2019年福建省中考数学试卷及答案解析

2019年福建省中考数学试卷及答案解析

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（2019福建省，1，4分）计算22＋(－1)0的结果是( ) ．

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【解析】原式＝4＋1＝5故选择A．

【知识点】有理数的运算；乘方；零指数次幂；

2．（2019福建省，2，4分）北京故宫的占地面积约为720 000m2，将720 000用科学记数法表示为( ).

A．72×104 B．7．2×105 C．7．2×106 D．0．72×106

【答案】B

【解析】因为720 000＝7．2×100000＝7．2×105，故选项B正确．

【知识点】科学记数法；

3．（2019福建省，3，4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形

【答案】D

【解析】等边三角形是轴对称不是中心对称选，故A选项错误；直角三角形既不是轴对称也不是中心对称图形，故B选项错误；平行四边形是中心对称图形而不是轴对称图形，故C选项错误；正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，D选项正确．故选D

【知识点】轴对称图形；中心对称图形；

4．（2019福建省，4，4分）右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）

【答案】C

【解析】因为球体的主视图是圆形，长方体的主视图是一个长方形，再根据摆放的位置和大小可以判断出C选项正确．

【知识点】三视图；主视图；

5．（2019福建省，5，4分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）

A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】B

【解析】根据正多边形的外角和360°，且正多边形的每个外角都相等，则边数n＝＝10，故选项B正确．

【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和；

6．（2019福建省，6，4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（ ）

A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好

C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳

【答案】D

【解析】根据折线统计图可以看出A、B、C选项均是正确的．D选项就甲、乙、丙三个人的数学成绩而言，丙的波动幅度较大，所以应该是丙的数学成绩最不稳，所以D错误，故选择D．

【知识点】折线统计图

7．（2019福建省，7，4分）下列运算正确的是（ ）

A．a·a3＝ a3 B．(2a)3＝6a3 C．a6÷a3＝ a2 D．(a2)3－(－a3)2＝0

【答案】D

【解析】A．a·a3＝a4，故A错误；B．(2a)3＝8a3，故B错误；C．a6÷a3＝ a3，故C错误；D．(a2)3－(－a3)2＝a6－a6＝0，D正确，故选D．

【知识点】同底数幂的乘除法；积的乘方；幂的乘方；

8．（2019福建省，8，4分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（ ）

A． x＋2x＋4x＝34 685 B．x＋2x＋3x＝34 685

C． x＋2x＋2x＝34 685 D．x＋x＋x＝34 685

【答案】A

【解析】设他第一天读x个字，则第二天读2x个字，第三天读4x个字，由题意可列方程x＋2x＋4x＝34 685．

【知识点】一元一次方程；

9．（2019福建省，9，4分）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上， 且∠ACB＝55°，则∠APB等于（ ）

A．55° B．70° C．110° D．125°

【答案】B

【思路分析】连接OA、OB，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOB的度数，再根据切线的性质可以得到∠OAP＝∠OBP＝90°，由四边形的内角和360°可以求出∠APB的度数．

【解题过程】解：连接OA、OB，∵PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，∴∠APB＝360° －110°－90°－90°＝70°．

【知识点】圆周角定理；切线的性质；四边形内角和；

10．（2019福建省，10，4分）若二次函数y＝｜a｜x2＋bx＋c的图象经过A(m，n)、B(0，y1)、C(3－m，n)、D(， y2)、E(2，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A．y1< y2< y3 B． y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D． y2< y3< y1

【答案】D

【思路分析】利用A(m，n)、C(3－m，n)两点代入二数函数可以得到b＝－3｜a｜，所以对称轴为x＝，因为｜a｜＞0，对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大，再根据0、、2三个数的大小以及对称性，就可以比较出y1、y2、y3的大小关系．

【解题过程】解：把A(m，n)、C(3－m，n)两点分别代入y＝｜a｜x2＋bx＋c，得｜a｜m2＋bm＝｜a｜＋b（3－m），整理得b＝－3｜a｜，对称轴x＝－＝，∵｜a｜＞0，开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大，∵0＜＜＜3－＜2，∴y2< y3< y1．

【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；对称轴

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

11．（2019福建省，11，4分）因式分解：x2－9＝ ．

【答案】( x＋3)( x－3)

