2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试
数学理工农医类(湖南卷)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N等于( )
A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}
2．命题“若，则tanα＝1”的逆否命题是( )
A．若，则tanα≠1 B．若
，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则 D．若tanα≠1，则
3．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
5．已知双曲线C：的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A． B．
C． D．
6．函数f(x)＝sinx－cos(x＋)的值域为( )
A．[－2,2] B．
C．[－1,1] D．
7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，则BC等于( )
A． B．
C．
D．
8．已知两条直线l1：y＝m和l2： (m＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，
的最小值为( )
A． B．
C．
D．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)
9．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1： (t为参数)与曲线C2：
(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
10．不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为__________________．
11．如图，过点P的直线与O相交于A，B两点，若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则
O的半径等于________．
(二)必做题(12～16题)
12．已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
13．的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)
14．如果执行如图所示的程序框图，输入x＝－1，n＝3，则输出的数S＝________.
理图 文图
15．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
(1)若，点P的坐标为(0，
)，则ω＝________；
(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．
16．设N＝2n(n∈N*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后
个位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为C变换．将P1分成两段，每段
个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n－2时，将Pi分成2i段，每段
个数，并对每段作C变换，得到Pi＋1.例如，当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．
(1)当N＝16时，x7位于P2中的第________个位置；
(2)当N＝2n(n≥8)时，x173位于P4中的第________个位置．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
19．已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，….
(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．
20．某企业接到生产3 000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k(k为正整数)．
(1)设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；
(2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
21．在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
(1)求曲线C1的方程；
(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
22．已知函数f(x)＝eax－x，其中a≠0.
(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；
(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k.问：是否存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
1． B 由N＝{x|x2≤x}，得x2－x≤0⇒x(x－1)≤0，
解得0≤x≤1.又∵M＝{－1,0,1}，
∴M∩N＝{0,1}．
2． C 命题“若，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则
”．
3． D 若为D项，则主视图如图所示，故不可能是D项．
4． D D项中，若该大学某女生身高为170 cm，则其体重约为：0.85×170－85.71＝
58．79(kg)．故D项不正确．
5． A 由2c＝10，得c＝5，
∵点P(2,1)在直线上，
∴.又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5.
故C的方程为.
6． B f(x)＝sinx－cos(x＋)
＝
＝
＝
＝．
故选B项．
7． A ∵，
∴.
又∵
＝，
∴.
∴.
8． B 由题意作出如下的示意图．
由图知a＝|xA－xC|，b＝|xD－xB|，
又∵xA·xB＝1，xC·xD＝1，
∴.
yA＋yC＝－log2xA－log2xC
＝－log2xAxC＝，
当且仅当，即
时取等号．
由－log2xAxC≥，得log2xAxC≤
，即0＜xAxC≤
从而，
当时，
取得最小值
，故选B项．
9．答案：
解析：∵C1：∴C1的方程为2x＋y－3＝0.
∵C2：∴C2的方程为
.
∵C1与C2有一个公共点在x轴上，且a＞0，
∴C1与x轴的交点(，0)在C2上，
代入解得.
10．答案：{x|x＞}
解析：对于不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0，分三种情况讨论：
1°，当时，－2x－1－2(－x＋1)＞0，
即－3＞0，故x不存在；
2°，当时，2x＋1－2(－x＋1)＞0，
即；
3°，当x＞1时，2x＋1－2(x－1)＞0,3＞0，
故x＞1.
综上可知，，不等式的解集是
．
11．答案：
解析：过P作圆的切线PC切圆于C点，连结OC．
∵PC2=PA·PB=1×3=3，
∴.
在Rt△POC中，.
12．答案：10
解析：∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝32＋12＝10.
13．答案：－160
解析：的通项为
＝(－1)r26－rx3－r.当3－r＝0时，r＝3.
故(－1)326－3＝－
23＝－160.
14．答案：－4
解析：输入x＝－1，n＝3.
i＝3－1＝2，S＝6×(－1)＋2＋1＝－3；
i＝2－1＝1，S＝(－3)×(－1)＋1＋1＝5；
i＝1－1＝0，S＝5×(－1)＋0＋1＝－4；
i＝0－1＝－1，－1＜0，输出S＝－4.
15．答案：(1)3 (2) f(x)＝sin(ωx＋φ)，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)．
解析：(1)时，f′(x)＝ωcos(ωx＋
)．
∵，即
，∴ω＝3.
(2)当ωx＋φ＝时，
；
当ωx＋φ＝时，
.
由几何概型可知，该点在△ABC内的概率为
＝
＝
＝.
16．答案：(1)6 (2)3×2n－4＋11
解析：(1)由题意知，当N＝16时，P0＝x1x2x3x4x5…x16，P1＝x1x3x5…x15x2x4…x16，则
P2＝x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16，
此时x7位于P2中的第6个位置．
(2)方法同(1)，归纳推理知x173位于P4中的第3×2n－4＋11个位置．
17．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20，
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本．将频率视为概率得
，
，
，
，
.
