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福建省晋江市(安溪一中养正中学惠安一中泉州实验中学四校)2020-2021学年高二数学下学期期末联考

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福建省晋江市（安溪一中养正中学惠安一中泉州实验中学四校）20212021学年高二数学下学期期末联考试
题理
一、选择题：（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1．已知复数z满足i(2z3i,则z（
）
A.5B.5C.10D.10
2.“x3且y3”是“xy6”成立的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件3．将两颗骰子各掷一次，设事件A为“两次点数之和为6点”，事件B为“两次点数相同”，则概率P(B/A的值为（）
A.
12
B.
13
C.
141D.5
4．盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为（）．A.
2418126
B.C.D.35353535
5．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即，试卷满分分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（）A.400B.500C.600D.8006．函数y
2x
的图象大致为（）lnx

7．设随机变量X，Y满足：Y3X1，XB2,p，若PX1（）
1/23
5
，则DY9

A.4B.5C.6D.7
8.高考终止后6名同学游玩我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游玩，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（）
2A.A6A54种
2
B.A654种
C.C62A54种2
D.C654种

x2y22
9.已知双曲线221a0,b0与抛物线y8x有一个公共的焦点F，且两曲线
ab
的一个交点为P，若PF5，则双曲线的离心率为（）
A.5B.3C.
x
x
23
D.23
10.设aR，函数fxeae的导函数f'x是奇函数，若曲线yfx的一条
3
，则切点的横坐标为(2
ln2ln2A.B.ln2C.D.ln2
22
切线的斜率是
x2y2
11.已知双曲线C1:221(a0,b0的一条渐近线恰好是曲线
abC2:x2y22x22y0在原点处的切线，且双曲线的顶点到渐近线的距离为
则曲线的方程为（）
26
，3
x2y2A.1128x2y2B.1168x2y2C.11612x2y2D.1
84
2
12．设函数fx在R上存在导函数fx，对任意xR，都有fxfxx且
f(00x0,时，fxx，若f2afa22a则实数a的取值范畴
为（）
A.1,B.,1C.,01,D.0,1二、填空题：（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）

2/23

13．

0
1
1x2dx______.
5
16
14．二项式x展开式中的常数项是__________．
xx
15.在直角坐标系xoy中，直线l过点M3,4，其倾斜角为45，圆C的方程为
x2y24圆C与直线l交于A、B，则MAMB的值为_______
12
16．已知对任意x，e2不等式eax恒成立(其中e2．71828是自然对数的底
e
数），则实数a
的取值范畴是__________________
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）
17.（本小题12分）2021年9月，国务院公布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；
（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率差不多上0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获等的概率差不多上0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.
3/23
x
2


18．（本小题12分）如图，在RtABC中，ABBC3，点E、F分别在线段AB、AC上，且EF//BC，将AEF沿EF折起到PEF的位置，使得二面角PEFB的大小为.（1）求证：EFPB；
（2）当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求PC与平面PEF所成角的正弦值.


4/23

19．（本小题12分）华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取名同学（男同学名，女同学名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答。选题情形如下表：（单位：人）男同学女同学总计
（1）在犯错误的概率不超过的条件下，能否判定高一学生对物理和数学的学习与性别有关？（2）现从选择做物理题的名女生中任意选取两人，对她们的解答情形进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列和数学期望.附表及公式


5/23








物理题
数学题
总计


x2y23
20．（本小题12分）已知椭圆C:221ab0通过点P0,1，离心率e.
2ab
（1）求C的方程；（2）设直线l通过点Q2,1且与C相交于A,B两点（异于点P），记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，证明：k1k2为定值.
6/23


21.（本小题12分）已知函数fx2lnx2mxx(m0
2
（1）讨论函数fx的单调性；
（2）当m
32
时，若函数fx的导函数f'x的图象与x轴交于A,B两点，其横坐2
标分别为x1,x2(x1x2，线段AB的中点的横坐标为x0，且x1,x2恰为函数
2
hxlnxcx2bx的零点，求证：x1x2h'x0ln2
3
，
7/23


