线性代数答案赵树嫄主编

线性代数习题

习题一（A）

1，（6）

　（7）

2，（3）－7

　（4）0

4，，或者．

5，．

8,（1）4　（2）7　（3）13

（4） N( n(n-1)…21 )＝（n-1）+(n-2)+…+2+1=

10, 列号为3k42l,故k、l可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5.

12，（1）不等于零的项为

　　（2）！

13，（3）

（4）将各列加到第一列，

17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到

.

（2）…

（3）各列之和相等，各行加到第一行…

18，（3）

20，第一行加到各行得到上三角形行列式，

21，各行之和相等，将各列加到第一列并且提出公因式

从第二行开始各行减去第一行得到

22，最后一列分别乘以再分别加到第1，2，…n-1列得到上三角形行列式

23，按第一列展开

24，将第二列加第一列，然后第三列加第二列，….第n列加第n-1列，最后按第一行展开。

.

25，（1）

（2）各行之和相等…

（3）与22题类似…

（4）当时，代入行列式都会使行列式有两行相同，所以它们都是方程的根。

28，

29,其中1，3两行对应成比例，所以为零.

32，从第二行开始每一行乘以（－1）加到上一行然后按第一列展开

33，按第一列展开

34，原方程化为

….

35,

＝0

解得或者

36，（范德蒙行列式）

37，解

40，（3）D=63，D1=63，D2=126， D3=189

（6）D=20，D1=60，D2=-80， D3=-－20，D4=20

42，∵

∴原方程仅有零解。

43，令，

得 或；故当或时原齐次方程组有非零解。

44，原齐次方程组的系数行列式

即当且时原齐次方程组仅有零解。

习题二（A）

2，（1）

（2）

（3）

（4）由(2A—Y)+2(B—Y)=0得 3Y=2（A+B）

∴

3，因为得方程组

解得x＝－5，y＝－6，u＝4，v＝－2

5，（2）

（3） 14

（7）

11，（1）设，则

，得到方程组

解得，

与解得.

.

（2）

（3）设，，

，解得于是.

13．设所有可交换的矩阵为则，

解得从而.

16，（3）因为，所以.

（4）因为用数学归纳法可以推得

.

（5）因为故可以推出

.

20，

21，.

28，因为，所以为对称矩阵.

因为，所以为对称矩阵.

31, (1)，原矩阵为，其中

；

；

；

（3），记原矩阵为，则有

．

33，

34，（2）因为，所以.

（4）因为，故可逆.，.

（6）因为,故可逆.

,

,.

40, (1).

(2)

(3).

42, 由得到,,

.

44, 两边同乘以.

45, 由得到,于是可逆并且

.

51, 因为,

.

52, .

53, (3),初等行变换得到

(6),.

54, (1)

,

所以 .

(4),

,

.

55, (1),,

.

(2),

,

.

56, ,

.

57, (1) ,秩为2.

(3)

秩为3.

(4)秩为3.

58, 初等行变换得到,因为秩为2必有

, .

59，

　　　当当．

60, ,

因为,所以第二第三两行成比例从而得到

解得,

习题三（A）

1， 用消元法解下列线性方程组

（1）

解

　　　，回代，

，方程组有唯一解：

（2）

解：，

系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3；方程组无解．

　　（3）

　解：　（A，ｂ）＝

，得到同解方程组

设，，则得到一般解为

　　　（6）

解：A＝

，得到同解的方程组

，　　　　令，，

得到

2， 确定a,b的值使下列线性方程组有解，并求其解

（2）

解： 方程的系数行列式D=

当且时，,方程有唯一解,

，，

，于是得

当时,方程组为，，方程组有无穷多解，

；

当时，方程组为，其增广矩阵为

（A， b）＝，r(A)=2,r(A，b)=3,方程组无

解．

补充，

解：

①，此时，增广矩阵为

，解为；

②当,有无穷多解，

③当有无穷多解，

④有无穷多解，

3, (1)

(2)

4，（1），

　（2）

6，（1）（a）设，

得

　　　　 化为方程组，

∴　

（b）对矩阵进行初等行变换：

可得

（2）　　．

9，由题设得到

，∴＝

　　　即，，．

10，（1）矩阵为，可知

；线性相关．

　（2）矩阵为，线性无关．

11，由对应向量构成的矩阵的行列式等于

　　　，线性无关．

12，由对应向量构成的矩阵，

∵　，∴,　线性相关．

13, 证明:令,

整理得到.

因为线性无关, 所以有

, 解得, 从而向量组线性无关.

14，令，

当时，线性无关；当时，线性相关．

16，（1）对矩阵施以初等行变换，得到

，

∴是极大线性无关组，－

（2）对矩阵施以初等行变换，得到

是极大线性无关组,

17，对施以初等行变换，得到

（1）

　　　，∴　是极大线性无关组；并且，

（2）

　是极大线性无关组；并且，，

20，（1）对系数矩阵进行变换得

得方程组

　令, 得．即为基础解系．

(2)

　　　　　得方程组

　　　　　　．令得到：

　　　　再令得到于是基础解系为．

(3)

　　　　　　得到方程组

令得，得到基础解系为．

23，对系数或增广矩阵进行变换得

（1）得方程组

　　　，令得到．

基础解系为，其中c为任意常数．

（2）

　　　　得方程组

，

对应的齐次线性方程组为

　　　　　令，得特解，

　　　　再令得，

　　　　，得,基础解系为

　　　　原方程组的通解为，其中，为任意常数．

(3)，

得到方程组

，特解，基础解系，

于是全部解是．

24,

　　讨论如下：

（1） 当时，方程组无解；

（2） 当时有唯一解；

（3） 当时有无穷多解：此时方程组为

．基础解系为

，特解为，全部解为

．

25，将增广矩阵化为T阵，得

，可知

当且仅当＝0时方程组有解；一般解为

即（为任意实数）

习题四（A）

1，（1）由得到特征值为．

　　　，，

．

　（2）由

　　　　　　　＝0，

　　　　　即，

．

（3）

　　　　　　＝0

　　特征值为．

以代入得

．

得，

．

(4),

, 得到

,

当,得到基础解系,对应的全部特征向量为

(不全为零),

当时, 解方程组得到基础解系

, 全部特征向量为.

3，由题设，

（1），即的特征值为．

　（2）由A可逆，

的特征值为．

（3）

的特征值为．

4，设，

5, 以代入

,得到.

代入

,解得

.

所以其他特征值为.

8，如果A可逆，则存在，并且

∴　 ．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/99b1e368bf64783e0912a21614791711cc797904.html