概率论的基本概念

第一章 概率论的基本概念

主要内容：

（1）理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；（2）理解事件频率的概念，了解概率的统计定义；

（3）理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率；

（4）理解概率的公理化定义；

（5）掌握概率的基本性质及概率的加法定理；

（6）理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式，全概公式及贝叶斯（Bayes）公式；

（7）理解事件独立性概念，会计算相互独立事件的有关概率。

前言

1、 确定性现象：有一类现象，在一定条件下必然发生，例如：向上抛一石子必然下落，同性电荷必不相互吸引，等等。

2、 随机现象：这种在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。

3、 概率论与数理统计是研究和提示随机现象统计规律的一门数学学科。它具有广泛的应用性：在日常生活中、社会生产中等等。

§1随机试验

具有以下的特点：

1、 可以在相同的条件下重复地进行；

2、 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

3、 进行一次试验之前不确定哪一个结果会出现。

在概率论中， 我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验。记为E

§2样本空间、随机事件

（一） 样本空间

对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的，我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S，样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。例如：（见教材3页）

（二） 随机事件

一般，我们称试验E有样本空间S的子集这E的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。

例如：（1）在一定的条件下，投掷一枚硬币，结果会是：“正面朝上”，或“反面朝上”。在硬币落地之前，是不能断定结果的。

（2）在一定的气象条件下，明天北京的天气如何。“下雨”，“刮风”。都可能出现，但是却不一定。

（3）下期福利彩票的结果，36选7，结果会是什么。事件“1，3， 6，7，20，30，36”是一种可能。也可能出现另外的事件。

样本空间S包含所有样本点，它是S的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。

例如：（1） 从我们的课堂上，采取抓阄的方式任意地挑选1名同学，“这名同学来自月球”这是不可能事件。“这名同学来自地 球”是必然事件。“这名同学是女同学”是随机事件。“这名同学有手机并且手机开着”是 ？

（2）有一个100人的组织中，混进了两个奸细。任意地选取3个人，则“3个人都是奸细”是不可能事件。“至少一个人是奸细”是随机事件。“3个人都不是奸细”也是随机事件。“至少一个人不是奸细”则是必然事件。

（三） 事件间关系与事件的运算

事件的本质是集合，事件遵循着集合的运算关系。

1、 包含关系：若，则事件 包事件，这指的是事件发生必导致事件发生。

若且，即，则称事件与事件相等。

2、 事件称为事件与事件的和事件,称为个事件的和事件；称为可列个事件的和事件。

3、 事件称为事件与事件的积事件,称为个事件的积事件；称为可列个事件的积事件。

4、 事件称为事件与事件的差事件。

5、 若，则称事件与是互不相容的（互斥的）。

6、 若,则称事件与事件互为逆事件，又称事件与事件互为对立事件，的对立事件记为，。

7、 事件满足以下运算规律：见教材6页）

例2、例3（见教材6页）

§3频率与概率

（一） 频率

在相同条件下，进行了次试验，在这次试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，比值称为事件的频率，记成为。

频率具有下述基本性质：

1、；

2、，；

3、若是两两不相容的事件，则

（二）概率

设E是随机试验，是它的样本空间。如果对于E的每一个事件A，均有一实数P（A）与这对应，且集合函数P（·）满足下列条件：

1、对于每一个事件A，有；

2、；

3、若是两两不相容的事件，即对于,则有

称为为事件A的概率。

由概率的定义，可以得到一些重要的性质。

性质1： ；

性质2：若是两两不相容的事件，

即对于,则有

称为概率的有限可加性。

性质3：设A，B是两个事件，若，则有

性质4：对于任一事件A

性质5：对于任一事件A，有

性质6：对于任意事件A，B有

推广为任意三个事件A，B，C有

上述概率性质证明（见教材10页）。

事件的运算规律：

(1) A+B=B+A

(2) A+(B+C)=(A+B)+C

(3) A+A=A

(4) A+=U

(5) A+U=U

(6) A+V=A

(7) AB=BA

(8) (AB)C=A(BC)