请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(xxax2（1）当a1时，解不等式f(x4;
（2）x0R,f(x02a1,求a的取值范畴.
8/23


23．（本小题10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为
xt
(t为参数，mR以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的
ymt
极坐标方程为
2
3
(0,[0,].2
12sin
（1）求曲线C1、C2的直角坐标方程.
（2）若P,Q分别为C1、C2上的动点，且P,Q间距离的最小值为22，求实数m的值.
9/23

2021-2020学年高二下学期期末联考数学（理）答案
一、选择题：（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）
1．已知复数满足，则（）A.B.C.D.
1．C详解：∵i（2﹣z）=3+i，∴z=2﹣=1+3i，∴|z|=．故选：C．2.“x3且y3”是“xy6”成立的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件2．A解析若“x3且y3”成立，则“xy6”一定成立．反之，若“xy6”成立时，但“x3且y3”不一定成立．故“x3且y3”是“xy6”成立的充分不必要条件．选A．
3．将两颗骰子各掷一次，设事件A为“两次点数之和为6点”，事件B为“两次点数相同”，则概率的值为（）A.B.C.D.
3.D解：依照条件概率的含义，其含义为在A发生的情形下，B发生的概率，即在“两次点数之和为6点”的情形下，“两次点数相同”的概率，“两次点数之和为6点”的情形，共5种，“两次点数相同”则只有一个，故=．故选：D．
4．盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为（）．A.
2418126
B.C.D.35353535
4．B
1
C2C6318
【解析】由题意得所求概率为P433．选B．
C73535

5．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即，试卷满分分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（）
10/23

A.400B.500C.600D.8005．A【解析】，.故选A.
6．函数y
2x
的图象大致为（）lnx

6.【答案】B
【解析】试题分析：采纳排除法，函数定义域为,00,，排除A，当x1时，
lnx0,y
2x2x
0，排除D，当x1时，lnx0,y0，排除C，故选B.lnxlnx
5
，则DY9
7．设随机变量X，Y满足：Y3X1，XB2,p，若PX1（）
A.4B.5C.6D.7
07．A【解析】由题意可得：PX11PX01C21p
2
5
，9
解得：p择A选项.
1124
，则：DXnp1p2,DY32DX4。本题选3339
8.高考终止后6名同学游玩我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游玩，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（）A.答案D
种B.
种C.
种D.
种
11/23

x2y22
9.已知双曲线221a0,b0与抛物线y8x有一个公共的焦点F，且两曲线
ab
的一个交点为P，若PF5，则双曲线的离心率为（）
A.5B.3C.9.【答案】D
23
D.23
【解析】∵抛物线y8x的焦点坐标F2,0，p4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点
2
相同，∴p2c，c2，∵设Pm,n，由抛物线定义知：PFm
p
m25，2
a2b24
a21
，解得：{2∴m3，∴P点的坐标为3,26，∴{924，c2，则
21b32ab

双曲线的离心率为2，故选D.
10.设aR，函数fxeae的导函数f'x是奇函数，若曲线yfx的一条
x
x
3
，则切点的横坐标为(2
ln2ln2A.B.ln2C.D.ln2
22
切线的斜率是
11.已知双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，且双曲线的顶点到渐近线的距离为，则曲线的方程为（）A.B.C.D.11.解D：曲线化为标准形式：圆心坐标为,∴，
又双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，∴，∵双曲线的顶点到渐近线的距离为，∴，即，又∴∴曲线的方程为故选：D
12/23


12．设函数fx在R上存在导函数fx，对任意xR，都有fxfxx且f
2
（0）=0x0,时，fxx，若f2afa22a则实数a的取值范畴为（）
A.1,B.,1C.,01,D.0,112B

fxfxx2,fx
12x,2
令gxfx
121
xfxx20，22
11
gxgxfxx2fxx20，
22
∴函数g(x为奇函数.
x0,时,f'xx.x0,时,
g'xf'xx0,故函数gx在0,上是增函数，故函数gx在,0上也
是增函数,由f00,可得gx在R上是增函数.
f2afa22a,等价于f2a
2a
2
2
a2
fa，
2
即g(2ag(a,2aa,a1本题选择B选项.
二、填空题：（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13．_______.
详解：由，可得.表示圆心为(0,0，半径为1的上半圆.即为该圆位于第二象限部分的面积，即个圆.因此.故答案为：.
1614．二项式x展开式中的常数项是__________．
xx
【答案】5
13【解析】二项式x
5

