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线性代数 - 赵树源第4版文档

发布时间：2011-11-07 09:49:36 来源：文档文库

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赵1A2(1)

这是让用对角线法则计算行列式

1 2 3

3 1 2

2 3 1

= 1*1*1 + 2*2*2 + 3*3*3 - 3*1*2*3

= 1+8+27 - 18

= 18

==================================================

赵1A12(3)

http://zhidao.baidu.com/question/315873605.html

1 1 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

0 0 1 0

解: 根据行列式的定义,

每行每列恰取一个元素的乘积构成一个和项

且只需考虑非零的和项.

第1列非零元只有a11, 第4行非零元只有a43

所以行列式

= (-1)^t(1243)a11a22a34a43 + (-1)^t(1423)a11a24a32a43

= -1 + 1 = 0.

==================================================

1A18(1)

1 1 2 3

1 2 3 -1

3 -1 -1 -2

2 3 -1 -1

第1步: r2-r1, r3-3r1, r4-2r1, 得

1 1 2 3

0 1 1 -4

0 -4 -7 -11

0 1 -5 -7

第2步: r3 + 4r2, r4 - r2, 得

1 1 2 3

0 1 1 -4

0 0 -3 -27

0 0 -6 -3

第3步: r4 - 2r3 得

1 1 2 3

0 1 1 -4

0 0 -3 -27

0 0 0 51

所以行列式 = -153

==================================================

1A18(2)

2 -5 3 1

1 3 -1 3

0 1 1 -5

-1 -4 2 -3

==================================================

1A18(3)

-2 2 -4 0

4 -1 3 5

3 1 -2 -3

2 0 5 1

解:

r2+2r1,r4+r1, r1*(1/2) [第1行提出2], r3+3r1

-1 1 -2 0

0 3 -5 5

0 4 -8 -3

0 2 1 1

r2-r4,r3-2r4

-1 1 -2 0

0 1 -6 4

0 0 -10 -5

0 2 1 1

r4-2r2

-1 1 -2 0

0 1 -6 4

0 0 -10 -5

0 0 13 -7

= 2*(-1)*1*(10*7+5*13)

= -2*135

= -270.

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1A21

0 x x ... x

x 0 x ... x

x x 0 ... x

... ...

x x x ... 0

解: c1+c2+...+cn (所有列加到第1列)

(n-1)x x x ... x

(n-1)x 0 x ... x

(n-1)x x 0 ... x

... ...

(n-1)x x x ... 0

ri-r1,i=2,3,...,n (所有行减第1行)

(n-1)x x x ... x

0 -x 0 ... 0

0 0 -x ... 0

... ...

0 0 0 ... -x

行列式 = (-x)^(n-1) [(n-1)x] = (-1)^(n-1) (n-1)x^n

==================================================

1A25(2)

x 1 1 1

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 x

第1步: c1+c2+c3+c4 (即2,3,4列都加到第1列), 提出第1列公因子 (3+x), 得

1 1 1 1

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 x

第2步: 第1行乘 -1 加到 2,3,4行, 得

1 1 1 1

0 x-1 0 0

0 0 x-1 0

0 0 0 x-1

所以行列式 = (3+x)(x-1)^3

==================================================

1A26

解: 2的代数余子式A31 = (-1)^(3+1)*

0 4

0 3

= 0

-2的代数余子式A32 = (-1)^(3+2)*

-3 4

5 3

= -(-9-20) = 29.

==================================================

1A27

解:第3列的余子式分别为: 5,3,-7,4

所以第3列的代数余子式分别为: (-1)^(1+3)*5,(-1)^(1+3)*3,(-1)^(1+3)*(-7),(-1)^(1+3)*4

即 5,-3,-7,-4

而第3列元素分别为-1,2,0,1

所以 D = (-1)*5+2*(-3)+0*(-7)+1*(-4) = -15.

==================================================

1A28

解: A41+A42+A43+A44 =

1 0 4 0

2 -1 -1 2

0 -6 0 0

1 1 1 1

按第3行展开

= (-1)^(3+2)*(-6)*

1 4 0

2 -1 2

1 1 1

= 6*(-3) = -18.

