基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点总结

向量不等式：

word/media/image1_1.png

【注意】：word/media/image2_1.png同向或有word/media/image3_1.pngword/media/image4_1.pngword/media/image5_1.pngword/media/image6_1.pngword/media/image7_1.png；

word/media/image2_1.png反向或有word/media/image3_1.pngword/media/image4_1.pngword/media/image8_1.pngword/media/image9_1.pngword/media/image10_1.png；

word/media/image2_1.png不共线word/media/image4_1.png.(这些和实数集中类似)

代数不等式：

word/media/image12_1.png同号或有word/media/image13_1.pngword/media/image14_1.png；

word/media/image12_1.png异号或有word/media/image15_1.pngword/media/image16_1.png.

绝对值不等式： word/media/image17_1.png

word/media/image18_1.png

双向不等式：word/media/image19_1.png

（左边当word/media/image20_1.png时取得等号，右边当word/media/image21_1.png时取得等号.）

放缩不等式：

①word/media/image22_1.png，则word/media/image23_1.png.

【说明】：word/media/image24_1.png（word/media/image25_1.png，糖水的浓度问题）.

【拓展】：word/media/image26_1.pngword/media/image27_1.png.

②word/media/image28_1.png，word/media/image29_1.png，则word/media/image30_1.png；

③word/media/image31_1.png，；

④word/media/image33_1.png，word/media/image34_1.png.

⑤word/media/image35_1.pngword/media/image36_1.png,word/media/image37_1.pngword/media/image38_1.png.

word/media/image39.gif函数fbea0d4ccf5b7b7b8b4b684cfb9664d6.png图象及性质

(1)函数28380e1704dd73d28243d05cfcbb6daf.png图象如图：

(2)函数28380e1704dd73d28243d05cfcbb6daf.png性质：

①值域：f8d6c5b9ed85e736dc5f024df21d1b8d.png；

②单调递增区间：288fc2e78996433cb1557402fb15bae0.png，5fe634a460c0b52b901bd6c8fb554c30.png；单调递减区间：0157f014f1c0fd5b9283789d15b82731.png，d239733ceaa300e3e36e389653376fa3.png.

基本不等式知识点总结

重要不等式

1、和积不等式：word/media/image48_1.pngword/media/image49_1.pngword/media/image50_1.png(当且仅当word/media/image51_1.png时取到“word/media/image52_1.png”)．

【变形】：①word/media/image53_1.png（当a = b时，word/media/image54_1.png）

【注意】： word/media/image55_1.png，

2、均值不等式：

两个正数word/media/image57_1.png的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均word/media/image58_1.png算术平均word/media/image58_1.png几何平均word/media/image58_1.png调和平均”

word/media/image59_1.png

*.若887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png，则dea0f76dbf3f3077cdb24e4936ace29d.png (当且仅当a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png时取“=”）;

若97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png，则35714a2d2e9fafb3676e5d89387e3cbe.png (当且仅当e28b7964a01e56385d1d9fa4da54388c.png时取“=”）

若7f36509f20b76eba66f86f3316fd7d8e.png，则977aaf542f1548e159e81b6cb7a32573.png (当且仅当7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png时取“=”）

*.若6f5e3a8e1c8466c3503af36bfbff2002.png，则f6df0dcb1c6d1dd299f2fc5fa48325da.png (当且仅当7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png时取“=”）

若e660b4637c687b54a163ef972eabbe41.png，则29f8f51c0ccacee275dc0bc4b472dfc9.png (当且仅当7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png时取“=”）

3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：

word/media/image73_1.png（，word/media/image75_1.png）；

word/media/image76_1.png word/media/image77_1.pngword/media/image78_1.pngword/media/image79_1.png

*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当6f5e3a8e1c8466c3503af36bfbff2002.png时，3825027dfa6fb96b72501b9db6622055.png同时除以ab得10937044d2fe08616190b229d77fd8ce.png或03512db1968971648f55268be70f6c4c.png。

*2daa2e159899452ff433938173c2355a.png均为正数，d2ed16bf120b2c0ee675163cbd4d6966.png

八种变式： ①21d473d775d5f91e234ee869162ef33c.png ； ②97d5047644d7b74edcdd441a1dddd17a.png； ③f51c07ea44af22015fe899170a7e4847.png

④5b2d4ca1e75eb5efbceaa9cff0a193e9.png；⑤若b>0,则d2ed16bf120b2c0ee675163cbd4d6966.png；⑥a>0,b>0,则ce15f988904f04ffdfd0e70a9f92c808.png；⑦若a>0,b>0,则88c90ce7ddddbe26062ece0571108d9a.png； ⑧ 若e660b4637c687b54a163ef972eabbe41.png，则68147d4d5c9898c4a0c225bca86a3078.png。

上述八个不等式中等号成立的条件都是“7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png”。

最值定理

（积定和最小）

①word/media/image96_1.png，若积word/media/image97_1.png，则当word/media/image98_1.png时和word/media/image99_1.png有最小值；

（和定积最大）

②word/media/image101_1.png，若和word/media/image102_1.png，则当word/media/image98_1.png是积word/media/image103_1.png有最大值word/media/image104_1.png.