(9) AA=A

(10) A=V

(11) AU=A

(12) AV=V

(13) A(B+C)=AB+BC

(14) A+BC=(A+B)(A+C)(分配律)

(15)

(16)

§4古典概型

如果试验E具有如下两个特点：

1、 试验的样本空间只包含有限个基本事件；

2、 试验中每个基本事件发生的可能性相同。

则称这种试验模型叫做古典概型，也称等可能概型。

基本公式为：

例1、 例2、例3、例4 （见教材12页）

§5条件概率与乘法公式

一、条件概率

由例6（见书14）得到条件概率的定义及公式

定义：设A、B为两个随机事件，且，则称

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

条件概率符合的三个条件：

1、 对于每一事件B，有

2、

3、 设是两两不相容的事件，则有

二、乘法定理

设，则有

推广A、B、C为任意三个事件，且P（AB）>0,则有

例7:已知在20个同种零件中有3个次品,从这20个零件中任取3次,每次取一个零件作不放回抽样,求:

（1）三个都是合格品的概率，

（2）三个都是次品的概率；

（3）一个是合格品二个是次品的概率。（见教材15页）

三、全概率公式

定义 设为试验E的样本空间，为E的一组事件，若

（1）

（2）

则称为样本空间的一个划分。

公式 设试验E的样本空间为，A为E的事件，为的一个划分，且，则

例8、（见教材17页）

四、贝叶斯（Bayes）公式

设试验E的样本空间，为的一个划分，A为E的任一事件，且，则

例9：（见教材19页）

§6独立性

例10：设试验E为“抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况”设事件A为“甲币出现H”，事件B为“乙币出现H”。E的样本空间为

在这里我们看到，而，事实上，由题意，显然甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的。

定义：设A、B是两事件，如果具有等式

则称A、B为相互独立事件。

容易证明：

（1）若事件A与事件B相互独立，则与、与、与也相互独立。

（2）若则A、B相互独立，与A、B互不相容不同时成立。

定理：设A、B是两事件，且。若A、B相互独立，则 反之亦然。

定义：设A、B、C是三事件，如果具有等式

则称三事件A、B、C两两独立。

定义：设A、B、C是三事件，如果具有等式

则称A、B、C为相互独立的事件。

还可以将上述定义推广任意多个事件（略）。

问题：区别“相互独立”和“互不相容”两概念（见书21页）。

例11、例12 （见教材21页）

§7重复独立试验与二项概率公式

定义:若试验E只有两个可能结果,和,

。将E独立地进行次，则称这一串重复的独立试验为重贝努里试验，简称贝努里试验。

在重贝努里试验中，事件A可能发生次，现在我们求事件A恰有次的概率。

定理：在重贝努里试验中，若事件A在一次试验中出现的概率为，则在次重复独立试验中事件A恰有次的概率为

并且

例13 、 例14 （见教材23页）

第二章 随机变量及其分布

主要内容：

（1）理解随机变量的概念，离散型随机变量及概率函数（分布律）的的概念和性质、连续型随机变量及概率密度函数的概念；

（2）理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；

（3）掌握两点分布、二项分布、泊松（poisson）分布、几何分布、均匀分布、正态分布和指数分布；

（4）会求简单随机变量函数分布。

1随机变量

随机变量是概率论中另一个重要的概念。

定义：对于一个随机试验E，由于随机因素的作用，试验的结果有多种可能性。记E的基本空间为。如果对于试验的每一结果，都对应着一个实数，它是随机试验结果的不同而变化的一个变量，则称为随机变量。随机变量常用大写字母等表示。