6
1k6
TCx展开式的通项为k15
xx
5
5
5k
1530k3k
x2C5x2，
k
16154
令30k0，得k4，即二项式x展开式中的常数项是C55.2xx

13/23

15.在直角坐标系xoy中，直线l过点M3,4，其倾斜角为45，圆C的方程为
x2y24圆C与直线l交于A、B，则MAMB的值为_______

2
15.【解析】将
2t2{
2
y4t
2x3
代入圆方程得
2223t2t4t52t9022
t1t29MAMBt1t29


22
12216．已知对任意x，e不等式eax恒成立(其中e2．71828是自然对数的底
e
数），则实数a
的取值范畴是__________________16【解析】由ex得上恒成立．令fx
x
a
2
x
x12lnx1122lnx在x，e2上恒成立，即在x，eaaxee
21lnx2lnx112x，e，x，e，则fx，∴当时，fx0，2xxee
fx单调递增，
2
当xe，e时，fx0，fx单调递减．∴fxmaxfe
2
，∴e
14/23

12fe，ae
∴0a
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）
17．（本小题12分）2021年9月，国务院公布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；
（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率差不多上0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获等的概率差不多上0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.试题解析：
（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件，则，
因此该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为.......................4分（
2
）
随
机
变
量
的
所
有
可
能
取
值
有
0,
1
，
2
，
ee
．故实数a的取值范畴是0，22
3.................................................................5分因
为,...................................................................................................6分
，...................................................................................7分
，.............................................................................
15/23

....8分
，.........................................................................................................9分
因此的分布列为
.............................
.......10分
因此............................................................12分
18.（本小题12分）如图，在Rt中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为.（1）求证：；（2）当点为线段的靠近
点的三等分点时，求与平面所成角的正弦值.


试题解析：（1）
,翻折后垂直关系没变，仍有,................................................1分，.............................................................................
16/23

.....................................2分
AEBEE.................................................................
........................................3分，PB面PBE
..........................................................................................................4分(2,二面角的平面角，............5分，又,由余弦定理得,
,,两两垂直......................6分
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系.

则...........................................................7分..................................................................8分设平面的法向量
由可得.....................................................................10分
................................................12分故PC与平面PEF所成的角的正弦值为.
19．（本小题12分）华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取名同学（男同学名，女同学名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答。选题情形如下表：（单位：人）
物理题
数学题
总计
17/23

男同学女同学总计



（1）在犯错误的概率不超过的条件下，能否判定高一学生对物理和数学的选择与性别有关？（2）现从选择做物理题的名女生中任意选取两人，对她们的解答情形进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列和数学期望.附表及公式
19.（1）由表中数据得的观测值...................................3分
在犯错误的概率不超过的前提下，不能判定高一学生对物理题和数学题的选择与性别有关................4分
（2）由题可知在选择做物理题的名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有12种；两人都被抽到有种∴可能值为0，1，2............................................5分







P(x0
151231
..........................8分,P(x1,P(x2
2828728
的分布列为：



..............................................................................................................................10分
∴.........................................................................12分
18/23

x2y23
20．（本小题12分）已知椭圆C:221ab0通过点P0,1，离心率e.
2ab
（1）求C的方程；
（2）设直线l通过点Q2,1且与C相交于A,B两点（异于点P），记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，证明：k1k2为定值.
x2y2
（1）因为椭圆C:221ab0，通过点P0,1，因此b1．
ab
又e故
3c3
，因此，解得a2．
a22
而
可
得
椭
圆
的
标
准
方
程
为
：
x2
y21．.............................................4分4
（2）若直线
AB的斜率不存在，则直线l的方程为
x2，..................................5分
现在直线与椭圆相切，不符合题意．设
直
线
AB的方程为
y1kx2
，即
ykx2k1，................................6分
ykx2k1
联
立
{x22
y14
，得
14kx
2
2
8k2k1x16k216k0．....................7分
8k(2k1
xx1214k2...........................................................2
16k16kx1x2
14k2
......8分
设Ax1,y1，Bx2,y2，则
k1k2
xkx2k2x1kx22k2y11y21
21x1x2x1x2
19/23


