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九年级上人教版数学练习册答案
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数 学 · 九 年 级 上 · 人 教 版
第 二 十 一 章 二 次 根 式 | ６ ． （１ ）２ ；（２ ）－ ６ 槡５ ７ ． １ | ||
第 １ 节 二 次 根 式
８ ．－ 槡２
１ ．Ｃ ２ ．Ｂ ３ ．Ａ ４ ．Ｄ ５ ．Ａ ６ ．＜
| １１ ４ ９ ． | ||||||||
８ ．（１ ）狓 ≥ － １ ；（２ ） 任 何 实 数 ；（３ ）犿 ≤
练 习 二 （混 合 运 算 ）
０ ；（４ ）犿 ＝ ２ ；（５ ）犪 ＞ ０ ；（６ ）犪 ＞ ３
１ ．Ｄ ２ ．Ｂ ３ ．Ａ ４ ．３ ４５ ５ ．３ 槡２
９ ．（１ ）８０ ；（２ ） ７ ４ | ；（３ ）９ | ６ ．（狓 | ２ ＋ ３ ）（狓 ＋ 槡３ ）（狓 － 槡３ ） | ||||
７ ．１ － ４ 槡６ １０ ．４ １１ ．１ 或 － １ １２ ．２ 犫 ＋ 犮 － 犪
８ ．（１ ）狓 ＝ － １ ；（２ ）狓 ≤ ０
第 ２ 节 二 次 根 式 的 乘 除
９ ．１ ＋ 槡３ １ ．Ｄ ２ ．Ｃ ３ ．Ｃ ４ ．狓 ≥ ２
１０ ．甲 的 对 ，被 开 方 数 根 要 大 于 零
５ ． ４８ ３２ ３０
１１ ．２ ００１
６ ．８ 狓狔 槡狔 － 槡－ 犪 － 犫 槡犪
１２ ．∵ 槡犪 － ４ ＋ 槡３犪 － 犫 ＝ ０
７ ． － 槡１ － 犪 ８ ． ＜ ＜
９ ．（１ ）－ 槡１１ ；（２ ） （１ － 犪 ） 槡１ － 犪 ； （３ ） － ２犪犫 １０ ． （１ ）－ ２ ；（２ ）２ | 而 槡犪 － ４ ≥ ０ ， 槡３犪 － 犫 ≥ ０ ∴ 槡犪 － ４ ＝ ０ ，且 槡３犪 － 犫 ＝ ０ 解 之 得 犪 ＝ ４ ，犫 ＝ １２ | |||
∴ 犪 ＋ 犫 ＝ ４ ＋ １２ ＝ １６０ ． １１ ．３０ 槡 ６ ｃ ｍ 提 示 ：作 一 个 腰 为 的 等 腰 直 角 三 １３ ． １ １２ ．（１ ） 槡１１７ ；（２ ）８ 槡２ ；（３ ）５ 槡５ 角 形 ，以 其 斜 边 为 直 角 边 作 直 角 三 犃 犅 犆 犃 犆 １３ ．０ 角 形 ，其 中 则 以 点 为 圆 心 ， 犃 犆 犈 犈 犆 ＝ １ ． 犃 １４ ． 提 示 ：平 方 后 比 较 ，槡２ ＋ 槡６ ＜ 槡３ ＋ 槡５ ． 以 直 角 三 角 形 的 斜 边 长 为 半 径 画 弧 ， 犃 犆 犈 第 ３ 节 二 次 根 式 的 加 减 它 与 数 轴 正 半 轴 的 交 点 即 为 表 示 的 点 ，即 槡 ３ 练 习 一 （加 减 运 算 ） | ||||
可 找 到 槡３ ＋ １ 的 点 ．
１ ．Ｂ ２ ．０
２８ ５ ３ ．（１ ）－ １４ 槡２ ；（２ ） ４ ． （１ ）０ ；（２ ）１０ | １６ ９ 槡１０ ；（３ ） | 槡３ | |||
５ ． （１ ）２４ 槡６ ；（２ ） 槡６ － 槡５
图 １
１
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人 教 版 · 数 学 · 九 年 级 （ 上 ）
第 二 十 二 章 一 元 二 次 方 程 | （２ ）第 一 种 方 法 出 现 分 式 犫 ２犪 | ，配 方 比 较 | ||||||
第 １ 节 一 元 二 次 方 程 １ ． ４ 狓 ２ － ５狓 ＋ ３ ＝ ０ ４ － ５ ３ | 繁 ；两 边 开 方 时 分 子 、分 母 都 出 现 “± ”，相 除 后 为 何 只 有 分 子 上 有 “± ”，不 好 理 解 ；还 易 | |||||||
误 认 为 槡４犪 ２ ＝ ２犪 ．所 以 ，第 二 种 方 法 好 ．
２ ． Ｄ ３ ．Ｃ ４ ． Ｃ ５ ．Ｂ
６ ．狓 ２ ＋ ２狓 － １ ＝ ０ ．
１３ ．（１ ）狓 ２ ＋ ７狓 ＋ ６ ＝ （狓 ＋ １ ）（狓 ＋ ６ ）；
７ ． 设 最 小 的 整 数 为 状 ， 则 状 ２ ＋ 状 － ２７２ ＝ ０ ．
（２ ）狓 ２ － ７狓 － ６０ ＝ （狓 － １２ ）（狓 ＋ ５ ）；
８ ． 设 这 个 人 行 道 的 宽 度 为 狓 ｍ ， 则 （３ ）狆 ２ ＋ ７狆 － １８ ＝ （狆 ＋ ９ ）（狆 － ２ ）；
（２４ － ２狓 ）（２０ － ２狓 ）＝ ３２ ． （４ ）犫 ２ ＋ １１犫 ＋ ２８ ＝ （犫 ＋ ４ ）（犫 ＋ ７ ）．
９ ． 设 中 粳 “６４２７ ”稻 谷 的 出 米 率 的 增 长 率 １４ ．（１ ）犿 １ ＝ － １ ，犿 ２ ＝ － ２ ；
为 狓 ，则 稻 谷 产 量 的 增 长 率 为 ２狓 ．根 据 题 意 ，得 | （２ ）狓 | １ ＝ １ ，狓 ２ ＝ ６ ； | ||||||
５００ （１ ＋ ２ 狓 ）· ７０ ％ （１ ＋ 狓 ） ＝ ４６２ ，化 简 | （３ ）犿 | １ ＝ ３ ，犿 ２ ＝ ４ ； | ||||||
可 得 ：５０狓 ２ ＋ ７５狓 － ８ ＝ ０ ． （４ ）狓 １ ＝ ４ ，狓
２ ＝ ２ ．
１０ ． （１ ）设 １１ 、１２ 月 的 平 均 月 增 长 率 为
