条件概率经典练习

1. 从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率.

解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,

设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”.

则显然所要求的概率为P(A|B).

根据公式 

          而P(B)=3/15=1/5 , 

          ,

       ∴ P(A|B)=9/14.

2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率.  

解.设事件A表示“掷出含有1的点数”,

设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”.

则显然所要求的概率为P(A|B).

根据公式  

          ,

         ,

          ∴ P(A|B)=1/2.

3. 袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率.

1解.设事件Ai表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N)

则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,

由乘法公式可知:

    P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.

而   P(A3|A1A2)=3/4 ,

      P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 .

由数学归纳法可以知道

            P(A1A2…AN)=1/(N+1).

4.  甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率.  

解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”,

事件B表示“最后取到的是白球”.

根据题意 :  P(B|A)=5/12 , 

                  , 

                    P(A)=1/2.

    ∴

        .

5. 有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率.

解.设事件Ai表示“从甲袋取的2个球中有i个白球”,其中i=0,1,2 .

事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.

 显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意

    P(A0)=1/10 , P(A1)=3/5 , P(A2)=3/10 ;

   P(B|A0)=2/5 , P(B|A1)=1/2 , P(B|A2)=3/5 ;

由全概率公式

P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)

=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.

6. 袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率.

解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则 表示“第一次取到的是非1号球”;

事件B表示“最后取到的是2号球”.

显然       P(A)=1/N,

,

且   P(B|A)=1/(N-1),  

       ;

∴

=1/(N-1)×1/N+1/N×(N-1)/N

=(N2-N+1)/N2(N-1).

7.  袋中装有8只红球 , 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.

(1)取出的两只球都是红球;

(2)取出的两只球都是黑球;

(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球;

(4)第二次取出的是红球.  

解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”,

设事件A2表示“第二次取到的是红球”.

(1)要求的是事件A1A2的概率.

根据题意  P(A1)=4/5,

                ,

                P(A2|A1)=7/9,

   ∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.

(2)要求的是事件的概率.

根据题意:    ,

             ,

∴.

(3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件 的概率.

     , ,

      ,

     ,

  ∴ .

(4)要求第二次取出红球,即求事件A2的概率.

由全概率公式 :  

     =7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.

8.  某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.  

解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,

设事件Bi表示“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)

显然, B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且

P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20;

P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2.

由全概率公式得到

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)

=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645.

9. 轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是0.5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、0.1 .求目标被命中的概率为多少?

解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,

设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,

设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”,

用事件B表示“目标被击中”.

由题意,  P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,

     且A1、A2、A3构成一完备事件组.

又已知 P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.1.

由全概率公式得到 :

P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)

=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031.