北师大版九年级数学知识点汇总

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九

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数

学

知

识

点

汇

总

第一章 特殊平行四边形

一、平行四边形

1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。

（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。

（4）平行四边形是中心对称图形。

3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、面积：S平行四边形=底ⅹ高

二、菱形

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。

（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。

3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）四条边都相等的四边形是菱形。

4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半

三、矩形

1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。

（2）矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。

（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。

3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

4、面积：S矩形=底ⅹ高

四、正方形

1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。

（2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

（3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

（4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。

word/media/image2.gif3、判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形=菱形+矩形

（3）有一个角是直角的菱形是正方形。

（4）对角线相等的菱形是正方形。

4、面积：S正方形=边长的平方；S正方形=对角线乘积的一半

五、中点四边形

1、定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形

2、中点四边形：一般四边形→平行四边形；平行四边形→平行四边形；菱形→矩形；矩形→菱形；

正方形→正方形。

第二章 一元二次方程

一、定义：我们把形如word/media/image3.gif的方程，称为一元二次方程。其中word/media/image4.gif，word/media/image5.gif，word/media/image6.gif分别称为二次项，一次项和常数项，word/media/image7.gif，word/media/image8.gif分别称为二次项系数和一次项系数。

二、解一元二次方程的方法

1、配方法：移项→二次项系数化为1→配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）→开平方（有正负两个结果）→求解→写根。

2、公式法：化为一般形式（word/media/image9.gif）→找出word/media/image7.gif，word/media/image8.gif，word/media/image6.gif（记得带上符号）→代入根的判别式（word/media/image10.gif）→代入求根公式word/media/image11.gif（word/media/image12.gif）→求解→写根。

3、因式分解法：当一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。

（1）提公因式法：word/media/image13.gif→word/media/image14.gif

（2）公式法：①平方差公式：word/media/image15.gif

②完全平方公式：word/media/image16.gif

（3）十字相乘法：word/media/image17.gif

三、一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程word/media/image18.gif

（1）当word/media/image19.gif时，方程有两个不相等的实数根。

（2）当word/media/image20.gif时，方程有两个相等的实数根。

（3）当word/media/image21.gif时，方程没有实数根。

四、一元二次方程根与系数之间的关系（韦达定理）

如果方程word/media/image18.gif有两个实数根word/media/image22.gif，word/media/image23.gif，那么word/media/image24.gif，word/media/image25.gif

五、应用一元二次方程（1、几何面积问题；2、销售问题）

审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→

检验→作答。

第三章 概率的进一步认识

一、列表法和化树状图法

1、列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

2、画树状图法：当一次实验涉及3个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法。

二、频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件A发成的频率word/media/image26.gif稳定于某个常数word/media/image27.gif，那么事件A发生的概率word/media/image28.gif

第四章 图形的相似

一、成比例线段

1、定义：四条线段word/media/image29.gif中，如果word/media/image7.gif与word/media/image8.gif的比等于word/media/image6.gif与word/media/image30.gif的比，即word/media/image31.gif，那么这四条线段word/media/image29.gif叫做成比例线段，简称比例线段。

2、性质：（1）基本性质：如果word/media/image31.gif，那么word/media/image32.gif；

如果word/media/image32.gifword/media/image33.gif，那么word/media/image31.gif

（2）等比性质：如果word/media/image34.gif，那么word/media/image35.gif

（3）合比性质：如果word/media/image31.gif，那么word/media/image36.gif，word/media/image37.gif

二、平行线分线段成比例

1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例

三、相似多边形

1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比

2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

四、相似三角形

1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形

2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似

（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

（3）三边成比例的两个三角形相似

3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比

（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

五、黄金分割：点word/media/image38.gif把线段word/media/image39.gif分成两条线段word/media/image40.gif和word/media/image41.gifword/media/image42.gif，如果word/media/image43.gif，那么称线段word/media/image39.gif被点word/media/image38.gif黄金分割，点word/media/image38.gif叫做线段word/media/image39.gif的黄金分割点，word/media/image40.gif与word/media/image39.gif的比叫做黄金比，即word/media/image44.gif

六、位似图形

1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点word/media/image27.gif,word/media/image46.gif所在的直线都经过同一点word/media/image47.gif，且有word/media/image48.gif=word/media/image49.gif，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点word/media/image47.gif叫做位似中心

2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比

3、画图步骤：（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；word/media/image50.gif描出新图形

（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同

一个数word/media/image51.gif，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它

们的相似比为word/media/image52.gif

第五章 投影与视图

一、投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面叫做投影面

1、中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影

2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影。若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影