练 习 二
狓 ， 则 １００ （１ ＋ 狓 ） ＋ １００ （１ ＋ 狓 ）２ ＝ ２３１ ； １ ．Ｂ ２ ． ０ 或 － ２ ３ ． ０ － １ １
（２ ）１１００ 吨 ． １１ ． 设 最 短 的 直 角 边 长 为 狓 ，则 长 直 角 | ４ ． | １ ４ | |||
边 为 狓 ＋ １４ ，可 得 狓 （狓 ＋ １４ ）＝ １２０ ．
５ ． １３ ６ ． ２ ．５ ｍ
７ ． 设 三 、四 月 份 平 均 每 月 增 长 的 百 分 率
１２ ． 设 兔 舍 平 行 于 旧 墙 的 长 为 狓 ｍ ，则
宽 为 １
２ 狓 · １ ２ | 为 狓 ，依 题 意 得 ６０ × （１ － １０ ％ ） （１ ＋ 狓 ）２ ＝
８ ． 设 ２００７ 年 年 获 利 率 为 狓 ， 则 ２００８ 年 | |||||||||||
化 简 得 ：狓 ２ － ３５狓 ＋ ３００ ＝ ０ ， 的 年 获 利 率 为 （狓 ＋ ０ ．１ ），１００ （１ ＋ 狓 ）（１ ＋ 狓
解 得 狓 | １ ＝ １５ ，狓 ２ ＝ ２０ ． | ＋ ０ ．１ ） ＝ １５６ ， 解 得 狓 ＝ ２０ ％ ， ０ ．１ ＋ 狓 | |||
第 ２ 节 降 次 ——— 解 一 元 二 次 方 程
＝ ３０ ％ ．
练 习 一 ９ ． 因 为 ８ ＜ 狓 ＜ １４ ， 通 过 估 算 可 知
１ ． Ｂ ２ ． Ｃ 狓 ＝ １０ ．
３ ． （１ ）狓 | １ ＝ ２ ，狓 ２ ＝ ４ ； | １０ ． 设 应 挖 狓 ｍ ， 则 （６４ － ４ 狓 ）（１６２ － | ||||||||||||||||||||||
（２ ） 狓 | １ ＝ ２ ，狓 ２ ＝ １０ ． | ２狓 ） ＝ ９ ６００ ， 解 得 狓 ＝ １ ｍ ． | ||||||||||||||||||||||
４ ．（１ ）狓 | １ ，２ ＝ １ ± 槡６ ３ | ； | １１ ．Ａ １２ ．Ｃ １３ ．Ｃ １４ ．Ｄ １５ ．Ｃ １６ ．２ １７ ．１０ １８ ．犽 ＞ １ | |||||||||||||||||||||
（２ ）狓 | １ ＝ ８ ，狓 ２ ＝ － | １９ ３ | ． | １９ ．（１ ）方 程 无 实 数 根 ； （２ ）方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ； | ||||||||||||||||||||
５ ． （１ ） 狓 | １ ＝ ０ ，狓 ２ ＝ ２ ；（２ ）狓 ＝ ５ | ２０ ． （１ ）答 案 不 唯 一 ． 根 据 一 元 二 次 方 | ||||||||||||||||||||||
６ ．狓 １ ＝ － ２ ，狓
２ ＝ １ ７ ．１ ｓ 程 根 的 判 别 式 ， 只 要 满 足 犿 ＜ ５ 的 实 数 即
８ ． １３ ± 槡３４７ ≈ ３２ 分 ９ ．４ 或 １ ．０ １０ ． ８ ，９ | 可 ；如 犿 ＝ １ ，得 方 程 狓 ＋ ４狓 ＝ ０ ，它 有 两 个 不 等 实 数 根 ：狓 １ ＝ ０ ，狓 ＝ － ４ ； | ||
１１ ． 若 一 元 二 次 方 程 犪狓 ２ ＋ 犫狓 ＋ 犮 ＝ ０ （２ ）答 案 不 唯 一 ． 要 依 赖 （１ ）中 的 犿 的
的 两 个 根 是 狓 | １ 、狓 ２ ，则 二 次 三 项 式 犪狓 | ２ ＋ 犫狓 | 值 ，由 根 与 系 数 的 关 系 可 得 答 案 ．α ＝ ０ ， | ||||||||
＋ 犮 ＝ （狓 ＋ 狓 １ ）（狓 ＋ 狓 ２ ）． １２ ． （１ ）两 种 方 法 的 本 质 是 相 同 的 ，都 | β ＝ ４ ，α ２ ＋ β ２ ＋ αβ ＝ ０ ＋ １６ ＋ ０ ＝ １６ ． ２１ ．（１ ）Δ ＝ （犿 － １ ）２ － ４ （－ ２犿 ２ ＋ 犿 ） | ||||||||||
运 用 的 是 配 方 法 ． ２ － ６ 犿 ＋ １ ＝ （３ 犿 － １ ）２
＝ ９ 犿
２
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参 考 答 案 与 提 示
要 使 狓
另 解 ：由 狓 | １ ３ ． ２ ＋ 犿 ＝ ０ | 即 （狓
所 以 犽 ＞ | ２ － ３ ）＜ ０ | ||||||||||||||||||||||||||||||
得 狓 | １ ＝ 犿 ，狓 ２ ＝ １ － ２ 犿 ，由 狓 １ ≠ 狓 ２ 解 得 ． | 第 ３ 节 实 际 问 题 与 一 元 二 次 方 程 | |||||||||||||||||||||||||||||||
（２ ）∵ 狓 | １ ＝ 犿 ，狓 ２ ＝ １ － ２ 犿 ，狓 | ２ ＋ 狓 | ２ ＝ ２ | 练 习 一 | |||||||||||||||||||||||||||||
∴ 犿 １ ．Ｃ ２ ．Ａ
２ ＋ （１ － ２ 犿 ）２ ＝ ２
解 得 犿 | １ ＝ － | １ ５ | ，犿 | ２ ＝ １ ． | ３ ． 设 这 两 年 平 均 增 长 的 百 分 率 为 狓 ，则 ８ （１ ＋ 狓 ）２ ＝ ９ ，解 得 狓 ≈ ６ ％ ． | ||||||
另 解 ：也 可 用 韦 达 定 理 来 解 ．
４ ． 设 三 、四 月 份 的 平 均 增 长 率 为 狓 ，则 ２２ ．（１ ）狓 １ ＝ － １ ，狓 ２ ＝ － １ ，狓