【解析】利用平方差公式进行因式分解，则原式＝x2－32＝( x＋3)( x－3)．

【知识点】平方差公式；因式分解；

12．（2019福建省，12，4分）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 ．

【答案】－1

【解析】∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，设C所表示的数为x，则有x－（－4）＝2－x，整理得2x＝－2，解得x＝－1．

【知识点】数轴；数轴上表示两点间的距离；

13．（2019福建省，13，4分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，

随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该

校喜欢甲图案的学生有 ．

【答案】1200人

【解析】×2000＝1200人．

【知识点】样本；统计

14．（2019福建省，14，4分）在平面直角坐标系xOy中，□OABC的三个顶点O(0，0)、A(3，0) 、

B(4，2)，则其第四个顶点是 ．

【答案】（1，2）

【解析】如图，过C、B分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E，可证△OCD≌△ABE，∴CD＝BE＝2，OD＝AE＝1，∴C(1，2) ．

【知识点】平行四边形的性质；全等三角形的判定和性质；

15．（2019福建省，15，4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，

E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 ． (结果保留)

【答案】π－1

【思路分析】可以利用图形的中心对称性质，阴影部分的面积是圆与正方形的面积差的，即可求解．

【解题过程】解：分别延长DC、CB交圆于G、H两点，∵正方形和圆都是中心对称图形，两者的中心重合，

所以该图为中心对称图形，∴阴影部分的面积＝（）＝（4π－4）＝π－1．

【知识点】中心对称图形；圆的面积；正方形的面积

16．（2019福建省，16，4分）如图，菱形ABCD顶点A在例函数y＝(x>0)的图象上，函数y＝(k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B、D 两点，若AB＝2，∠DAB＝30°，则k的值为 ．

【答案】6+2

【思路分析】根据题意可知直线AC的解析式为y＝x，因为点A在例函数y＝(x>0)的图象上，联立可以求出点A的坐标，由∠AOG＝∠CAE＝45°，∠CAB＝∠DAB＝15°，得∠BAE＝30°，在Rt△ABE中利用三角形函数可以分别求出BE和AE的长，从而求得点B的坐标，代入即可求得k值．

【解题过程】解：作出直线AC，过A、B分别作出x轴的垂线，垂足为G、H，过A作AE⊥BH于E，∵函数y＝ (k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，∴直线AC的解析式为y＝x，∵点A在 y＝(x>0)的图象上，∴＝3，解得x＝（负舍去）∴A（，），∵AE∥x轴，∴∠AOG＝∠CAE＝45°，∵菱形ABCD，∠CAB＝∠DAB＝15°，∴∠BAE＝30°，在Rt△ABE，∵AB＝2，∴BE＝AB＝1，AE＝AB＝，∴B（2，+1），把B（2，+1）代入y＝得k＝6+2．

【知识点】反比例函数的解析式；轴对称；菱形的性质；锐角三角函数；

三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2019福建省市，17，8分）解方程组：

【思路分析】利用加法消元消去y，求得x的值，再代入原方程组中的任意一个方程中求得y值即可．

【解题过程】解：，

①＋②得，3x＝9，解得x＝3，将x＝3代入①，得3－y＝5，解得y＝－2．

所以原方程组的解为．

【知识点】解二元一次方程组

18．（2019福建省市，18，8分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上，且DF＝BE.

求证：AF=CE.

【思路分析】根据矩形对边平行且相等，得出DC平行且等于AB，结合DF＝BE可证明四边形AFCE为平行四边形，即可得出结论. 也可利用证明△ADF≌△△CBE，证明AF=CE.

【解题过程】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵DF＝BE，∴DC－DF＝AB－BE，即CF＝AE，∵FC∥AE，∴四边形AFCE为平行四边形，∴AF=CE.

【知识点】矩形的性质；平行四边形的判定及性质；全等三角形的判定与性质

19．（2019福建省市，19，8分）先化简，再求值：(x－1)÷(x－)，其中x =+1.

【思路分析】先通分，然后利用因式分解及约分，进行化简，最后代入x的值，再利用分母有理化知识化简求值.

【解题过程】解：原式＝(x－1)÷＝(x－1)÷＝(x－1)÷＝(x－1)·＝.

当x =+1时，原式＝＝＝1＋.

