正在进行安全检测...
发布时间:2023-11-23 00:56:11 来源:文档文库
小
中
大
字号:
龙源期刊网http://www.qikan.com.cn浅谈取整函数
作者:邢怀勇
来源:《理科考试研究·高中》2017年第03期
摘要:取整函数是一个非常重要的数学概念,本文通过对几个例题的分析阐述了解有关取整函数类问题的策略.关键词:取整函数;解题策略
取整函数定义:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.显然,y=[x]的定义域是R,值域是Z.任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+a(0≤a
取整函数是一个非常重要的数学概念.它的定义域是连续的,值域却是离散的,取整函数关联着连续和离散两个方面,因而有其独特的性质和广泛的应用.在数学竞赛或高考中也备受命题者的青睐.用[x]命制的试题情境新颖,弹性大,利于赋予新意,具有挑战性,而在解决与之相关的问题时,可以依据的命题、法则不多,规律性不明显,解法变化大,灵活性强,往往会用到多种数学思想方法,其中较为常见的有分类讨论(例如对区间进行划分)、命题转换、数形结合、凑整、估值等等.例1试画出f(x)=x-[x]的图像.([x]表示不大于x的最大整数)
解析若做出上述函数图象,需先分析一下取整函数[x]的图像的基本性质和特征.(1)由y=[x]的定义易知[x]的图形在y=x的图形的下方.(2)由y=[x]的性质知[x]的图像是一组阶高为1的平行于x轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形.可见函数y=[x]是一个不减(非单调)的非周期的函数,其图像如下:所以f(x)=x-[x],是一有界、周期为1的非单调函数,其图像如下图所示:
例2(2010年高考陕西卷理科10)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A.y=x10x+310B.y=x+310C.y=x+410D.y=x+510
龙源期刊网http://www.qikan.com.cn解析1当x除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时,由题设知y=x10,且易验证知此时x10=x+310.当x除以10的余数为7,8,9时,由题设知y=x10+1,且易验证知此时x10+1=x+310.故综上知,必有y=x10.故选B.解析2依题意知:若x=16,则y=1,由此检验知选项C,D错误;若x=17,则y=2,由此检验知选项A错误.故由排除法知,本题应选B.例3某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1,y1=1,当k≥2时,
xk=xk-1+1-5[T(k-15)-T(k-25)],yk=yk-1+T(k-15)-T(k-25).T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(