举例：见教材29页

按照随机变量的取值情况，可以将随机变量分为两类：

一类是只取有限个或无穷可列多个值的随机变量，称为离散型随机变量；

另一类是非离散型随机变量，它可能在整个数轴上取值，或至少有一部分取值是某实数区间的全部值。

§2离散型随机变量的概率分布

一、离散型随机变量及其分布

定义：离散型随机变量X的一切可取值与其概率间对应关系

称为X的概率分布或分布律，分布律也可以用表格的形式来表示：

由概率的定义知离散型随机变量X的公布应满足如下条件：

1、

2、

例1 社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p。某人每次购买1张奖券，如果没有中奖下次再继续购买1张，直互中奖为止，求该人购买次数X的概率分布。（见教材31页）

例2 设一批产品的次品率为5%，从中任取一产品进行检验，若合格品则记X=1，否则记X=0。可见X是一离散型随机变量，其概率分布为

二、四种常用的离散型随机变量及其分布

1、（0-1）分布

定义：如果随机变量X可能取0与1两个值，其概率分布为

或用表格表示

3、 二项分布

在重贝努里试验中，若知每次试验事件A发生的概率为，不发生的概率为，则事件A在重贝努里试验中恰发生次的概率为

若变量X表示在重贝努里试验中事件A发生的次数，则X是一个离散型随机变量，它所有可能取的值为0、1、2、…,且有

显然有

所以说

是随机变量X的概率分布。

定义：如果随机变量X的概率分布为

其中则称X服从参数为的二项分布，记为。

特别，当时二项分布化为

这是（0-1）分布。

例3、例4（见教材33页）

3、几何分布

设试验E只有两个可能的对立的结果和，并且

其中。将试验E独立地重复进行下去，直到事件A发生为止，以X表示所需要的试验次数，则X是一个随机变量。它可能取值是1、2、3、…。事件表示在前次试验中事件A都没有发生，而在第次试验中事件A发生，它的概率为

我们称随机变量X服从几何分布。易知

例5：某人有10把形状大致相同的钥匙，只有一把钥匙能打开房门，他每次随机地取出一把钥匙开门，试开后放回（若无放回开锁），问他第三次试开能打开房门的概率是多少？（见教材35页）

4、 泊松分布

设随机变量X可能取的值为0、1、2、…、，并且

其中是常数，则称随机变量X服从参数为的泊松（Poisson）分布，记为，易知

三、二项分布和泊松的关系

泊松定理 设是一常数，为任意正数，，则对于任一固定的非负整数，有

泊松定理表明，当很大，很小时，有

其中，这就是二项分布的泊松逼近。

例6：一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求：

（1） 每分钟恰有6次呼叫的概率；

（2） 每分钟的呼叫次数大于5的概率。

例7：设一批产品共2000个，其中有40个次品。从中每次任取1个产品作放回抽样检查，求机检的100个样品中次品数X的概率分布。

（见教材37页）

§3 随机变量的分布函数

一、分布函数

定义 设X是一个随机变量，是任意实数，函数称为X的分布函数。

对于任意实数，有

分布函数是一个普通的函数，正是通过它我们将能用数学分析的方法来研究随机变量。

分布函数具有以下的基本性质：

（1）是一个不减函数，事实上

（2），且

（3），即是右右连续的。

二、离散型随机变量的分布函数

例8 ：设随机变量X的分布律为

求X的分布函数，求

（见教材39页）

§4连续型随机变量的概率密度及其分布函数

一、连续型随机变量的概率密度

定义：设为随机变量X的分布函数，若存在一个非负函数，使得对于任意实数有

则称X为连续型随机变量，其中函数称为X的概率密度函数，简称概率密度。

由定义知道，概率密度函数具有以下性质：

1、

2、

3、

4、若在点处连续，则有

二、几种重要的连续型随机变量的分布

1、 均匀分布

如果随机变量X的概率密度函数为

则称X服从区间上的均匀分布。

对于上的任意子区间, 有

表明X取值任意一小区间的概率与该小区间的具体位置无关,而只与小区间的长度有关. 即在小区间的取值是均匀的. 所以称为均匀随机变量.