１ ＋ 狓 ２ ＝
１ ０００ （１ － １０ ％ ）（１ ＋ 狓 ）２ ＝ １ ２９６ ， 解 得 狓 ＝ ２０ ％ ．
－ ２ ，狓
（２ ）狓 | ，狓 | ２ ＝ ３ － 槡１３ ２ | ，狓 | １ ＋ 狓 ２ | ５ ． 由 题 意 得 狓 ＝ ５ ． | １０ － 狓 （ １０ ） | ＝ ２５ ％ ， 解 得 | ||||||||||||||||||
＝ ３ ，狓 | １ · 狓 ２ ＝ － １ | ６ ．提 示 ： 设 金 边 宽 为 狓 ｃ ｍ ， 则 （６０ ＋ | |||||||||||||||||||||||
（３ ）狓 １ ＝ １ ，狓 ２ ＝ － | ７ ３ | ，狓 | １ ＋ 狓 ２ ＝ － | ４ ３ | ， | ２ 狓 ）（４０ ＋ ２狓 ）－ ６０ × ４０ ＝ | １３ ７５ | × ６０ × ４０ ． | |||||||||||||||||
狓 １ · 狓 | ２ ＝ － | ７ ３ | ７ ． 设 垂 直 墙 面 的 边 长 为 狓 ｍ ，则 另 一 边 长 为 （３３ － ２狓 ） ｍ ， | ||||||||||||||||||||||
猜 想 ：犪狓 | ２ ＋ 犫狓 ＋ 犮 ＝ ０ 的 两 根 为 狓 | １ 与 列 方 程 得 狓 （３３ － ２狓 ） ＝ １３０ ， 解 得 | |||||||||||||||||||||||
狓 ２ ，则 狓 | １ ＋ 狓 ２ ＝ － | 犫 犪 | ，狓 | １ · 狓 | ２ ＝ | 犮 犪 | ， | 狓 １ ＝ ６ ．５ ，狓 ２ ＝ １０ ． 当 狓 ＝ ６ ．５ 时 ，３３ － ２狓 ＝ ２０ ＞ １８ 不 符 | |||||||||||||||||
应 用 ：另 一 根 为 ２ － 槡３ ，犮 ＝ １
合 要 求 ，舍 去 ；
２３ ． 依 题 意 有 ：
当 狓 ＝ １０ 时 ，３３ － ２狓 ＝ １３ ＜ １８ 符 合
狓 １ ＋ 狓 ２ ＝ － ２ （犿 ＋ ２ ） ① 烄 | 要 求 ． | |||||
狓 １狓 ２ ＝ 犿 ２ － ５ ② 烅 狓 １ ２ ＋ 狓 ２ ＝ 狓 １狓 ２ ＋ １６ ③ | 故 花 坛 的 长 为 １３ ｍ ，宽 为 １０ ｍ ． ８ ． （１ ）∵ 四 月 份 用 电 １８０ 度 ，交 电 费 ， | |||||
Δ ＝ ４ （犿 ＋ ２ ）２ － ４ （犿 ２ － ５ ）≥ ０ 恰 好 为 每 度 ０ ．２ 元 ， ∴ 四 月 份 用 电 没 超 过 犪
烆 ④
由 ① ② ③ 解 得 ：犿 ＝ － １ 或 犿 ＝ － １５ ，又 度 ，五 月 份 用 电 ２５０ 度 ，交 电 费 ５６ 元 ，每 度 超
９ ４ 由 ④ 可 知 犿 ≥ － ， ∴ 犿 ＝ － １５ （舍 去 ），故 犿 ＝ － １ ． | 过 ０ ．２ 元 ． ∴ 五 月 份 用 电 超 过 了 犪 度 ．
| ||||||||||
２４ ．由 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 关 系 ＝ ５６ 整 理 得 ，犪 ２ － ３７５犪 ＋ ５６ × ６２５ ＝ ０ 即 （犪
可 知 ： － ２００ ）（犪 － １７５ ） ＝ ０ ，∴ 犪 １ ＝ ２００ ，犪
２ ＝ １７５
狓 １ ＋ 狓 ２ ＝ ２犽 － ３ ，
| 又 ∵ 犪 ≥ １８０ ， ∴ 犪 ＝ ２００ ． ９ ． （１ ） １８ ０００ 千 克 ； | |||||||||||||
（１ ）狓 | １ ＋ 狓 ２ ＞ ０ ，狓 １ · 狓 ２ ＞ ０ | （２ ）在 果 园 出 售 ，毛 收 入 为 １８ ０００ × １ ．１ | ||||||||||||
即 ２犽 － ３ ＞ ０ ，２犽 － ４ ＞ ０
＝ １９ ８００ 元 ；
在 市 场 出 售 ，毛 收 入 为 １８ ０００ × １ ．３ －
所 以 犽 ＞ ２ ；
（２ ）狓 | １ ＋ 狓 ２ ＞ ０ ，狓 １ · 狓 ２ ＜ ０ | １８ × ８ × ２５ ＝ １９ ８００ 元 ； | |||
虽 然 ，两 个 收 入 相 同 ，但 市 场 出 售 还 要
即 ２犽 － ３ ＞ ０ ，２犽 － ４ ＜ ０
所 以 ３ ２ | ＜ 犽 ＜ ２ ； | 费 人 力 、物 力 ，所 以 选 择 在 果 园 出 售 方 式 好 ； （３ ）设 增 长 率 为 狓 ，则 （１９ ８００ － ７ ８００ ） | |||||||||
（３ ）不 妨 设 狓 | １ ＞ ３ ，狓 ２ ＜ ３ ，则 狓 １ － ３ ＞ ０ ， | ［１ ＋ （１ ＋ 狓 ） ＋ （１ ＋ 狓 ）２ ］ ＝ ５７ ０００ ， 解 | |||||||||
狓 ２ － ３ ＜ ０ ， | 得 狓 ＝ ０ ．５ ＝ ５０ ％ ． | ||||||||||
３
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人 教 版 · 数 学 · 九 年 级 （ 上 ）
１０ ．（１ ）狔 ＝ （３０ － ２狓 ）狓 ；（２ ）１０ ，８ ； 连 ２８ 条 不 同 的 直 线 ，求 空 间 共 有 多 少 个 点
（３ ） 不 是 ；狓 ＝ ７ ．５ 时 ，最 大 为 １１２ ．５ ｍ ２ ． （５ ） 平 面 上 有 ２８ 条 直 线 ，若 任 意 两 条 不 练 习 二 平 行 ，任 意 三 条 不 共 点 ，则 有 多 少 个 交 点 | |