==================================================

1A29

解: A11+A12+A13+A14 =

1 1 1 1

d c b b

b b b b

c d a d

=0. (1,3行成比例)

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1A30(1)

1 0 a 1

0 -1 b -1

-1 -1 c -1

-1 1 d 0

0 -1 -1 1 0 1

= (-1)^(1+3)a* -1 -1 -1 + (-1)^(2+3)b* -1 -1 -1

-1 1 0 -1 1 0

1 0 1 1 0 1

+ (-1)^(3+3)c* 0 -1 -1 + (-1)^(4+3)d* 0 -1 -1

-1 1 0 -1 -1 -1

= a + b + d.

==================================================

1A30(2)

与(1)类似, 略

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1A32

1 2 3 4 ... n-1 n

1 1 2 3 ... n-2 n-1

1 x 1 2 ... n-3 n-2

1 x x 1 ... n-4 n-3

... ... ... ...

1 x x x ... 1 2

1 x x x ... x 1

ri - r(i+1), i=1,2,...,n-1

0 1 1 1 ... 1 1

0 1-x 1 1 ... 1 1

0 0 1-x 1 ... 1 1

0 0 0 1-x... 1 1

... ... ... ... ...

0 0 0 0 ...1-x 1

1 x x x ... x 1

按第1列展开= (-1)^(1+n)*

1 1 1 ... 1 1

1-x 1 1 ... 1 1

0 1-x 1 ... 1 1

0 0 1-x... 1 1

... ... ... ...

0 0 0 ...1-x 1

ci-c(n-1), i=1,2,...,n-2

0 0 0 ... 0 1

-x 0 0 ... 0 1

-1 -x 0 ... 0 1

-1 -1 -x ... 0 1

-1... ... ... ...

-1 -1 -1 ... -x 1

按第1行展开=(-1)^(1+n)*(-1)^(1+n-1)*

-x 0 0 ... 0

-1 -x 0 ... 0

-1 -1 -x ... 0

-1... ... ... ..

-1 -1 -1 ... -x

行列式 = - (-x)^(n-2) = (-1)^(n-1)x^(n-2)

==================================================

1A33

a b 0 ... 0 0

0 a b ... 0 0

0 0 a ... 0 0

... ...

0 0 0 ... a b

b 0 0 ... 0 a

解: 按第1列展开得

a*(-1)^(1+1)*a^(n-1)+b*(-1)^(1+n) * b^(n-1)

=a^n + (-1)^(1+n) * b^n.

注: 按展开定理, 是第1列的每个数乘其代数余子式之和.

代数余子式 Aij = (-1)^(i+j)Mij

第1列非零元只有 a (a11) 和 b(a1n)

b 位于第n行第1列, 所以其代数余子式要乘 (-1)^(n+1)

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1A34

用特殊分块矩阵的行列式的结果

原行列式 = |1 2| * |x 2| = (x-2)(x^2-4) = (x-2)^2(x+2).

|1 x| |2 x|

所以 x=±2.

1 2 1 1

1 x 2 3

0 0 x 2

0 0 2 x

第1步: r2-r1, 再交换第3,4列, (注意这里行列式变符号) 得

1 2 1 1

0 x-2 2 1

0 0 2 x

0 0 x 2

第2步: r4 - (x/2)r3

1 2 1 1

0 x-2 2 1

0 0 2 x

0 0 0 2- (1/2)x^2

所以行列式 = - { (x-2)*2*[ 2 - (1/2)x^2] }

= (x-2)(x^2 - 4) 或写成 (x+2)(x-2)^2

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1A35

1+x 1 1 1

1 1-x 1 1

1 1 1+y 1

1 1 1 1-y

x=0 或 y=0 时, 行列式有两行相等, 行列式为0

当 xy≠0 时

ri-r1 (i=2,3,4)

1+x 1 1 1

-x -x 0 0

-x 0 y 0

-x 0 0 -y

c1-c2+(x/y)c3-(x/y)c4

x 1 1 1

0 -x 0 0

0 0 y 0

0 0 0 -y

= x^2y^2

所以 x=0 或 y=0.

==================================================

1A36

此为Vandermonde行列式

a1=-1,a2=2,a3=1,a4=3

行列式 = 3*2*4 * (-1)*1 * 2 = -48.