【知识点】分式混合运算；二次根式运算；因式分解

20．（2019福建省市，20，8分）已知△ABC为和点A'，如图.

(1)以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍； (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.

【思路分析】（1）利用相似三角形面积比等于相似比平方，作△A'B'C'使△A'B'C'的各边是△ABC中各边的2倍；（2）利用三角形中位线定理，结合相似三角形对应边成比例，可得△DEF的各边与△D'E'F'的各边对应成比例，即可得出结论.

【解题过程】（1）如图：

则△A'B'C'为所求作图形.

(2)证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE=AC，EF=AB，FD=BC，同理，D'E'=A'C'，E'F'=A'B'，F'D'=B'C'，∵△ABC∽△A'B'C'，∴==，∴==，即==，∴△DEF∽△D'E'F'.

【知识点】尺规作图；相似三角形性质与判定；三角形中位线

21．（2019福建省市，21，8分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E.

(1)若点E恰好落在边AC上，如图1，求∠ADE的大小；

(2) 若=60°，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BFDE是平行四边形.

【思路分析】(1)根据旋转后图形的形状大小不变，得△ADC为等腰三角形，利用等腰三角形性质求底角度数，再利用直角三角形两个锐角互余，即可求出∠ADE的大小；(2)根据F是AC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得DE＝AB＝BF，再利用等腰三角形三线合一证明BF⊥CE，从而得出BF∥DE，即可得出四边形BFDE是平行四边形.

【解题过程】解：（1）根据旋转性质得：∠DCE=∠ACB＝30°，∠DEC=∠ABC＝90°，CA＝CD，∴∠ADC=∠DAC＝＝75°，∵∠EDC=90°－∠ACD=60°，∴∠ADE=∠ADC－∠EDC=15°；

（2）延长BF交CE于点G.

在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∵点F是边AC中点，∴BF=FC=AC，∴∠FBC=∠ACB=30°，由旋转性质AB=DE，∠DEC=∠ABC=90°，∠BCE=∠ACD=60°，∴DE=BF，∵∠BGE=∠GBC＋∠ECB=90°，∴∠DEC=∠BGE=90°，∴BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形.

【知识点】图形的旋转；直角三角形性质；等边三角形性质与判定；平行四边形判定

22．（2019福建省市，22，10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.

(1)求该车间的日废水处理量m；

(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.

【思路分析】(1)根据每天花费废水处理费370元，判断每天处理废水量是否8元，若超过则需要交给第三方企业处理，然后列式求出m的值；（2）分为该车间每天自己处理废水，和将废水交给第三方企业处理，两种情况列不等式分别讨论，然后取其公共部分，即可求得该厂一天产生的工业废水量的范围.

【解题过程】解：(1)因为工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元，又＝＞8，所以m＜35，依题意得，30+8m +12(35－m)＝370，解得m＝20，故该车间的日废水处理量为20吨.

（2）设一天生产废水x吨.

①当0＜x≤20时，依题意得，8x+30≤10x，解得x≥15，所以15≤x≤20.

②当x＞20时，依题意得，12(x－20)+20×8+30≤10x，解得x≤25，所以20＜x≤25.

综上所述，15≤x≤25.

故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间.

【知识点】一元一次方程；一元一次不等式；反比例函数

23．（2019福建省市，23，10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购实1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；

(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；

(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？

【思路分析】(1)根据表格用维修次数小于等于10的机器总数除以总台数即可；（2）分别求出购买10次维修费用，与11次维修费用的总费用，通过比较，选择维修费用较少的即可．

【解题过程】解：(1)因为“100台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的台数为10＋20＋30＝60，所以“100台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率为＝0.6．故“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率为0.6；

（2）若每台都购买10次维修服务，

此时这100台机器维修费用的平均数为：

y1=(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)＝27300，

若每台都购买11次维修服务：

此时这100台机器维修费用的平均数为：

y2= (26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)＝27500，

因为y1＜y2，所以，购买1台该机器的同时应一次性额外购10次维修服务.

【知识点】概率；加权平均数

24．（2019福建省市，24，12分） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.

(1)求证：∠BAC=2∠DAC；

(2)若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值.