１ ． 设 甬 路 宽 度 为 狓 ｍ ，根 据 题 意 得 （４０ －
和 这 个 问 题 列 方 程 的 思 想 一 样 的 实 际
２ 狓 ）（２６ － 狓 ） ＝ １４４ × ６ ，解 得 狓 | １ ＝ ２ ，狓 ２ ＝ ４４ | 问 题 很 多 ，如 ： | |||
（不 合 题 意 ，舍 去 ），所 以 甬 路 宽 为 ２ ｍ ． （１ ） 春 节 前 后 ， 几 个 人 互 打 电 话 问 候 ，
２ ． 根 据 题 意 可 得 方 程 若 共 打 了 ２０ 次 电 话 ，问 共 有 几 人
（５０ － ２ － 狓 ） × （３０ － ２狓 ） ＝ ５０ × ３０ ２ | ， | （２ ） 元 旦 前 后 ，几 个 同 学 互 相 赠 送 贺 年 卡 ，若 共 赠 送 了 ２０ 张 贺 年 卡 ，问 共 有 几 人 | |||
化 简 可 得 狓 ２ － ６３狓 ＋ ３４５ ＝ ０ ，
（３ ） 在 某 两 地 的 铁 路 线 上 ，共 有 ２０ 个 不
解 得 ： 狓 | １ ≈ ６ ．０６ ，狓 ２ ＝ ５６ ．９４ ， | 同 的 火 车 站 ，问 这 条 铁 路 共 需 设 计 多 少 个 不 | |||
经 检 验 ，狓 ２ 不 合 题 意 舍 去 ，所 以 狓 的 值
同 的 火 车 票 约 取 ６ ．０６ ｍ ．
５ ． （１ ） 由 题 意 设 ２ 月 ，３ 月 每 月 增 长 的
３ ． 设 狓 ｓ 后 两 只 蚂
百 分 率 为 狓 ，则
蚁 与 犗 点 组 成 的 三 角 形
２５ ［１ ＋ （１ ＋ 狓 ） ＋ （１ ＋ 狓 ）２ ］＝ ９１ ，
面 积 等 于 ４５０ ｃ ｍ | ２ ． | 解 得 狓 ＝ ０ ．２ ＝ ２０ ％ ． 即 ２ 月 、３ 月 份 每 | |||
（１ ） 若 这 只 蚂 蚁 在
月 平 均 增 长 的 百 分 率 为 ２０ ％ ． 犗 犃 上 ，根 据 题 意 得
（２ ）显 然 ，３ 月 份 的 生 产 收 入 为
１ ２
图 ２ ４５０ ，解 得 狋１ ＝ １０ ，狋 ２ ＝ １５ ． （２ ） 若 这 只 蚂 蚁 在 犗 犅 上 ，根 据 题 意 得 １ ２ 狋 ２ ＝ － ５ （不 合 题 意 ，舍 去 ）． 所 以 分 别 在 １０ ｓ ，１５ ｓ ，３０ ｓ 时 两 只 蚂 蚁 与 犗 点 组 成 的 三 角 形 面 积 等 于 ４５０ ｃ ｍ ２ ． ４ ．设 有 状 个 人 参 加 聚 会 ，则 在 这 状 个 人 中 任 何 １ 个 人 ，他 （她 ） 都 要 与 除 自 己 以 外 的 （状 － １ ） 个 人 握 手 ； 又 因 为 甲 与 乙 握 手 与 乙 与 甲 握 手 是 同 一 次 握 手 ，所 以 握 手 总 次 数 为 １ ２ 状 （状 － １ ）．所 以 ，状 （状 － １ ） ＝ ５６ ． | ２５ × （１ ＋ ０ ．２ ）２ ＝ ２５ × １ ．４４ ＝ ３６ （万 元 ） 设 治 理 状 个 月 后 所 投 资 金 开 始 见 效 ， 则 有 ９１ ＋ ３６ （状 － ３ ）－ １１１ ≥ ２０ 状 ，状 ≥ ８ ． 即 治 理 ８ 个 月 后 所 投 资 金 开 始 见 效 ． ６ ． 设 商 品 降 低 了 狓 个 １００ 元 ，则 优 惠 价 是 （３ ５００ － １００ 狓 ）元 ，每 个 商 品 的 利 润 是 ［（３ ５００ － １００ 狓 ）－ ２ ５００ ］元 ，销 售 量 为 （８ ＋ ２ 狓 ）个 ，由 题 意 得 ［（３ ５００ － １００ 狓 ） － ２ ５００ ］（８ ＋ ２狓 ）＝ ８ × （３ ５００ － ２ ５００ ）（１ ＋ １２ ．５ ％ ），
所 以 ，优 惠 价 应 定 为 ３ ０００ 元 或 ３ ４００ 元 ． 到 底 定 为 多 钱 ，要 视 具 体 情 况 而 定 ． ７ ． （１ ）７０ ，４ ，２００７ ． | |||||||||||||
（２ ）设 ２００９ 年 和 ２０１０ 年 两 年 绿 地 面 积 和 这 个 问 题 所 列 方 程 相 同 的 实 际 问 题
的 年 平 均 增 长 率 为 狓 ，
很 多 ，如 ：
根 据 题 意 ，得 ７０ （１ ＋ 狓 ）２ ＝ ８４ ．７ ． （１ ）状 个 村 庄 ， 每 两 个 之 间 都 有 一 条 公
整 理 后 ，得 （１ ＋ 狓 ）２ ＝ １ ．２１ ． 路 ，若 有 人 统 计 共 有 ２８ 条 公 路 ，问 共 有 多 少
个 村 庄 | 解 这 个 方 程 ， 得 狓 | １ ＝ ０ ．１ ，狓 ２ ＝ － ２ ．１ | |||
（不 合 题 意 ，舍 去 ）． （２ ） 在 某 两 地 的 铁 路 线 上 ，共 有 ２８ 个 不 同
故 所 求 平 均 增 长 率 为 １０ ％ ． 的 火 车 站 ，问 这 条 铁 路 共 有 多 少 个 不 同 的 票 价
（３ ） 一 次 乒 乓 球 循 环 赛 ，每 个 队 都 要 见 面 ，共 举 行 了 ２８ 场 比 赛 ，问 共 有 多 少 个 代 表 | 第 二 十 三 章 旋 转 | ||
第 １ 节 图 形 的 旋 转 队 参 加
（４ ） 空 间 状 个 点 ，任 意 三 点 不 共 线 ，可 以