X的分布列为
X的数学期望为
.
(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则
P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．
由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以
P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)
＝.
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.
18．解：解法一：(1)如图所示，连接AC．由AB=4，BC=3，∠ABC=90°得AC=5.又AD=5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD．而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连结PF.
由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．
由题意∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝
，所以PA＝BF.
由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC．
又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形．
故GD＝BC＝3，于是AG＝2.
在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以
，
.
于是PA＝BF＝.
又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为
.
解法二：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)．
(1)易知＝(－4,2,0)，
＝(2,4,0)，
＝(0,0，h)．
因为＝－8＋8＋0＝0，
＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
(2)由题设和(1)知，，
分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以
，
即.
由(1)知，＝(－4,2,0)，
＝(0,0，－h)．
又＝(4,0，－h)，故
.
解得.
又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为
.
19．解：(1)对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以
B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，
即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.
故数列{an} 是首项为1，公差为4的等差数列．
于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
(2)①必要性：若数列{an}是公比为q的等比数列，则对任意n∈N*，有an＋1＝anq.由an＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是
，
，
即.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．
②充分性：若对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则
B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)．
于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即
an＋2－qan＋1＝a2－qa1.
由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，从而an＋2－qan＋1＝0.
因为an＞0，所以.
故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．
综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．
20．解：(1)设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T1(x)，T2(x)，T3(x)，由题设有
，
，
，
其中x，kx,200－(1＋k)x均为1到200之间的正整数．
(2)完成订单任务的时间为f(x)＝
max{T1(x)，T2(x)，T3(x)}，其定义域为{x|0＜x＜，x∈N*}．易知，T1(x)，T2(x)为减函数，T3(x)为增函数．注意到T2(x)＝
T1(x)，于是
①当k＝2时，T1(x)＝T2(x)，此时
f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}
＝max{}．
由函数T1(x)，T3(x)的单调性知，当时f(x)取得最小值，解得
.
由于，而f(44)＝T1(44)＝
，f(45)＝T3(45)＝
，f(44)＜f(45)．
故当x＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44)＝.
②当k＞2时，T1(x)＞T2(x)，由于k为正整数，故k≥3，此时
.
记，φ(x)＝max{T1(x)，T(x)}，易知T(x)是增函数，则
f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}≥max{T1(x)，T(x)}
＝φ(x)＝max{}．
由函数T1(x)，T(x)的单调性知，当时φ(x)取最小值，解得
.
由于，而φ(36)＝T1(36)＝
，φ(37)＝T(37)＝
.
此时完成订单任务的最短时间大于.
③当k＜2时，T1(x)＜T2(x)，由于k为正整数，故k＝1，此时
f(x)＝max{T2(x)，T3(x)}＝max{}．
由函数T2(x)，T3(x)的单调性知，当时f(x)取最小值，解得
，类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为
，大于
.
综上所述，当k＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44,88,68.
21．解：(1)方法一：设M的坐标为(x，y)，
由已知得.
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以
.
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
方法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆C2圆心(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.
(2)当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)．又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是.
整理得72k2＋18y0k＋y02－9＝0.①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根．故.②
由得
k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以.④
同理可得.⑤
于是由②④⑤三式得
＝
＝.
所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.
22．解：(1)若a＜0，则对一切x＞0，f(x)＝eax－x＜1，这与题设矛盾．又a≠0，故a＞0.
而f′(x)＝aeax－1，令f′(x)＝0得.
当时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当
时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故当
时，f(x)取最小值
.
于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立．当且仅当
.①
令g(t)＝t－tlnt，则g′(t)＝－lnt.
当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；
当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减．
故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1.因此，当且仅当，即a＝1时，①式成立．
综上所述，a的取值集合为{1}．
(2)由题意知，.
令φ(x)＝f′(x)－k＝aeax－.则
φ(x1)＝[ea(x2－x1)－a(x2－x1)－1]，
φ(x2)＝[ea(x1－x2)－a(x1－x2)－1]．
令F(t)＝et－t－1，则F′(t)＝et－1.
当t＜0时，F′(t)＜0，F(t)单调递减；
当t＞0时，F′(t)＞0，F(t)单调递增．
故当t≠0时，F(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.
从而ea(x2－x1)－a(x2－x1)－1＞0，ea(x1－x2)－a(x1－x2)－1＞0.又，
，所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.
因为函数y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在c∈(x1，x2)，使得φ(c)＝0.又φ′(x)＝a2eax＞0，φ(x)单调递增，故这样的c是唯一的，且.故当且仅当
时，f′(x)＞k.
综上所述，存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＞k成立，且x0的取值范围为．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/966c713dee06eff9aef807b1.html
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