2kx1x22k2x1x2
x1x2
2k
2k2x1x2
x1x2
2k
因
2k28k2k12k2k11

16kk1
此
k1k2
为定值，且定值为
-1．..................................................12分
21．（本小题12分）已知函数fx2lnx2mxx(m0
2
（1）讨论函数fx的单调性；
（2）当m
32
时，若函数fx的导函数f'x的图象与x轴交于A,B两点，其横坐2
标分别为x1,x2(x1x2，线段AB的中点的横坐标为x0，且x1,x2恰为函数
2
hxlnxcx2bx的零点，求证：x1x2h'x0ln2
3

解：（1）由于fx2lnx2mxx的定义域为0,，
2
则
f'x
1分
2x2mx1
x

.........................................................
关于方程x2mx10，其判别式m24.当m240，即0m2时，
f'x0
恒成立，故
fx
在
0,
内单调递
增...............................................................2分
22
当m40，即m2，方程xmx10恰有两个不相等是实
mm24
，............3分x
2
mm24mm24
令f'x0，得0x或x，
22
20/23

mm24mm24
现在fx单调递增；令f'x0，得，现在fx单x
22
调递减............4分
综上所述，当0m2时，fx在0,内单调递增；当m2时，fx在
mm24mm24mm24mm24
,,内单调递减，在0,，
2222
内单调递增..................................5分（2）由（1）知，f'x
2x2mx1
x

，因此f'x的两根x
1
，x2即为方程
x2mx10的两根.
因
为
m
32
2
，因此
m240
，
x1x2m
，
x1x21......................................6分
又因为x1，x2为hxlnxcxbx的零点，
2
因此
lnx1cx12bx10
，
2
lnx2c2bx20
，，
两式相减得得
ln
x1
cx1x2x1x2bx1x20x2
x1x2
bcx1x2.........................................................
x1x2
ln
................8分而h'x
1
2cxb，x
此
因
x1x2h'x0

x1x2
1
2cx0bx0
x1
x2
x1ln2x2
cx1x2cx1x2x1x2
x1x2x1x2



2x1x2x1x2
ln
21/23

x1
1x2x2ln1.........................................................10分x1x2
1x2
令
x122
2x1x2m2，因为x1x21，两边同时t(0t1，由x1x2m2得x12x2
x2
除以x1x2，得t2m2，因为m
1t32151
，故t，解得0t或t2，因此2t22
2
t11t11
0，则在yGt0t.设Gt2lnt，因此G't0,上2
2t12tt1
是减函数，因此GtminG
21
ln2，
32
即yx1x2h'x0的最小值为因
2
ln2.3
此
x1x2h'x0
.........12分
2
ln2......................................................3
请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.
（1）当时，解不等式；（2），求的取值范畴.
详解：（1）当时，，即或或解得或或，故此不等式的解集为..........................................................................................................................5分
（2）因为，因为，有成立，因此只需，化简得，解得或，因此的取值范畴为.................10
22/23

分
23．（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）.（1）求曲线、的直角坐标方程.
（2）若、分别为、上的动点，且、间距离的最小值为，求实数的值.详
解
：（
1
）
消
去
参
数
可
得
的
直
角
坐
标
方
程
为，.............................................2分
的方程即：，即，.............................................................4分则
直
角
坐
标
方
程
为：........................................................................................5分（没写y0扣1分）（2）设，，
则到的距离，..........................................7分由、间距离的最小值为知：当
时
，
得；........................................................................................8分当
时
，
，
得........................................................................9分综
上
：
或
者.................................................................................................10分
23/23

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《福建省晋江市(安溪一中养正中学惠安一中泉州实验中学四校)2020-2021学年高二数学下学期期末联考.doc》
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