１ ．Ｃ ２ ．Ｂ ３ ．Ｄ ４ ．Ａ
４
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参 考 答 案 与 提 示
５ ．相 同 相 等 旋 转 中 心 （３ ）分 别 以 这 两 组 图 形 为 平 移 的 “ 基
本 图 形 ”， 各 平 移 两 次 ， 即 可 得 到 最 终 的
６ ．４ ５° ９０° ７ ．犅 犆 犇 犆 ６０°
８ ．底 角 是 ６０° ，腰 与 底 相 等 的 等 腰 梯 形 图 形 ．
９ ．图 略 １０ ．五 角 星
１１ ．（１ ）不 正 确 ．例 如
图 （１ ）的 情 况 下 不 正 确 ，但
图 （２ ）的 情 况 下 正 确 ．
（２ ）犅 犈 ＝ 犇 犌 成 立 ．如 图 ３ ，连 结 犅 犈 ． ∵ 四 边 形 犃 犅 犆 犇 和 犃 犈 犉 犌 都 是 正 方 形 ， ∴ 犃 犇 ＝ 犃 犅 ，犃 犌 | 图 ３ | 图 ５ 图 ６ １０ ． 如 图 ７ 所 示 ， △ 犃″犅″犆″ 与 △ 犃′犅′犆′ 是 关 于 原 点 犗 成 中 心 对 称 的 ． | ||
＝ 犃 犈 ，∠ 犇 犃 犅 ＝ ∠ 犌 犃 犈 ＝ ９０° ．
∴ ∠ 犇 犃 犌 ＋ ∠ 犌犃 犅 ＝ ９０° ＝ ∠ 犅 犃 犈 ＋
∠ 犌犃 犅 ．
∴ ∠ 犇 犃 犌 ＝ ∠ 犅 犃 犈 ．
∴ △ 犇 犃 犌 ≌ △ 犅 犃 犈 ． ∴ 犅 犈 ＝ 犇 犌 ．
１２ ．（１ ）犃 犅 ＝ ２ ｍ ，犃 犆 ＝ 槡３ ｍ ．
（２ ） 画 出 犃 点 经 过 的 路 径 ， 如 图 ４
所 示 ．
图 ７
１１ ． 两 个 全 等 的 正 方 形 犃 犅 犆 犇 和
犆 犇 犈 犉 组 成 矩 形 犃 犅 犉 犈 ， 它 是 中 心 对 称 图
形 ，对 称 中 心 就 是 对 角 线 犃 犉 与 犅 犈 的 交
点 犗 ，四 边 形 犆 犇 犈 犉 绕 犗 顺 时 针 （或 逆 时
针 ） 旋 转 １８０° 后 ， 能 与 四 边 形 犃 犅 犆 犇 重
合 ．注 意 到 四 边 形 犆 犇 犈 犉 绕 点 犇 顺 时 针 旋 图 ４
转 ９０° 后 或 绕 点 犆 逆 时 针 旋 转 ９０° 后 能 与
∵ ∠ 犃 犅 犃 １ ＝ １８０° － ６０° ＝ １２０° ，
正 方 形 犃 犅 犆 犇 重 合 ，所 以 可 以 作 为 旋 转 中
犃 １ 犃 ２ ＝ 犃 犆 ＝ 槡３ ｍ ， | 心 （不 是 对 称 中 心 但 包 含 对 称 中 心 ） 的 点 | |||||||||||||||
∴ 犃 点 所 经 过 的 路 径 长 ＝ | １２０ １８０ | × π × | 有 ３ 个 ，即 犇 、犗 、犆 ． １２ ．（１ ）以 犅 犆 为 对 称 轴 作 对 称 变 换 （如 | |||||||||||||
２ ＋ 槡３ ＝ | ４ ３ | π ＋ 槡３ ≈ ５ ．９ （ｍ ）． | 图 ８ ）．（或 以 犅 犆 的 中 点 犗 把 △ 犃 犅 犆 绕 犗 点 旋 转 １８０° ） | |||||||||||||
第 ２ 节 中 心 对 称
１ ．Ｂ ２ ．Ｃ ３ ．Ｃ ４ ．Ｃ
５ ．关 于 原 点 对 称
６ ．３ ７ ．４
８ ．（１ ）① ④ ，（２ ）③ ④ ，（３ ）④ ，（４ ）④
９ ．（１ ）以 一 个 三 角 形 的 一 条 边 为 对 称 轴
作 与 它 轴 对 称 的 图 形 ．（图 ５ ）
图 ８
（２ ）将 得 到 的 这 组 图 形 以 一 条 边 的 中 点 （２ ） 把 △ 犃 犅 犆 绕 犃 犆 的 中 点 犗 旋 转
为 旋 转 中 心 旋 转 ．（图 ６ ） １８０° 即 可 （如 图 ９ ）．
５
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人 教 版 · 数 学 · 九 年 级 （ 上 ）
（２ ）如 图 １２ 所 示 ，点 犃′ 与 点 犃 关 于 直
线 犔 成 轴 对 称 ，连 接 犃′ 犅 交 直 线 犔 于 点 犘 ，
则 点 犘 为 所 求 ．
图 ９ 四 边 形 是 菱 形 ，平 行 四 边 形 ． | １０ ．答 案 不 唯 一 ， 下 面 举 出 两 例 （如 图 １３ 所 示 ）． | ||
１３ ．答 案 不 唯 一 ， 下 面 举 出 三 例 ， 如 图
１０ 所 示 ．
图 １３
１１ ．略
图 １０
第 ３ 节 课 题 学 习 图 案 设 计 第 二 十 四 章 圆
１ ．左 右 ，上 下 第 １ 节 圆 ２ ．圆 心 逆 时 针 ９０° 练 习 一 ３ ．４ ５° （答 案 不 唯 一 ） １ ．Ａ ２ ．Ｂ ３ ．Ａ ４ ．３ 犗 ９０° 矩 形 犃 犅 犉 犎 犉 犎 ５ ．旋 转 变 换 ，平 移 变 换 （答 案 不 唯 一 ） ６ ．平 移 变 换 ，旋 转 变 换 （答 案 不 唯 一 ） ４ ．６ 槡３ ５ ．３０ ６ ．５ ０° ７ ．８ ８ ．２００° | |||||
７ ． 提 示 ：（１ ）犃 犉 ＝ 犆 犈 ；（２ ）两 次 旋 转 变 换 （答 案 不 唯 一 ） | ９ ．５ ０° １０ ．１ ５° ︵ １１ ．６ ４° １２ ．３ ０° １３ ． 犅 犇 的 中 点 | ||||