【推广】：已知word/media/image105_1.png，则有word/media/image106_1.png.

（1）若积word/media/image107_1.png是定值，则当word/media/image108_1.png最大时，word/media/image109_1.png最大；当word/media/image108_1.png最小时，最小.

（2）若和word/media/image111_1.png是定值，则当word/media/image108_1.png最大时，word/media/image112_1.png最小；当word/media/image108_1.png最小时，word/media/image113_1.png最大.

③已知word/media/image114_1.png，若word/media/image115_1.png，则有则word/media/image116.gif的最小值为：word/media/image117_1.png

④已知word/media/image116.gif，若word/media/image116.gif则word/media/image116.gif和word/media/image116.gif的最小值为：

①word/media/image116.gif.

②word/media/image116.gif

应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：

word/media/image118.gif凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 word/media/image119_1.png时，求函的数word/media/image120_1.png最大值.

word/media/image121.gif凑项（加、减常数项）：例2.已知word/media/image122_1.png ，求函数word/media/image123_1.png的最大值.

word/media/image124.gif调整分子：例3.求函数word/media/image125_1.png的值域；

word/media/image126.gif变用公式：基本不等式word/media/image127_1.png有几个常用变形,word/media/image128_1.png，word/media/image129_1.png不易想到，应重视；

例4.求函数word/media/image130_1.png的最大值；

word/media/image131.gif连用公式：例5.已知word/media/image132_1.png，求word/media/image133_1.png的最小值；

word/media/image134.gif对数变换：例6.已知word/media/image135_1.png，且word/media/image136_1.png，求word/media/image137_1.png的最大值；

word/media/image138.gif三角变换：例7.已知word/media/image139_1.png，且word/media/image140_1.png，求word/media/image141_1.png的最大值；

word/media/image142.gif常数代换（逆用条件）：例8.已知word/media/image143_1.png，且word/media/image144_1.png，求word/media/image145_1.png的最小值.

“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：

word/media/image118.gif平方和为定值

若word/media/image146_1.png（word/media/image147_1.png为定值，word/media/image148_1.png），可设word/media/image149_1.png，其中word/media/image150_1.png.

①word/media/image151_1.png在上是增函数，在word/media/image153_1.png上是减函数；

②word/media/image154_1.png在word/media/image155_1.png上是增函数，在上是减函数；

③word/media/image157_1.png.令word/media/image158_1.png，其中word/media/image159_1.png.由word/media/image160_1.png，得word/media/image161_1.png，从而word/media/image162_1.png在word/media/image163_1.png上是减函数.

word/media/image121.gif和为定值

若word/media/image164_1.png（word/media/image165_1.png为定值，word/media/image166_1.png），则word/media/image167_1.png

①word/media/image168_1.png在word/media/image169_1.png上是增函数，在word/media/image170_1.png上是减函数；

②word/media/image171_1.png.当word/media/image172_1.png时，在word/media/image173_1.png上是减函数，在word/media/image174_1.png上是增函数；当word/media/image175_1.png时，在word/media/image176_1.png上是减函数，在上是增函数.

③word/media/image178_1.png在word/media/image169_1.png上是减函数，在word/media/image170_1.png上是增函数；

word/media/image124.gif积为定值

若word/media/image179_1.png（word/media/image180_1.png为定值，word/media/image181_1.png），则word/media/image182_1.png

①word/media/image183_1.png.当word/media/image184_1.png时，在word/media/image185_1.png上是减函数，在word/media/image186_1.png上是增函数；当word/media/image187_1.png时，在word/media/image188_1.png上是增函数；

②word/media/image189_1.png.当word/media/image184_1.png时，在word/media/image185_1.png上是减函数，在word/media/image186_1.png上是增函数；当word/media/image187_1.png时，在word/media/image188_1.png上是减函数；

③word/media/image190_1.png在word/media/image191_1.png上是减函数，在word/media/image192_1.png上是增函数.

word/media/image126.gif倒数和为定值

若word/media/image193_1.png（word/media/image194_1.png为定值，word/media/image195_1.png），则word/media/image182_1.png成等差数列且均不为零，可设公差为word/media/image196_1.png，其中word/media/image197_1.png，则得word/media/image199_1.png.

①word/media/image200_1.png.当word/media/image201_1.png时，在word/media/image202_1.png上是减函数，在word/media/image203_1.png上是增函数；当word/media/image204_1.png时，在word/media/image205_1.png上是增函数，在word/media/image206_1.png上减函数；

②word/media/image207_1.png.当word/media/image201_1.png时，在word/media/image202_1.png上是减函数，在word/media/image203_1.png上是增函数；当word/media/image204_1.png时，在word/media/image205_1.png上是减函数，在word/media/image206_1.png上是增函数；

③word/media/image208_1.png.令word/media/image209_1.png，其中word/media/image210_1.png且word/media/image211_1.png，从而word/media/image212_1.png在word/media/image213_1.png上是增函数，在word/media/image214_1.png上是减函数.

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