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1A37

a+b x+b x+a

x a b

x^2 a^2 b^2

r1+r2 提出第1行公因子 (x+a+b)

1 1 1

x a b

x^2 a^2 b^2

此为Vandermonde行列式

行列式 = (x+a+b)(a-x)(b-x)(b-a)

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1A38

按第3,4行展开得

2 0 * (-1)^(3+4+1+2) 1 1 = 2*2 = 4

0 1 0 2

2 1 * (-1)^(3+4+1+4) 2 1 = 4*(-4) = -16

0 2 4 0

0 1 * (-1)^(3+4+2+3) 3 1 = (-1)*6 = -6

1 0 0 2

0 1 * (-1)^(3+4+2+4) 3 1 = 0

1 2 0 0

1 1 * (-1)^(3+4+3+4) 3 2 = 2*12 = 24

0 2 0 4

行列式=4-16-6+24 = 6

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赵1A39

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赵1A40. 疯了, 非让用Crammer法则解线性方程组!

(1)

D = |2 5| = -1

|3 7|

D1 = |2 1| = 1. D2 = |1 5| = -3

|3 2| |2 7|

x1=D1/D = -1, x2=D2/D = 3.

(2)

D = 4 5 = -43 ≠ 0

3 -7

齐次线性方程组只有零解. 故 x1=x2=0

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赵1A41(1) 验证代入即可(略)

系数行列式=

2 -3 4 -3

3 -1 11 -13

4 5 -7 -2

13 -25 1 11

所有列加到第1列, 第1列全是0, 故行列式=0

==================================================

赵1A41(2)

系数行列式=

1 2 3 -1

3 2 1 1

5 5 2 0

2 3 1 -1

==================================================

赵1A42.

判断齐次线性方程组是否只有零解

2x1+2x2-x3=0

x1-2x2+4x3=0

5x1+8x2-2x3=0

分析: n元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是

系数行列式不等于0.

解: 系数行列式=

|2 2 -1| |0 0 -1|

|1 -2 4| c1+2c3,c2+2c3 |9 6 4| = 36-6 = 30

|5 8 -2| |1 4 -2|

所以方程组只有零解.

==================================================

赵1A43.

如果齐次线性方程组有非零解, k应取什么值?

kx+y+z=0

x+ky-z=0

2x-y+z=0

分析: n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是

系数行列式等于0.

解: 系数行列式=

|k 1 1| |k-2 2 0|

|1 k -1| r1-r3,r2+r3 | 3 k-1 0| =(k-1)(k-2)-6 = (k+1)(k-4)

|2 -1 1| | 2 -1 1|

所以 k=-1 或 k=4.

==================================================

赵1A44.

k取什么值时,齐次线性方程组仅有零解

kx+y-z=0

x+ky-z=0

2x-y+z=0

分析: n元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是

系数行列式不等于0.

解: 系数行列式=

|k 1 -1| |k+2 0 0|

|1 k -1| r1+r3,r2+r3 | 3 k-1 0| = (k+2)(k-1)

|2 -1 1| | 2 -1 1|

所以 k≠1 且 k≠-2 时仅有零解.

==================================================

赵1B1.

行列式 = (k-1)^2-2^2 = (k+1)(k-3)

选(C).

==================================================

赵1B2.

行列式=k^2-2-k-4 = k^2-k-6 = (k+2)(k-3)

选(D)

==================================================

赵1B3.

行列式=λ1-2. 选(C).

==================================================

赵1B4.

(A)τ(12435)=0+0+1+0 = 1

(B)τ(54321)=4+3+2+1 = 10

(C)τ(32514)=2+1+2+0 = 5

(D)τ(54231)=4+3+1+1 = 9

(B)正确.

==================================================

赵1B5.

列标按自然序, 计算行标的逆序数τ(ik42)

i=1,k=3时, τ(ik42)=τ(1342)=0+1+1=2 带正号

所以 i=3,k=1时, 带负号

故(2)(3)正确.

==================================================

赵1B6.

(A)不是行标有2个3

(B)τ(42135)=3+1+0+0 = 4 不是

(C)不是列标2个1

(D)τ(21435)=1+0+1+0 =2 是

选(D).

==================================================

赵1B7.

(A)τ(13254)=0+1+0+1 = 2 属于

(B)τ(51432)=4+0+2+1 = 7 属于

(C)τ(31452)=2+0+1+1 = 4 不属于

(D)τ(54321)=4+3+2+1 =10 属于

选(D).

==================================================

赵1B8.

D1: c1提4,c2-2c1, c2提(-3) 化成D

所以 D1 = 4*(-3)D = -12.

(A)正确.