【思路分析】（1）由AC⊥BD，在Rt△AED中根据两个锐角互余，得∠CAD与∠ADE的关系；AB＝AC，在等腰△ABC中得∠BAC与底角∠ACB关系；再结合同弧所对圆周角相等，得∠ADE＝∠ACB，整理即可得出结论；（2）由DF=DC，得外角∠BDC与∠CFD关系，再结合∠BAC=2∠DAC与同弧所对圆周角相等得CF=BC，知CA垂直平分BF，求出AB与AC的长度，根据勾股定理列方程分别求出AE、CE、BE，再利用△ADE∽△BCE，求出AD、DE，作△ABD中AB边上的高DH，利用面积法求出DH，及AH的值，即可利用正切定义求值.

【解题过程】

证明：(1)∵AC⊥BD，∴∠AED=90°，在Rt△AED中，∠ADE=90°－∠CAD，∵AB＝AC，∴＝，∴∠BAC＝180°－(∠ABC－∠ACB)＝180°－2(90°－∠CAD)，即∠BAC＝2∠CAD；

解： (2)∵DF=DC，∴∠FCD=∠CFD，∴∠BDC =∠FCD＋∠CFD=2∠CFD，∵∠BDC＝∠BAC，由（1）得∠BAC＝2∠CAD，∴∠CFD =∠CAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CFD=∠CBD，∴CF＝CB，∵AC⊥BD，∴BE＝EF，故CA垂直平分BF，∴AC＝AB＝AF＝10，设AE＝x，则CE＝10－x，在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2－AE2=BE2=BC2－CE2，又∵BC＝4，∴102－x2=(4)－(10－x) 2，解得x=6，∴AE＝6，CE＝4，∴BE＝=8，∵∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，∴△ADE∽△BCE，∴＝＝，∴DE＝3，AD＝3，过点D作DH⊥AB于H. ∵S△ABD＝AB·DH＝BD·AE，BD＝BE＋DE＝11，10 DH＝11×6，∴DH＝，在Rt△ADH中，AH＝＝，∴tan∠BAD＝.

【知识点】等腰三角形的性质与判定；圆的有关性质；相似三角形的性质与判定；直角三角形的性质

25．（2019福建省市，25，14分）已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；

(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1，垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在 y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.

①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 k，都有A、D、C三点共线.

【思路分析】（1）根据抛物线与x轴只有一个公共点可知△=0，再利用抛物线与x轴的公共点坐标为(2，0)，得到对称轴为x=2，二者联立即可得出结论；（2）将k＝0代入直线y=kx+1－k解析式可知抛物线与直线的两个交点B、C的坐标，由△ABC为等腰直角三角形，求得A点坐标，及抛物线的解析式；（3）联立y=kx+1－k与抛物线解析式，求出B、C的坐标，求得直线AC的解析式，根据B、D垂直于直线y=－1，求得D坐标，将点D坐标代入直线AC解析式，即可求得对于每个给定的实数 k，都有A、D、C三点共线.

【解题过程】解：（1）△=b2－4ac=0，且－=2，∴(－4a)2－4ac=0，∵a≠0，∴c=4a；

（2）①当k＝0时，直线l解析式为y=1，它与y轴的交点为(0，1) .因为直线y=1与x轴平行，所以等腰直角△ABC的直角顶点只能是A，且A是抛物线的顶点，过点A作AM⊥BC于M，则AM=1，所以BM =CM= AM=1，故点A坐标为(1，0)，所以抛物线的解析式可以改写为y=a(x－1)2，因为抛物线过(0，1)，所以1=a(0－1) 2，解得a=1，所以抛物线的解析式为y= x2－2x＋1.

②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(x1，－1)．

由，得x2－(k＋2)x＋k=0，因为△=( k＋2)2－4k= k2＋4＞0，由抛物线的对称性，不妨设x1＜x2，则x1= ，x2= ，所以x1＜1＜x2．

设直线AD的解析式为y=mx＋n，则有，解得，所以直线AD的解析式为y=－x＋．因为y2－(－x2＋)=( x2－1)2＋=

==0，即y2=－x2＋，所以点C(x2，y2)在直线AD上．

【知识点】二次函数解析式；二次函数的图象与性质；等腰三角形性质与判定；一次函数解析式；数形结合思想

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/979896925dbfc77da26925c52cc58bd63186939d.html