８ ．图 案 如 图 １１ 所 示 ，四 边 形 犈 犗 犆 犎 的 １４ ． 以 犕 为 圆 心 ，以 大 于 犕 到 ⊙ 犗 的 最
面 积 是 ４ ｃ ｍ | ２ ． | 小 距 离 且 小 于 犕 到 ⊙ 犗 的 最 大 距 离 为 半 径 画 圆 ，与 ⊙ 犗 的 交 点 即 分 别 为 犃 、犅 ． | |||||||
１５ ．１ ｃ ｍ 或 ７ ｃ ｍ １６ ．２５ ８ | ｃ ｍ | ||||||||
１７ ．３ 槡５ ｃ ｍ
１８ ．７ ５°
练 习 二
１ ．Ｂ ２ ．Ｃ ３ ．Ｂ ４ ．Ａ ５ ．９
图 １１
６ ．２ ．５ ｍ ９ ．（１ ）平 移 后 的 小 船 如 图 １２ 所 示 ．
７ ．５ ０° ８ ．１３０° ９ ．５ 槡３ ｃ ｍ
１０ ． 证 明 ： 如 图 １４
所 示 ，作 犗 犌 ⊥ 犆 犇 于 犌 ，
则 犆 犌 ＝ 犇 犌 ．
∵ 犈 犆 ⊥ 犆 犇 ，犇 犉 ⊥
犆 犇 ，犗 犌 ⊥ 犆 犇 ，
∴ 犈 犆 ∥ 犇 犉 ∥ 犗 犌 ．
图 １４
∴ 犗 犈 ＝ 犗 犉 ．
又 ∵ 犗 犃 ＝ 犗 犅 ，∴ 犃 犈 ＝ 犅 犉 ．
１１ ． 连 结 犃 犆 ． 由 勾 股 定 理 得 ，犃 犆 ＝
图 １２
６
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参 考 答 案 与 提 示
１４ ．（１ ）如 图 １６ 所 示 ， 槡 犃 犅 ＋ 犅 犆 槡＝ ３ ＋ ４ ＝ ５ ． 证 明 ：连 结 犗 犇 ． 当 狉 ＝ 犃 犅 ＝ ３ 时 ，⊙ 犃 经 过 点 犅 ，点 犆 、 ∵ 犃 犅 是 直 径 ，犃 犅 犇 在 ⊙ 犃 外 ；当 狉 ＝ 犃 犇 ＝ ４ 时 ，⊙ 犃 经 过 点 犇 ，点 犅 在 ⊙ 犃 内 ，点 犆 在 ⊙ 犃 外 ；当 狉 ＝ 犃 犆 ＝ ５ 时 ，⊙ 犃 经 过 点 犆 ，点 犅 、犇 在 ⊙ 犃 内 ． | ⊥ 犆 犇 ， ︵ ∴ 犅 犆 ＝ | ︵ 犅 犇 ． | ||||||||||||||||
所 以 ，（１ ） 当 狉 ＜ ３ 时 ，点 犅 、犆 、犇 均 在 圆 外 ；（２ ） 当 ３ ≤ 狉 ＜ ４ 时 ，点 犅 、犆 、犇 中 有 两 点 在 圆 外 ；（３ ） 当 ４ ≤ 狉 ＜ ５ 时 ，点 犅 、犆 、犇 中 只 | ＝ | １ ２ | ∴ ∠ 犆 犗 犅 ＝ ∠ 犇 犗 犅 ∠ 犆 犗 犇 ． | 图 １６ | ||||||||||||||
有 一 点 在 圆 外 ． １２ ． 如 图 １５ 所 示 ， （１ ） 连 结 犅 犈 ， 则 ∠ 犅 犈 犆 ＝ ９０° ． ∵ 犃 犅 ＝ 犅 犆 ， 犅 犈 平 分 ∠ 犃 犅 犆 ， ∴ ∠ 犃 犅 犈 ＝ ∠ 犆 犅 犈 ． | 又 ∵ ∠ 犆 犘 犇 ＝ １ ∠ 犆 犗 犇 ， ２ ∴ ∠ 犆 犘 犇 ＝ ∠ 犆 犗 犅 ． （２ ）∠ 犆 犘′ 犇 与 ∠ 犆 犗 犅 的 数 量 关 系 是 ： ∠ 犆 犘′ 犇 ＋ ∠ 犆 犗 犅 ＝ １８０ ° ． ∵ ∠ 犆 犘′ 犇 ＋ ∠ 犆 犘 犇 ＝ １８０ ° ，∠ 犆 犘 犇 | |||||||||||||||||
＝ ∠ 犆 犗 犅 ，
∴ ∠ 犆 犘′ 犇 ＋ ∠ 犆 犗 犅 ＝ １８０ ° ．
第 ２ 节 点 、 直 线 、 圆 和 圆 的 位 置 关 系
练 习 一
图 １５ ︵ ︵ ∴ 犇 犈 ＝ 犆 犈 ，∴ ∠ 犈 犇 犆 ＝ ∠ 犈 犆 犇 ． （２ ）∵ 犇︵犈 ＝ 犆︵犈 ， ∴ 犇 犈 ＝ 犆 犈 ． | １ ．Ｃ ２ ．Ｃ ３ ．Ｃ ４ ．Ｄ ５ ．３ ６ ．∠ 犅 ＝ ∠ 犆 ７ ．∵ 犃 犆 ＝ 犅 犆 ，∴ ∠ 犃 ＝ ∠ 犅 ．∵ 直 线 犇 犈 切 ⊙ 犗 于 点 犆 ，∴ ∠ 犃 犆 犇 ＝ ∠ 犅 ． | |||||
∵ 犃 犅 ＝ 犅 犆 ，犅 犈 ⊥ 犃 犆 ，∴ 犃 犈 ＝ 犆 犈 ． ∴ 犃 犈 ＝ 犆 犈 ＝ 犇 犈 ＝ ３ ｃ ｍ ， | ∴ ∠ 犃 犆 犇 ＝ ∠ 犃 ．∴ 犇 犈 ∥ 犃 犅 ． ８ ． （１ ）如 图 １７ | |||||
所 示 ，连 结 犗 犆 ．
犃 犆 ＝ ６ ｃ ｍ ．
在 Ｒｔ △ 犃 犅 犈 中 ，犅 犈 ＝ 犃 犅
槡 ＝ 槡５ ２ － ３ ２ ＝ ４ ， ２ － ３ ２ ＝ ４ ， ∵ 犅 犆 为 ⊙ 犗 直 径 ， ∴ ∠ 犃 犈 犅 ＝ ∠ 犃 犇 犆 ＝ ９０° ．
∴ 犆 犇 ＝ ４ ．８ ｃ ｍ ． ∴ ∠ 犈 犃 犇 ＝ ∠ 犇 犃 犆 ． | ∵ 犘 犆 切 ⊙ 犗 于 点 犆 ，∴ ∠ 犘 犆 犗 ＝ ９０° ． 图 １７ ∵ ∠ 犘犆 犅 ＝ ３０° ， ∴ ∠ 犅犆 犗 ＝ ６０° ． ∵ 犗 犅 ＝ 犗 犆 ，∴ △ 犅 犗 犆 是 等 边 三 角 形 ． ∴ ∠ 犆 犅 犃 ＝ ∠ 犅 犗 犆 ＝ ６０° ． （２ ） 在 Ｒｔ △ 犗 犆 犘 中 ，∵ 犗 犆 ＝ 犗 犘
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∵ 四 边 形 犃 犅 犆 犇 是 圆 内 接 四 边 形 ，
∴ 犘 犃 ＝ 犗 犘 ＋ 犗 犃 ＝ ６ ＋ ３ ＝ ９ ．
∴ ∠ 犈 犃 犇 ＝ ∠ 犅 犆 犇 ． ９ ． 证 明 ：如 图 １８ 所 示 ，连 结 犗 犆 ．
又 ∵ ∠ 犇 犃 犆 ＝ ∠ 犇 犅 犆 ，