==================================================

赵1B9.

c2-3c1,c3+c1, r2提(-3), c2提(-2), c3提4

化成原行列式

所以行列式 = (-3)*(-2)*4 = 24.

(B)正确.

==================================================

赵1B10.

(A)

==================================================

赵1B11.

D1=D2=D, D3 = -D, D4=2D

故(B)正确.

==================================================

赵1B12.

行列式 = (-1)^τ(4321)*2a = 2a

所以 a = -1/2

故(A)正确 #

==================================================

赵1B13.

ri-r1, i=2.3,...,n 化为上三角行列式

行列式 = (-1)^(n-1).

故(C)正确 #

==================================================

赵1B14.

A41 = (-1)^(1+4) * (-1)^(1+3)*a2 *(a3a6-a4a5)

= -a2a3a6 + a2a4a5

故(B)正确 #

==================================================

赵1B15.

行列式 = (-a1)(-a2)...(-an)(-1)^τ(n(n-1)...21)

= (-1)^(n-1+n-2+...+1) * (-1)^n * a1a2...an

= (-1)^[n(n-1)/2 + n]a1a2...an

= (-1)^[n(n+1)/2]a1a2...an

故(D)正确.

==================================================

赵1B16.

(B)行列式 = (-1)^τ(n(n-1)...21) = (-1)^(n-1+n-2+...+1) = (-1)^[n(n-1)/2]

其余行列式都是由单位矩阵的行列式交换两行得到的, 值都是-1.

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赵1B17.

选1,3行,用Laplace展开得

行列式 = (-1)^(1+3+1+3) |a b| |x y|

|c d| |u v|

= (ad-bc)(xv-yu).

(C)正确 #

==================================================

赵1B18

f(x) =

c1+c2+c3+c4

x -1 1 x-1

x -1 x+1 -1

x x-1 1 -1

x -1 1 -1

r1-r4,r2-r4,r3-r4

0 0 0 x

0 0 x 0

0 x 0 0

x -1 1 -1

= - x^4

(D)正确 #

==================================================

赵1B19.

(1)行列式 = (-1)^τ(4123) = (-1)^3 = -1.

(2)行列式 = (-1)^τ(3241) = (-1)^4 = 1.

(3)因为行和都是0, 故行列式 = 0.

(4)行列式 =

| 1 2 2 200+1| | 1 2 2 200| | 1 2 2 1|

|-1 3 3 300-1| = |-1 3 3 300| + |-1 3 3 -1| = 0+0 =0

|-2 2 1 100-2| |-2 2 1 100| |-2 2 1 -2|

| 3 5 1 100+3| | 3 5 1 100| | 3 5 1 3|

所以(A)正确 #

==================================================

赵1B20.

方程组有唯一解, 故系数行列式等于0

|2 k|

|k 2| = 4-k^2 = (2+k)(2-k).

所以 k=-2 或 k=2.

选(B) #

==================================================

赵1B21.

(A) 充分条件

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赵1B22.

系数行列式

a11 -a12

a21 -a22

= -1

x1 = (-1)* |b1 -a12| = |b1 a12|

|b2 -a22| |b2 a22|

x2 = (-1)* |a11 b1|

|a21 b2|

(C) 正确 #

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赵1B23.

因为方程组有非零解, 所以系数行列式等于0

2 -1 1

1 k -1

k 1 1

= 2k + k + 1 - k^2 + 2 +1

= -k^2 +3k + 4

= -(k-4)(k+1)

所以 k=-1 或 k=4.

选(D) #

==================================================

赵1B24.

齐次线性方程组只有零解, 故系数行列式不等于0

所以 k≠-1 且 k≠4

选(C) #

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第2章

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2A08

A=

50 30 25 10 5

30 60 25 20 10

50 60 0 25 5

B = (0.95,1.2,2.35,3,5.2)'

该厂各月份的总产值为

AB = (198.25, 271.25, 220.5)'

==================================================

2A09

设 A = 0.8 0.1 0.1 B = (30,20)

0.4 0.3 0.3

BA = ( 32, 8, 9)

三种金属的数量分别为 32, 8, 9 吨.

==================================================

2A21

解: |2|A|A^T| = 2^n |A|^n |A^T|

= 2^n |A|^(n+1)

= 2^n m^(n+1).

