2019年河北省中考数学试卷及答案

2019年河北省中考数学试卷

一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）下列图形为正多边形的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（　　）

A．+3 B．﹣3 C．﹣ D．+

3．（3分）如图，从点C观测点D的仰角是（　　）

A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC

4．（3分）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（　　）

A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x＝5

5．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（　　）

A．30° B．25° C．20° D．15°

6．（3分）小明总结了以下结论：

①a（b+c）＝ab+ac；

②a（b﹣c）＝ab﹣ac；

③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；

④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）

其中一定成立的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

则回答正确的是（　　）

A．◎代表∠FEC B．@代表同位角

C．▲代表∠EFC D．※代表AB

8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（　　）

A．5×10﹣4 B．5×10﹣5 C．2×10﹣4 D．2×10﹣5

9．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（　　）

A．10 B．6 C．3 D．2

10．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）

A． B．

C． D．

11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：

①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类

②去图书馆收集学生借阅图书的记录

③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比

④整理借阅图书记录并绘制频数分布表

正确统计步骤的顺序是（　　）

A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②一④→③ D．②→④→③→①

12．（2分）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q

13．（2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　）

A．段① B．段② C．段③ D．段④

14．（2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　）

A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x

15．（2分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）

A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根

C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根

16．（2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．

甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．

乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．

丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．

下列正确的是（　　）

A．甲的思路错，他的n值对

B．乙的思路和他的n值都对

C．甲和丙的n值都对

D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对

二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）

17．（3分）若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为　 　．

18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即4+3＝7

则（1）用含x的式子表示m＝　 　；

（2）当y＝﹣2时，n的值为　 　．

19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．

（1）A，B间的距离为　 　km；

（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为　 　km．

三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．

（1）计算：1+2﹣6﹣9；

（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；

（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．

21．（9分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．

尝试 化简整式A．

发现 A＝B2，求整式B．

联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：

22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P（一次拿到8元球）＝．

（1）求这4个球价格的众数；

（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．

①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；

②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．

23．（9分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．

（1）求证：∠BAD＝∠CAE；

（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；

（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．

24．（10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．

（1）当v＝2时，解答：

①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；

②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）

（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．

25．（10分）如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x．

（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；

（2）当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；

（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．

26．（12分）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；

（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．

2019年河北省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，

故选：D．

2．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．

故选：B．

3．【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，

∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，

故选：B．

4．【解答】解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．

故选：A．

5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，

∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，

∴∠BAD+∠D＝180°，

∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，

∴∠1＝15°；

故选：D．

6．【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确；

②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；

③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；

④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．

故选：C．

7．【解答】证明：延长BE交CD于点F，

则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．

又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．

故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故选：C．

8．【解答】解：＝0.00002＝2×10﹣5．

故选：D．

9．【解答】解：如图所示，n的最小值为3，

故选：C．

10．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．

故选：C．

11．【解答】解：由题意可得，

正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，

故选：D．

12．【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，

所以点M是原点；

故选：A．

13．【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝

又∵x为正整数，

∴≤x＜1

故表示﹣的值的点落在②

故选：B．

14．【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），

∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，

则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，

故选：A．

15．【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，

∴（﹣1）2﹣4+c＝0，

解得：c＝3，

故原方程中c＝5，

则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，

则原方程的根的情况是不存在实数根．

故选：A．

16．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；

乙的思路与计算都正确；

乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；

故选：B．

二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）

17．【解答】解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p，

∴﹣2﹣1+0＝p，

解得：p＝﹣3．

故答案为：﹣3．

18．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：

m＝x+2x＝3x；

故答案为：3x；

（2）根据约定的方法即可求出n

x+2x+2x+3＝m+n＝y．

当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．

解得x＝﹣1．

∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．

故答案为：1．

19．【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，

∴AB＝12﹣（﹣8）20；

（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，

由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，

AE＝12，

设CD＝x，

∴AD＝CD＝x，

由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，

∴解得：x＝13，

∴CD＝13，

故答案为：（1）20；（2）13；

三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20．【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9