二、三视图

1、视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图

2、三视图概念：（1）主视图：从正面得到的视图叫做主视图，反映物体的长和高

（2）左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽

（3）俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽

3、三视图特点：（1）主视图和俯视图的长对正

（2）主视图和左视图的高平齐

（3）左视图和俯视图的宽相等

第六章 反比例函数

一、定义：一般的，形如word/media/image53.gif的函数，叫做反比例函数。其中word/media/image54.gif是自变量，word/media/image55.gif是函数。

自变量word/media/image54.gif的取值范围是不等于0的一切实数

二、表达式：1、word/media/image56.gif； 2、word/media/image57.gif； 3、word/media/image58.gif

三、图象与性质

1、图象：由两条曲线组成（双曲线）

2、性质：

word/media/image67.gif3、反比例 函数比例系数word/media/image59.gif的几何意义

word/media/image67.gif 如图，在反比例函数word/media/image56.gif上任取一点word/media/image68.gif，过这一点分别作word/media/image54.gif轴，word/media/image55.gif轴

的垂线word/media/image69.gif，word/media/image70.gif word/media/image67.gif与坐标轴围成的矩形word/media/image71.gif的面积word/media/image72.gif

4、对称性：（1）中心对称，对称中心是坐标原点

（2）轴对称：对称轴为直线word/media/image73.gif和直线word/media/image74.gif

word/media/image75.gif第七章 直角三角形的边角关系

一、锐角三角函数

在word/media/image76.gif中，word/media/image77.gif，则word/media/image78.gif的三角函数为

二、特殊角的三角函数值

三、解直角三角形

1、直角三角形的边角关系：（1）两锐角关系：word/media/image100.gif

（2）三边关系：word/media/image101.gif（勾股定理）

（3）边角关系：word/media/image102.gif，word/media/image103.gif

word/media/image104.gif，word/media/image105.gif

2、解直角三角形的类型和解法

第八章 二次函数

一、概念：一般的，若两个变量word/media/image54.gif，word/media/image55.gif之间的对应关系可以表示成word/media/image115.gif的形式，则称word/media/image55.gif是word/media/image54.gif的二次函数，其中，word/media/image54.gif是自变量，word/media/image116.gif分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项

二、二次函数图象及其性质

1、图像与性质

2、抛物线与word/media/image116.gif的关系

三、二次函数表达式的确定。确定二次函数表示的方法仍是待定系数法，有以下三种方法：

1、一般式：若已知抛物线过三点，一般设函数表达式为word/media/image145.gif

2、顶点式：若已知抛物线的顶点是word/media/image130.gif，可设函数表达式为word/media/image146.gif

3、交点式：若已知抛物线与word/media/image54.gif轴两个交点word/media/image147.gif，word/media/image148.gif，可设函数表达式word/media/image149.gif

四、二次函数的平移规律

五、二次函数与一元二次方程的关系

二次函数word/media/image145.gif的图象与word/media/image54.gif轴的交点有三种情况：有两个交点；有一个交点；没有交点，当图象与word/media/image54.gif轴有交点时，令word/media/image156.gif，解方程word/media/image157.gif就可以求出与word/media/image54.gif轴交点的横坐标

第九章 圆

一、圆的有关概念和性质

1、圆的基本概念：

（1）圆：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点是圆心，定长是半径

（2）弦、直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧

（4）等圆、等弧：能够重合的圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧

（5）圆心角：顶点在圆心，端点在圆上的角叫做圆心角

（6）圆周角：定点和端点都在圆上的角叫做圆周角

2、圆的性质

（1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中心是

圆心

（2）把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得到的图形都与原图形重合

（3）过不在同一直线上的三个点确定一个圆

二、与圆有关的定理和推论

三、与圆有关的位置关系

1、点与圆、直线与圆的位置关系

2、切线的性质与判定

（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

（2）切线性质的推论：word/media/image220.gif经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

word/media/image221.gif经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

（3）切线判定：word/media/image220.gif经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

word/media/image221.gif和圆只有一个公共点的直线是圆的切线

word/media/image50.gif如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线

（4）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

3、三角形和圆

四、与圆有关的计算

1、弧长和扇形面积

2、正多边形和圆

（1）正多边形的有关计算

（2）正多边形每个内角度数为word/media/image240.gif，每个外角度数为word/media/image235.gif

3、圆锥的有关计算

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a352475b70fe910ef12d2af90242a8956aecaa45.html