==================================================

2A41

解矩阵方程 AX+B=X

解: 由AX+B=X得 (A-E)X=-B

(A-E,-B)=

-1 1 0 -1 1

-1 0 1 -2 0

-1 0 -2 5 -3

r1-r2,r3-r2

0 1 -1 1 1

-1 0 1 -2 0

0 0 -3 7 -3

r2*(-1),r3*(-1/3)

0 1 -1 1 1

1 0 -1 2 0

0 0 1 -7/3 1

r1+r3,r2+r3

0 1 0 -4/3 2

1 0 0 -1/3 1

0 0 1 -7/3 1

r1<->r2

1 0 0 -1/3 1

0 1 0 -4/3 2

0 0 1 -7/3 1

所以 X =

-1/3 1

-4/3 2

-7/3 1

==================================================

2A51

设A为三阶矩阵，且|A|=1/2，求|(3A)^-1 - 2A^*|的值

解: (3A)^(-1) = (1/3) A^(-1)

A* = |A|A^(-1) = (1/2) A^(-1)

所以 |(3A)^-1 - 2A^*|

= | (1/3) A^(-1) - (1/2) A^(-1) |

= | (-2/3) A^(-1) |

= (-2/3)^3 | A^(-1) |

= (-2/3)^3 * 2

= - 16/27.

==================================================

2A52

设A,B为三阶矩阵, 且|A|=2,|B|=3, 求 |-2(A^TB^-1)^-1|

解: |-2(A^TB^-1)^-1|

= (-2)^3 |A^TB^-1|^-1

= -8 |A^T|^-1 |B^-1|^-1

= -8 |A|^-1 |B|

= -8*(1/2)*3

= -12.

==================================================

2A54(1)

2 2 3 1 0 0

1 -1 0 0 1 0

-1 2 1 0 0 1

r1-2r2, r3+r2

0 4 3 1 -2 0

1 -1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 1

r1-4r3, r2+r2

0 0 -1 1 -6 -4

1 0 1 0 2 1

0 1 1 0 1 1

r2+r1,r3+r1,r1*(-1)

0 0 1 -1 6 4

1 0 0 1 -4 -3

0 1 0 1 -5 -3

交换行得

1 0 0 1 -4 -3

0 1 0 1 -5 -3

0 0 1 -1 6 4

==================================================

2A54(3)

1 1 1 1 1 0 0 0

-1 1 1 1 0 1 0 0

-1 -1 1 1 0 0 1 0

-1 -1 -1 1 0 0 0 1

r2+r1,r3+r1,r4+r1

1 1 1 1 1 0 0 0

0 2 2 2 1 1 0 0

0 0 2 2 1 0 1 0

0 0 0 2 1 0 0 1

r2*(1/2),r3*(1/2),r4*(1/2),

1 1 1 1 1 0 0 0

0 1 1 1 1/2 1/2 0 0

0 0 1 1 1/2 0 1/2 0

0 0 0 1 1/2 0 0 1/2

r1-r2,r2-r3,r3-r4

1 0 0 0 1/2 -1/2 0 0

0 1 0 0 0 1/2 -1/2 0

0 0 1 0 0 0 1/2 -1/2

0 0 0 1 1/2 0 0 1/2

==================================================

2A54(4)

1 3 -5 7

0 1 2 3

0 0 1 2

0 0 0 1

(A,E)=

1 3 -5 7 1 0 0 0

0 1 2 3 0 1 0 0

0 0 1 2 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

r1-7r4,r2-3r4,r3-2r4

1 3 -5 0 1 0 0 -7

0 1 2 0 0 1 0 -3

0 0 1 0 0 0 1 -2

0 0 0 1 0 0 0 1

r1+5r3, r2-2r3

1 3 0 0 1 0 5 -17

0 1 0 0 0 1 -2 1

0 0 1 0 0 0 1 -2

0 0 0 1 0 0 0 1

r1-3r2

1 0 0 0 1 -3 11 -20

0 1 0 0 0 1 -2 1

0 0 1 0 0 0 1 -2

0 0 0 1 0 0 0 1

逆矩阵为:

1 -3 11 -20

0 1 -2 1

0 0 1 -2

0 0 0 1

==================================================

2A54(7)

A=

1 0 3 1

0 1 6 2

0 0 3 1

1 -1 0 0

是否可逆? 若可逆求出其逆矩阵.