∵ 犅 犆 ∥ 犗 犘 ，
∴ ∠ 犅 犆 犇 ＝ ∠ 犇 犅 犆 ． ∴ 犅 犇 ＝ 犇 犆 ． ∴ ∠ 犘 犗 犆 ＝ ∠ 犅 犆 犗 ，
（２ ） 补 充 下 列 条 件 中 的 任 意 一 个 ，都 能
∠ 犘 犗 犃 ＝ ∠ 犅 ．
使 直 线 犇 犉 经 过 圆 心 ． ∵ 犗 犅 ＝ 犗 犆 ，
① 犅 犉 ＝ 犆 犉 ；② 犇 犉 ⊥ 犅 犆 ；③ 犇 犉 平 分
∴ ∠ 犅 犆 犗 ＝ ∠ 犅 ．
∠ 犅 犇 犆 ．（理 由 略 ）
∴ ∠ 犘 犗 犆 ＝ ∠ 犘 犗 犃 ．
７
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人 教 版 · 数 学 · 九 年 级 （ 上 ）
又 ∵ 犗 犆 ＝ 犗 犃 ，犗 犘
∴ ∠ 犗 犆 犇 ＝ ９０° ．
＝ 犗 犘 ，
∴ ∠ 犇 犆 犙 ＋
∴ △ 犘 犗 犆 ∠ 犗 犆 犃 ＝ ９０° ．
≌ △ 犘 犗 犃 ，
∴ ∠ 犇 犆 犙 ＋
∴ ∠ 犘 犆 犗 ∠ 犘 犃 犙 ＝ ９０° ．
在 Ｒｔ △ 犙 犘 犃 中 ，
＝ ∠ 犘 犃 犗 ．
∵ 犘 犃 ⊥ 犃 犅 ， ∴ ∠ 犘 犃 犗 ＝ ９０° ， | 图 １８ | ∠ 犙 犘 犃 ＝ ９０° ， ∴ ∠ 犘 犃 犙 ＋ ∠ 犙 | 图 ２１ | ||||
∴ ∠ 犘 犆 犗 ＝ ９０° ＝ ９０° ．
∴ 犘 犆 是 ⊙ 犗 的 切 线 ．
∴ ∠ 犇 犆 犙 ＝ ∠ 犙 ．∴ 犇 犙 ＝ 犇 犆 ．
１０ ． （１ ）如 图 １９ 即 △ 犆 犇 犙 是 等 腰 三 角 形 ．
所 示 ， 证 明 ： 连 练 习 二
结 犗 犕 ． １ ．Ｂ ２ ．Ａ ３ ．２ 或 ６ ４ ．３ ０°
∵ 犗 犕 ＝ 犗 犃 ， ∴ ∠ 犃 ＝ ∠ 犗 犕 犃 ．
| １ ５ ． π犪 ６ ．７ ５° ７ ． ６ ４ ８ ．提 示 ：连 结 三 个 圆 的 圆 心 构 成 等 边 三 角 形 ． 最 高 点 到 地 面 的 距 离 是 ２ ＋ 槡３ ． ９ ． 证 明 ： 如 图 ２２ 所 示 ， 延 长 犆 犗 | ||||||||
交 ⊙ 犗 ２ 于 点 犉 ， 交
∴ ∠ 犗 犕 荦 ＝ ９０° ．
∵ ∠ 犕 荦 犆 ＝ ∠ 犗 犕 荦 ＝ ９０° ， 犇 犈 于 点 犌 ， 连 结
∴ 犕 荦 ⊥ 犅 犆 ． （２ ）当 犗 犃 ＜ 犗 犅 时 ，上 述 结 论 成 立 ． 当 犗 犃 ＞ 犗 犅 时 ，上 述 结 论 也 成 立 ． | 犃 犅 、犅 犉 ． 在 ⊙ 犗 中 ， ∠ 犅 犉 犆 ＝ ∠ 犅 犃 犆 ． | 图 ２２ | |||
如 图 ２０ 所 示 ， 以 ∵ 四 边 形 犃 犅 犈 犇 是 ⊙ 犗
的 内 接 四
犗 犃 ＜ 犗 犅 为 例 证 明 如 下 ： | 边 形 ， | ||
∴ ∠ 犅 犃 犆 ＝ ∠ 犈 ．∴ ∠ 犅 犉 犆 ＝ ∠ 犈 ．
证 明 ：连 结 犗 犕 ． ∵ 犆 犉 是 ⊙ 犗 ２ 的 直 径 ，∴ ∠ 犉 犅 犆 ＝ ９０° ． ∵ 犗 犕 ＝ 犗 犃 ，
∴ ∠ 犅 犆 犉 ＋ ∠ 犅 犉 犆 ＝ ９０° ．
∴ ∠ 犃 ＝ ∠ 犗 犕 犃 ． ∴ ∠ 犅 犆 犉 ＋ ∠ 犈 ＝ ９０° ．
图 ２０
∵ 犅 犃 ＝ 犅 犆 ， ∴ ∠ 犆 犌 犈 ＝ ９０° ，∴ 犗
２犆 ⊥ 犇 犈 ．
１０ ． 证 明 ： ∴ ∠ 犃 ＝ ∠ 犆 ．
如 图 ２３ 所 示 ，连 ∴ ∠ 犗 犕 犃 ＝ ∠ 犆 ．
接 犕 荦 、荦 犃 ， 连
∴ 犗 犕 ∥ 犅 犆 ．
∵ 犕 荦 切 ⊙ 犗 于 点 犕 ， 接 犅 犕 并 延 长 交
∴ ∠ 犗 犕 荦 ＝ ９０° ． 犆 犇 于 点 犈 ．
∵ ∠ 犕 荦 犆 ＝ ∠ 犗 犕 荦 ＝ ９０° ， ∵ ⊙ 犕 与
图 ２３
∴ 犕 荦 ⊥ 犅 犆 ． １１ ． “△ 犆 犇 犙 是 等 腰 三 角 形 ” 还 成 立 ． | ⊙ 荦 外 切 于 犘 点 ，∴ 犕 荦 经 过 点 犘 ． | ||
证 明 ：如 图 ２１ 所 示 ，连 结 犗 犆 ．
∴ ∠ 犅 犘 犕 ＝ ∠ 犃 犘 荦 ．
∵ 犗 犃 ＝ 犗 犆 ， ∴ ∠ 犗 犃 犆 ＝ ∠ 犗 犆 犃 ． ∵ 犕 犅 ＝ 犕 犘 ， ∴ ∠ 犅 犘 犕 ＝ ∠ 犅 ．
∵ ∠ 犗 犃 犆 ＝ ∠ 犘 犃 犙 ， ∵ 荦 犃 ＝ 荦 犘 ， ∴ ∠ 犃 犘 荦 ＝ ∠ 犘 犃 荦 ．
∴ ∠ 犗 犆 犃 ＝ ∠ 犘 犃 犙 ． ∵ 犆 犇 切 ⊙ 犗 于 犆 点 ， | ∴ ∠ 犅 ＝ ∠ 犘 犃 荦 ． ∴ 犅 犈 ∥ 荦 犃 ． ∵ 犃 犇 切 ⊙ 荦 于 点 犃 ，∴ 荦 犃 ⊥ 犃 犇 ． | ||
８
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参 考 答 案 与 提 示
∴ 犅犈 ⊥ 犃 犇 ，即 犅犈 ⊥ 犆犇 ，∴ １１ ．（１ ）如 图 ２４ 所 示 ， | ︵ 犅犆 ＝ | ︵ 犅 犇 ． | 则 四 边 形 犃 犅 犆 犇 为 正 方 形 ， 那 么 井 盖 半 径 犗 犆 ＝ 犃 犅 ，这 样 就 可 求 出 井 盖 的 直 径 ． | ||||
学 生 ２ ：如 图 ２６ （２ ），把 角 尺 顶 点 犃 放 在
连 结 犗 犙 ．
∵ 犚 犙 是 ⊙ 犗 的 切 线 ，
