－ex2－a(x1－x2－1＞0.又xex0，所以φ(x0，1xxax1ax22121＜0，φ(x2＞0. 因为函数y＝φ(x在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在c∈(x1，x2，使得φ(c＝0.又φ′(x＝a2eax＞0，φ(x单调递增，故ee这样的c是唯一的，且c1.故当且仅当lnaaxxax2ax1121eax2eax1xln,xaaxx221时，f′(x＞k.


综上所述，存在x0∈(x1，x2，使f′(x0＞k1ee成立，且x0的取值范围为alnaxx,x．
ax2ax1212

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b5ac2ad86cdb6f1aff00bed5b9f3f90f77c64d39.html

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