条件期望的求法及应用
发布时间：2023-01-24 08:41:56 来源：文档文库
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２０１２年２月 渭南师范学院学报 Ｆｅｂ．２Ｏ１２ 第２７卷第２期 ＪｏｕｍＭ ｏｆ Ｗｅｉｎａｎ ＮｏｒｍＭ Ｕｎｉｖｅｒｓｉ哆 Ｖ０１．２７ Ｎｏ．２ 条件期望的求法及应用 魏艳华，王丙参，张凡弟 （天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水７４１００１） 摘要：研究了条件期望的性质及求法，系统论述了Ｒａｄｏｎ—Ｎｉｋｏｄｙｍ定理与条件期望的相互关系，探讨了它在统计推 断中的应用，并利用条件期望预测实际问题，从而便于更好理解条件期望的本质． 关键词：条件期望；可测；代数；检验 中图分类号：０２１１．６７ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００９－－５１２８（２０１２）０２—００３７—０４ 收稿日期：２０１１—ｏ９—０７ 基金项目：甘肃省自然科学研究基金计划项目（０９６ＲＪＺＥ１０６） 作者简介：魏艳华（１９８０一），女，吉林四平人，天水师范学院数学与统计学院讲师，硕士．研究方向：数理统计． 近年来，条件期望在计算科学、统计、物理、工程、经济管理和金融领域中得到了广泛应用，并取得良好 效果，特别是条件期望在统计推断中的应用 ．利用条件概率，可根据实际数据，判断或修正以往信息． 由于用测度论描述的条件期望是鞅论的基础，也是严格论述现代概率论与数理统计必不可缺的基本概念， 所以现代概率论与数理统计总是从条件期望开始讲起．鉴于此，本文研究了条件期望的性质及求法，探讨 了它在统计推断中的应用，并利用条件期望预测实际问题． １ 条件期望 定义１【５ 设（ ， Ｐ）为概率空间， 是，的子 代数，随机变量（ｒ， ） 的数学期望存在，一个 可 测ｒ， ，’７若满足：ＶＡ∈ ，Ｉ．’７ ＝Ｊ．￣ａＰ，则称 为 关于 的数学期望，当 ＝ （∞），Ａ∈Ｆ，则称条件 期望Ｅ（ Ｉ ）为事件Ａ关于ｏｒ代数 的条件概率，记为Ｐ（Ａ Ｉ ）． 此定义理论严谨，表述简洁，但需对其存在性和唯一性进行证明． 事实上，Ｒａｄｏｎ—Ｎｉｋｏｄｙｍ（Ｒ—Ｎ）定理保证了上述条件期望的存在，ＶＡ∈ ，ｖ（ａ）＠Ｊ． 是 上的 符号测度，且关于概率测度Ｐ绝对连续・由Ｒ—Ｎ定理可知存在Ｒ—Ｎ导数叼＝ ，于是ＶＡ∈ ，Ｊ＾ 咖： ｖ（ａ）＝ｆ 。咖，即，７＝Ｅ（ ｌ ）．实际上，Ｅ（ Ｉ ）是ｒ， ， 在 的每个可测子集上按照概率测度取平均．若 取 ＝ （｛Ａ｝），Ａ Ｅ Ｆ，则Ｅ（ Ｉ ）＝ａｌＡ＋ ，其中ａ，ｂ分别是 在Ａ与Ａ上的均值，即Ｅ（ Ｉ ）是对 的某种局部平均，平均的效果随 的增大而减弱．若 ＝｛力， ｝，则Ｅ（ Ｉ ）＝ ， 被彻底修平；若增大 ３ （ ），则Ｅ（ Ｉ ）＝ ，此时修平作用消失．从这个角度看，条件期望Ｅ（ Ｉ ）是介于 与 之间的一 个平滑ｒ． 定理１【６ 若 为 代数，则 （１） （ｏ４＋６ ｌ ）＝口Ｅ（ Ｉ ）＋６ （叼ｌ ），口，ｂ，∈Ｒ； （２）（全期望公式）Ｅ［Ｅ（ ｌ ）］＝Ｅ（ ）；全概率公式是全期望公式的特例，事实上，记 为事件Ａ的 示性函数，易知巩＝Ｐ（３），Ｅ（厶Ｊ Ｙ＝Ｙ）＝Ｐ（Ａ ｌ Ｙ＝Ｙ），于是有：Ｐ（Ａ）＝ＪＰ（Ａ ｌ Ｙ：Ｙ）ｄＦｒ（），）． （