2、 指数分布

如果随机变量X的概率密度函数为

则称X服从指数分布（参数为），其分布函数为

例9、例10、例11（见教材46页）

3、正态分布

如果随机变量X的概率密度为

则称X服从正态分布；简记为X～。

的形状：在处得到最大值；曲线相对于直线对称；在处有拐点；当处，曲线以轴为渐近线；当大时，曲线平缓；当小时，曲线陡峭。

标准正态分布 参数，时的正态分布，即称为标准正态分布；它的密度函数为

易知

通过查表计算正态分布清形下的概率

例1．设X～，求，。

解：由定义知道

设，而的数值已经算好，一般的统计书中都有。于是

例2．设X～，求.

解：，做积分变换

，则有

特别

例3. 设X～,求.

解: =

§5随机变量函数的分布

设，如果X是一个随机变量，则Y=也是一个随机变量。

我们现在根据X的分布来求Y的分布。

1、离散型

设X的概率分布（表）为

记，如果诸互不相等，则Y的概率分布为

这是因为

例1：已知X的概率分布为：

令Y=2X+1，则

如果有些相等，则应该将相应的概率合并相加。

例2：求的概率分布

2、连续型

例5：设X～，求的概率密度函数.

解:记X和Y的分布函数分别为和, 则

=

=

=

两端对求导数,则有

可以知道

这表明Y遵从标准正态分布.即Y～.

例6 ：设X～，求的分布函数. 其中a,b为常数, b不是0

解:如果b>0,

=

=

=

类似可以知道,如果b<0

两端求导得到

将代入得

例7： 设圆片的直径是[5,6]区间上的均匀分布,求圆片面积的概率分布.

解: 设圆片的直径为X, 圆片的面积为

先求出X的分布函数,再给出Y的分布函数。

第三章 多维随机变量及其分布

主要内容：

（1）理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布、边缘分布和条件分布；连续型联合概率密度、边缘概率密度和条件密度，会利用二维概率分布求有关事件的概率。

（2）理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立条件。

（3）会求两个随机变量简单函数分布。

§1二维随机变量

一、二维随机变量函数的分布

定义：设E是一个随机变量，它的样本空间是。设和是定义在上的随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y），叫做二维随机变量。

定义：设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数，二元函数

称为二维随机变量（X，Y）的分布函数。

分布函数具有以下基本性质：

1、是变量的不减函数，即对于任意固定的，当时，

；对于任意固定的，当时，。

2、，且

对于任意固定的，

对于任意固定的，

；

3、，即

关于右连续；关于右连续。

二、二维离散型随机变量

如果二维随机变量（X，Y）有所可能取的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型随机变量。

设二维随机变量（X，Y）所有可能取的值为

记作则由概率的定义有

我们称为二维随机变量（X，Y）的概率分布。

例1：（见教材63页）

三、二维连续型随机变量

与一维随机变量相似，对于二维随机变量（X，Y）的分布函数，如果存在非负函数使对于任意有

则称（X，Y）是二维连续型随机变量，函数称为二维连续型随机变量（X，Y）概率密度。

按照定义概率密度具有以下性质：

1、

2、

3、若在点连续，则有

4、设G是平面上的一个域，点（X，Y）落在G内的概率为

例2：（见教材65页）

§2边缘分布

定义:二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数。而二维随机变量（X，Y）的两个分量X和Y都是一维随机变量，它们各自有分布函数。将它们分别记为依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。