解: (A,E) =

1 0 3 1 1 0 0 0

0 1 6 2 0 1 0 0

0 0 3 1 0 0 1 0

1 -1 0 0 0 0 0 1

r4 - r1 + r2 - r3

1 0 3 1 1 0 0 0

0 1 6 2 0 1 0 0

0 0 3 1 0 0 1 0

0 0 0 0 -1 1 -1 1

所以r(A)=3, 矩阵不可逆.

注: 这样直接对(A,E)初等行变换有点浪费, 但当A可逆时就能直接求出A^-1.

大多习题都是可逆的, 右边的计算又比较简单, 这点浪费还是值得的.

==================================================

2A58

已知矩阵A=

1 1 1

1 2 1

2 3 λ+1

的秩r(A)=2, 求λ.

解: A

r3-r1-r2

1 1 1

0 1 0

0 0 λ-1

因为r(A)=2, 所以 λ=1.

==================================================

2A59

已知矩阵A=

1 1 1

1 1 2

a+1 2 3

问a为何值时, r(A)=2;a为何值时r(A)=3

解: 将第1列交换到第3列

1 1 1

1 2 1

2 3 a+1

r3-r1-r2,r2-r1

1 1 1

0 1 0

0 0 a-1

所以,a=1时r(A)=2,a≠1时r(A)=3.

==================================================

2A60

设 A=

1 -1 2 1

-1 a 2 1

3 1 b -1

r(A)=2, 求a,b的值

解: 将第4列交换到第1列, 这样容易处理

1 1 -1 2

1 -1 a 2

-1 3 1 b

r2-r1,r3+1

1 1 -1 2

0 -2 a+1 0

0 4 0 b+2

r3+2r2

1 1 -1 2

0 -2 a+1 0

0 0 2(a+1) b+2

因为r(A)=2, 所以 a=-1, b=-2

==================================================

3A1(1)

2 -1 3 3

3 1 -5 0

4 -1 1 3

1 3 -13 -6

r3-r2,r2-r1,r1-r4

1 -4 16 9

1 2 -8 -3

1 -2 6 3

1 3 -13 -6

r1-r2,r3-r2,r4-r2

0 -6 24 12

1 2 -8 -3

0 -4 14 6

0 1 -5 -3

r1+6r4,r2-2r4,r3+4r4

0 0 -6 -6

1 0 2 3

0 0 -6 -6

0 1 -5 -3

r1*(-1/6)

0 0 1 1

1 0 2 3

0 0 -6 -6

0 1 -5 -3

r2-2r1,r3+6r1,r4+5r1

0 0 1 1

1 0 0 1

0 0 0 0

0 1 0 2

交换行得

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 1

0 0 0 0

解为: x1=1,x2=2,x3=1

==================================================

3A1(2)

1 -2 1 1 1

1 -2 1 -1 -1

1 -2 1 -5 5

r2-r1,r3-r1

1 -2 1 1 1

0 0 0 -2 -2

0 0 0 -6 4

r3-3r2

1 -2 1 1 1

0 0 0 -2 -2

0 0 0 0 10

无解

==================================================

3A1(3)

1 -1 1 -1 1

1 -1 -1 1 0

1 -1 -2 2 -1/2

r2-r1,r3-r1

1 -1 1 -1 1

0 0 -2 2 -1

0 0 -3 3 -3/2

r2*(-1/2),r3+3r2

1 -1 1 -1 1

0 0 1 -1 1/2

0 0 0 0 0

r1-r2

1 -1 0 0 1/2

0 0 1 -1 1/2

0 0 0 0 0

解为: x1=1/2+c1, x2=c1, x3=1/2+c2, x4=c2, c1,c2 为任意常数.

==================================================

3A1(4)

1 -1 4 -2

1 -1 -1 2

3 1 7 -2

1 -3 -12 6

r1-r2, r3-3r2, r4-r2

0 0 5 -4

1 -1 -1 2

0 4 10 -8

0 -2 -11 4

r3+2r4

0 0 5 -4

1 -1 -1 2

0 0 -12 0

0 -2 -11 4

r1+(5/12)r3

0 0 0 -4

1 -1 -1 2

0 0 -12 0

0 -2 -11 4

方程组只有零解

==================================================

3A1(5)

1 -1 1

3 -2 -1

3 -1 5

-2 2 3

r3-r2, r2-3r1,r4+2r1

1 -1 1

0 1 -4

0 1 6

0 0 5

r3-2r2

1 -1 1

0 1 -4

0 0 10

0 0 5

方程组只有零解

==================================================

3A1(6)