＝3﹣6﹣9

＝﹣3﹣9

＝﹣12；

（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，

∴1××6□9＝﹣6，

∴3□9＝﹣6，

∴□内的符号是“﹣”；

（3）这个最小数是﹣20，

理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，

∴1□2□6的结果是负数即可，

∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，

∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，

∴这个最小数是﹣20．

21．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，

∵A＝B2，B＞0，

∴B＝n2+1，

当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝15；

当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．

故答案为：15；37

22．【解答】解：（1）∵P（一次拿到8元球）＝，

∴8元球的个数为4×＝2（个），按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，

∴这4个球价格的众数为8元；

（2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；理由如下：

原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，

∴原来4个球价格的中位数为＝8（元），

所剩的3个球价格为8，8，9，

∴所剩的3个球价格的中位数为8元，

∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；

②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，

∴乙组两次都拿到8元球的概率为．

23．【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∴∠BAC＝∠DAE

即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE

∴∠BAD＝∠CAE．

（2）∵AD＝6，AP＝x，

∴PD＝6﹣x

当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．

（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，

∵AB⊥AC

∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，

∵I为△APC的内心

∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，

∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA

∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）

＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）

＝180°﹣（90°﹣α+60°）

＝α+105°

∵0＜α＜90°，

∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，

∴m＝105，n＝150．

24．【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），

∴S头＝2t+300

②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m

甲返回时间为：（t﹣150）s

∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；

因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．

（2）T＝t追及+t返回＝+＝，

在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；

因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．

25．【解答】解：（1）如图1，AP经过圆心O，∵CP与⊙O相切于P，

∴∠APC＝90°，

∵▱ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠PBC＝∠DAB

∴＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝，设CP＝4k，BP＝3k，由CP2+BP2＝BC2，

得（4k）2+（3k）2＝152，解得k1＝﹣3（舍去），k2＝3，

∴x＝BP＝3×3＝9，

故当x＝9时，圆心O落在AP上；

∵AP是⊙O的直径，

∴∠AEP＝90°，

∴PE⊥AD，

∵▱ABCD，

∴BC∥AD

∴PE⊥BC

（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G，

∵▱ABCD，

∴BC∥AD，

∴∠CBG＝∠DAB

∴＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝，

设CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得m＝3，

∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7，

∴AG＝AB+BG＝3+9＝12

∴tan∠CAP＝＝＝1，

∴∠CAP＝45°；

连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝AP＝，

在Rt△CPG中，＝＝13，

∵CP是⊙O的切线，

∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90°

∴∠OPH＝∠PCG

∴△OPH∽△PCG

∴，即PH×CP＝CG×OP，×13＝12OP，

∴OP＝

∴劣弧长度＝＝，

∵＜2π＜7

∴弦AP的长度＞劣弧长度．

（3）如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，

当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M，

∵∠DAB＝∠CBP，

∴∠CPM＝∠CBP

∴CB＝CP，

∵CM⊥AB

∴BP＝2BM＝2×9＝18，

∴x≥18

26．【解答】解：（1）当x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b，

∴B （0，﹣b），

∵AB＝8，而A（0，b），

∴b﹣（﹣b）＝8，

∴b＝4．

∴L：y＝﹣x2+4x，

∴L的对称轴x＝2，

当x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，

∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2 ）；

（2）y＝﹣（x﹣）2+，

∴L的顶点C（）

∵点C在l下方，

∴C与l的距离b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1，

∴点C与1距离的最大值为1；

（3）由題意得，即y1+y2＝2y3，

得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）

解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0#0，取x0＝b﹣，

对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），

解得x1＝0，x2＝b，

∵b＞0，

∴右交点D（b，0）．

∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b﹣）＝

（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x

直线解析式a：y＝x﹣2019

联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，

∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；

∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，

∴线段和抛物线上各有2021个整数点

∴总计4042个点，

∵这两段图象交点有2个点重复重复，

∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）；

②当b＝2019.5时，

抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，

直线解析式a：y＝x﹣2019.5，

联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，

∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，

在二次函数y＝x+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，

可知﹣1到2019.5之 间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合

条件，因此“美点”共有1010个．

故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/971b4b56b8d528ea81c758f5f61fb7360a4c2b73.html