对于离散型随机变量，可得：

知道X的分布律为

同样，Y的分布律为

记

分别称和为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律。

对于连续型随机变量（X，Y），设它的概率密度为，由

知道，X是一个连续型随机变量，其概率密度为

同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为

分别称为（X，Y）关于X和关于Y的边缘概率密度。

例3：（见教材68页）

§3条件分布

一、二维离散型随机变量

设（X，Y）是二维离散型随机变量，其分布律为

（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律分别为

设。我们来考虑事件已发生的条件下事件发生的概率，也就是要研究事件

的概率。由条件概率公式，可得

可知上述条件概率具有分布律的特性：

1、

2、

定义：设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的，若

则称

为在条件下随机变量X的条件分布律。

同样，对于固定的，若， 则称

为在条件下随机变量Y的条件分布律。

例5：（见教材73页）

二、二维连续型随机变量（略）

§4相互独立的随机变量

定义：设及分别是二维随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数。若对于所有有

即

则称随机变量X和Y是相互独立的。

当（X，Y）是连续型随机变量时，若及除了个别点及个别曲线上外均连续，则有

事实上，如果X和Y是相互独立，那么

当（X，Y）是离散型随机变量时，X与Y相互独立的条件等价于对于（X，Y）的所有可能取值有

例8：（见教材79页）

§5二维随机变量的函数分布

一、的分布（略）

二、的分布（略） （见教材80页）

第四章 随机变量的数字特征

主要内容：

（1）理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用的数字特征。

（2）会根据随机变量X的概率分布求其函数的数学期望；会根据随机变量X和Y的联合概率分布求其函数的数学期望。

（3）掌握常用分布的数字特征。

§1 数学期望

一、数学期望

定义：设离散型随机变量X的分布律为

若级数

绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为。即

设连续型随机变量X的概率密度为若积分

绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为。即

数学期望简称期望，又称为均值。

二、随机变量函数的期望

定理：设Y是随机变量X的函数：。

1、 X是离散型随机变量，它的分布律为

若绝对收敛，则有

2、 X是连续型随机变量，它的概率密度为

若绝对收敛，则有

例4、例5（见教材96页）

三、期望的性质

1、 设C是常数，则有

2、 设X是一个随机变量，C是常数，则有

3、 设X、Y是两个随机变量，则有

4、 设X、Y是相互独立的随机变量，则有

例6（见教材98页）

§2 方差

一、方差

定义：设X是一个随机变量，若存在，则称为X的方差，记为或，即

而，记为，称为标准差或均方差。

在实际计算中，随机变量X的方差通常采用下列公式计算，即

（证略）

例7、例8（见教材100页）

二、方差的性质

1、 设C是常数，则有

2、 设X是一个随机变量，C是常数，则有

3、 设X、Y是相互独立的随机变量，则有

4、的充要条件是X以概率1取常数C，即

显然，这里。

例9（见教材102页）

三、协方差及相关系数

1、 协方差

定义：量称为随机变量X与Y的协方差，记为，即

在实际计算中，随机变量X的协方差通常采用下列公式计算，即

协方差具有的性质：

①

②

③

2、 相关系数

定义：若存在，则不大于零，则比值

称为（X，Y）相关系数，记作，即

，则称X，Y不相关。

相关系数的性质：

①

②充要条件是，存在常数使

注意：相互独立的两个随机变量X和Y一定不相关；

若X和Y不相关，X和Y却不一定相互独立。

§3 几种重要分布的数学期望

（见教材108页表）

第五章 大数定律及中心极限定理

主要内容：

（1）了解切比雪夫不等式。

（2）了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律。

§1大数定律

定理1：设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差：。作前个随机变量的算术平均

则对于任意正数有

定理2：设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差：，

则序列是依概率收敛于。

定理3：（贝努利定理）设是次独立重复试验中事件A发生的次数，是事件A在每次试验中出现的概率，则对于任意正数，有

或

（证略）

定理4：设随机变量相互独立，且服从同一分布，且具有数学期望则对于任意正数，有

（证略）

§2中心极限定理

一、 中心极限定理

定理1：（独立同分布的中心极限定理）设随机变量相互独立，且服从同一分布，且具有数学期望和方差：

则随机变量

的分布函数对于任意满足

定理2：设随机变量相互独立，且具有数学期望和方差：

记

若存在正数，使得当时，

则随机变量

的分布函数对于任意满足

(证明略)

二、二项分布的正态近似

三、泊松分布的正态近似（见教材119页）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/963117473b68011ca300a6c30c2259010202f324.html