1 1 0 -3 -1

1 -1 2 -1 0

4 -2 6 3 -4

2 4 -2 4 -7

r2-r1, r3-4r1, r4-2r1

1 1 0 -3 -1

0 -2 2 2 1

0 -6 6 15 0

0 2 -2 10 -5

r3-3r2, r4+r2

1 1 0 -3 -1

0 -2 2 2 1

0 0 0 9 -3

0 0 0 12 -4

r2*(-1/2), r3*(1/9)

1 1 0 -3 -1

0 1 -1 -1 -1/2

0 0 0 1 -1/3

0 0 0 12 -4

r1+3r3, r2+r3, r4-12r3

1 1 0 0 -2

0 1 -1 0 -5/6

0 0 0 1 -1/3

0 0 0 0 0

r1-r2

1 0 1 0 -7/6

0 1 -1 0 -5/6

0 0 0 1 -1/3

0 0 0 0 0

解为: x1=-c1+7/6c2, x2=c1+5/6c2, x3=c1, x4=1/3c2, x5=c2 (c1,c2为任意常数)

==================================================

3A2(1)

2 -1 1 1 1

1 2 -1 4 2

1 7 -4 11 a

r1-2r2, r3-r2

0 -5 3 -7 -3

1 2 -1 4 2

0 5 -3 7 a-2

r3+r1

0 -5 3 -7 -3

1 2 -1 4 2

0 0 0 0 a-5

a=5时有解.

==================================================

3A2(2)

a 1 1 1

1 a 1 a

1 1 a a^2

因为 |A| = (a-1)^2(a+2)

所以 a≠1 且a≠-2 时有唯一解

当a=1时, 增广矩阵 =

1 1 1 1

有无穷多解.

当a=-2时

-2 1 1 1

1 -2 1 -2

1 1 -2 4

r3+r1+r2

-2 1 1 1

1 -2 1 -2

0 0 0 3

无解.

所以方程组在a≠-2 时有解

==================================================

3A2(3)

1 2 -2 2 2

0 1 -1 -1 1

1 1 -1 3 a

1 -1 1 5 b

r3-r1, r4-r1

1 2 -2 2 2

0 1 -1 -1 1

0 -1 1 1 a-2

0 -3 3 3 b-2

r3+r2, r4+3r2

1 2 -2 2 2

0 1 -1 -1 1

0 0 0 0 a-1

0 0 0 0 b+1

所以 a=1且b=-1 时有无穷多解.

==================================================

3A2(4)

1 1 1 a

a 1 1 1

1 1 a 1

r2-r1,r3-r1

1 1 1 a

a-1 0 0 1-a

0 0 a-1 1-a

a=1时有无穷多解, a≠1时有唯一解.

==================================================

3A20(2)

解: 系数矩阵 A =

1 -2 1 -1 1

2 1 -1 2 -3

3 -2 -1 1 -2

2 -5 1 -2 2

r2-2r1,r3-3r1,r4-2r1

1 -2 1 -1 1

0 5 -3 4 -5

0 4 -4 4 -5

0 -1 -1 0 0

r1-2r4,r2+5r4,r3+4r4

1 0 3 -1 1

0 0 -8 4 -5

0 -1 -1 0 0

r3-r2, r2*(-1/8),r1-3r2,r4+r2

1 0 0 1/2 -7/8

0 0 1 -1/2 5/8

0 0 0 0 0

0 -1 0 -1/2 5/8

r4*(-1), 交换行得

1 0 0 1/2 -7/8

0 1 0 1/2 -5/8

0 0 1 -1/2 5/8

0 0 0 0 0

基础解系为: (-1,-1,1,2,0)',(7,5,-5,0,8)'.

==================================================

3A19

知识点:

1.若 AB=0, 则 r(A)+r(B)<=n

2.r(A+B)<= r(A)+r(B)

证明: 因为 A^2=A

所以 A(A-I) = 0

所以 r(A)+r(A-I) <=n [ 知识点1 ]

另一方面

I = A - (A-I)

所以有

n = r(I)

= r[A - (A-I)] <= r(A) + r(A-I) [ 知识点2 ]

综上有 r(A)+r(A-I) = n .

==================================================

3A23(2)

解: 增广矩阵 =

1 1 1 1 1 7

3 2 1 1 -3 -2

0 1 2 2 6 23

5 4 -3 3 -1 12

r2-3r1, r4-5r1

1 1 1 1 1 7

0 -1 -2 -2 -6 -23

0 1 2 2 6 23

0 -1 -8 -2 -6 -23

r1-r3, r2+r3, r4+r3

1 0 -1 -1 -5 -16

0 0 0 0 0 0

0 1 2 2 6 23

0 0 -6 0 0 0

r4*(-1/6), r1+r4, r3-2r4

1 0 0 -1 -5 -16

0 0 0 0 0 0

0 1 0 2 6 23

0 0 1 0 0 0

交换行得

1 0 0 -1 -5 -16

0 1 0 2 6 23

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

方程组的全部解为:

(-16,23,0,0,0)'+c1(1,-2,0,1,0)'+c2(5,-6,0,0,1)', c1,c2为任意常数.

==================================================

3A23(3)

增广矩阵 =

1 3 5 -4 0 1

1 3 2 -2 1 -1

1 -2 1 -2 -2 3

1 -4 1 1 -1 3

1 2 1 -1 1 -1

ri-r1,i=2,3,4,5

1 3 5 -4 0 1

0 0 -3 2 1 -2

0 -5 -4 2 -2 2

0 -7 -4 5 -1 2

0 -1 -4 3 1 -2

r1+3r5,r3-5r5,4-7r5

1 0 -7 5 3 -5

0 0 -3 2 1 -2

0 0 16 -13 -7 12

0 0 24 -16 -8 16

0 -1 -4 3 1 -2

r3+5r2,r4+8r2,r5*(-1)

1 0 -7 5 3 -5

0 0 -3 2 1 -2

0 0 1 -3 -2 2

0 0 0 0 0 0

0 1 4 -3 -1 2

r1+7r3,r2+3r3,r5-4r3

1 0 0 -16 -11 9

0 0 0 -7 -5 4

0 0 1 -3 -2 2

0 0 0 0 0 0

0 1 0 9 7 -6

r2*(-1/7),r1+16r2,r3+3r2,r5-9r2

1 0 0 0 3/7 -1/7

0 0 0 1 7/5 -4/7

0 0 1 0 1/7 2/7

0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 4/7 -6/7

交换行得

1 0 0 0 3/7 -1/7

0 1 0 0 4/7 -6/7

0 0 1 0 1/7 2/7

0 0 0 1 5/7 -4/7

0 0 0 0 0 0

方程组的全部解为: (-1/7,-6/7,2/7,-4/7,0)'+c(3,4,1,5,-7)

==================================================

3A24

解: 系数行列式|A| = (λ+2)(λ-1)^2.

所以当 λ≠1 且 λ≠-2 时方程组有唯一解.

当λ=1时, 增广矩阵 =

1 1 1 -2

r2-r1,r3-r1

1 1 1 -2

0 0 0 0

方程组有无穷多解: (-2,0,0)'+c1(-1,1,0)'+c2(-1,0,1)'.

当λ=-2时, 增广矩阵 =

-2 1 1 -5

1 -2 1 -2

1 1 -2 -2

r3+r1+r2

-2 1 1 -5

1 -2 1 -2

0 0 0 -9

此时方程组无解.

==================================================

3B19

设齐次线性方程组Ax =0, A为 m*n矩阵，且r(A)=n-3.

b1, b2, b3是方程组的三个线性无关的解向量，则Ax=0的基础解系为[ ].

解: 由已知, 方程组Ax =0的基础解系含 n-r(A) = n - (n-3) = 3 个向量.

且这4组向量都含3个解向量, 所以

此题关键是看这4个向量组是否线性无关

(A) 由已知b1, b2, b3是方程组的三个线性无关的解向量

故(A)正确

(B) 正确, 因为 b1,b1+b2,b1+b2+b3 线性无关

证明线性无关可用定义的方法.

这里提供另一个方法:

行列式

1 0 0

1 1 0

1 1 1

=1≠0 (线性无关)

故 b1,b1+b2,b1+b2+b3 线性无关.

(C) 错. 3个向量加起来=0

可以测试一下刚才提供的方法如下:

行列式

1 -1 0

0 1 -1

-1 0 1

= 0 . (线性无关)

(D) 错. 3个向量加起来=0

注: 原书答案有误, (A)(B)都正确

==================================================

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8a12870af12d2af90242e6f4.html

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