井 盖 边 上 某 点 ，记 角 尺 一 边 与 井 盖 边 缘 交 于
点 犅 ，另 一 边 交 于 点 犆 （若 角 尺 另 一 边 无 法 达
∴ ∠ 犗 犙 犘 ＋ ∠ 犚 犙 犘
到 井 盖 的 边 上 ，把 角 尺 当 直 尺 用 ，延 长 另 一 ＝ ９０° ．
∵ 犗 犃 ⊥ 犗 犅 ，
边 与 井 盖 边 缘 交 于 点 犆 ）， 度 量 犅 犆 长 即
∴ ∠ 犗 犘 犅 ＋ ∠ 犅 ＝ ９０° ． ∵ 犗 犅 ＝ 犗 犙 ， | 图 ２４ | 为 直 径 ． 学 生 ３ ：如 图 ２６ （３ ）， 把 角 尺 当 直 尺 用 ， | ||
量 出 犃 犅 的 长 度 ，取 犃 犅 中 点 犆 ，然 后 把 角 尺
∴ ∠ 犗 犙 犘 ＝ ∠ 犅 ．
顶 点 与 犆 点 重 合 ．有 一 边 与 犆 犅 重 合 ，让 另 一
∴ ∠ 犚 犙 犘 ＝ ∠ 犗 犘 犅 ＝ ∠ 犚 犘 犙 ．
边 与 井 盖 边 交 于 犇 点 ，延 长 犇 犆 交 井 盖 边 于
∴ 犚 犘 ＝ 犚 犙 ．
（２ ） 延 长 犅 犗 交 ⊙ 犗 于 点 犆 ．连 结 犆 犙 ． 点 犈 ，度 量 犇 犈 长 即 为 直 径 ．
∵ 犅 犆 是 ⊙ 犗 的 直 径 ，∴ ∠ 犅 犙 犆 ＝ ９０° ． 学 生 ４ ： 如 图 ２６ （４ ）， 把 井 盖 卡 在 角 尺
∵ 犗 犃 ⊥ 犗 犅 ， ∴ ∠ 犅 犗 犘 ＝ ９０° ． 间 ，记 录 犅 、犆 的 位 置 ，再 把 角 尺 当 作 直 尺 用 ，
∴ ∠ 犅 犙 犆 ＝ ∠ 犅 犗 犘 ． 可 测 得 犅 犆 的 长 度 ． 记 圆 心 为 犗 ， 作 犗 犇 ⊥
又 ∵ ∠ 犅 ＝ ∠ 犅 ，∴ △ 犅 犙 犆 ∽ △ 犅 犗 犘 ．
犅 犆 ，犇 为 垂 足 ，由 垂 径 定 理 得 犅 犇 ＝ 犇 犆 ＝
∴ | 犅 犙 犅 犗 | ＝ | 犅 犆 犅 犘 | ． | １ ２ | 犅 犆 ， 且 ∠ 犅 犗 犇 ＝ ∠ 犆 犗 犇 ． 由 作 图 知 | |||||||||||||||||||||
∵ 犗 犘 ＝ 犘 犃 ＝ １ ，∴ 犅 犗 ＝ 犃 犗 ＝ ２ ． ２ ＋ １ ２ ＝ 槡５ ，犅犆 ＝ ２犅犗 ＝ ４ ． ∴ 犅 犘 ＝ 槡２ | ∠ 犅 犗 犆 ＝ ９０° ，∴ ∠ 犅 犗 犇 ＝ | １ ２ | × ９０° ＝ ４５° ．在 | ||||||||||||||||||||||||
犅 犙 ４ ∴ ＝ ２ 槡５ ∴ 犘 犙 ＝ ８ 槡５ ５ | ． ∴ 犅 犙 ＝ ８ 槡５ ５ ３ 槡 ５ － ５ ＝ 槡 ５ | ． ． | 犅 犇 Ｒｔ △ 犅 犗 犇 中 ，犅 犗 ＝ ，这 样 就 可 求 出 ｓｉｎ ４５° 井 盖 的 半 径 ，进 而 求 得 直 径 ． | ||||||||||||||||||||||||
１２ ． （１ ）∠ 犅 犘 犆 ＝
∠ 犆 犘 犇 成 立 ．
（２ ）（１ ） 中 的 结 论 仍
然 成 立 ，如 图 ２５ 所 示 ．
过 点 犘 作 两 圆 的 公
切 线 犘 犕 ，
则 ∠ 犕 犘 犅 ＝ ∠ 犃 ，
图 ２５
∠ 犕 犘 犆 ＝ ∠ 犅 犆 犘 ．
∴ ∠ 犅 犘 犆 ＝ ∠ 犕 犘 犆 － ∠ 犕 犘 犅 ＝
∠ 犅 犆 犘 － ∠ 犃 ＝ ∠ 犆 犘 犃 ．
∴ ∠ 犅 犘 犆 ＝ ∠ 犆 犘 犇 ．
第 ３ 节 正 多 边 形 和 圆
１ ．Ｃ ２ ．Ｄ ３ ．Ｂ ４ ．２ ５ ．略
６ ．１２０ ， 槡３ ，π ７ ．７ 槡３
８ ．学 生 １ ：如 图 ２６ （１ ），把 井 盖 卡 在 角 度
尺 间 ，可 测 得 犃 犅 的 长 ． 记 井 盖 所 在 圆 的 圆
心 为 犗 ，连 接 犗 犅 、犗 犆 ， 由 切 线 的 性 质 得 犗 犅
⊥ 犃 犅 ，犗 犆 ⊥ 犃 犆 ，又 ，犃 犅 ⊥ 犃 犆 ，犗 犅 ＝ 犗 犆 ，
图 ２６
９
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人 教 版 · 数 学 · 九 年 级 （ 上 ）
学 生 ５ ：如 图 ２６ （５ ），把 角 尺 当 作 直 尺 用 ，
△ 犅 犗 犇 ．
先 测 得 犃 犅 的 长 度 ，记 录 犃 、犅 的 位 置 ，再 量 （２ ）犁 | 阴 影 ＝ 犁 扇 形 犗犃 犅 － 犁 扇 形 犗犆 犇 ＝ ２π ． | ||
犃犆 ＝ 犃 犅 ，记 录 犆 的 位 置 ，然 后 测 得 犅犆 的 长 １１ ． 方 法 １ ：仔 细 观 察 ，不 难 发 现 ：犃 、犅 、
度 ．作 等 腰 三 角 形 犅 犃 犆 底 边 犅犆 上 的 高 犃 犇 ，犇 犆 阴 影 部 分 面 积 相 等 （正 方 形 面 积 － 圆 的 面
为 垂 足 ．∵ 犃 犇 垂 直 平 分 犅犆 ，∴ 由 垂 径 定 理 可 积 ），由 四 选 一 型 选 择 题 的 特 点 ，只 能 选 犇 ．
求 出 犃 犇 ，那 么 ，在 Ｒｔ △ 犅 犇 犗 中 ，犗犅 ２ ＝ 犅 犇 方 法 ２ ：因 为 犃 、犅 、犆 中 圆 弧 的 半 径 均 为
＋ 犗 犇 ２ ＝ 犅 犇 狉 ，则 狉 ２ ＝ 犅 犇 | ２ ＋ （犃 犇 － 犃 犗 ）２ ．设 井 盖 半 径 为 ２ ＋ （犃 犇 － 狉 ）２ ，∵ 犅 犇 、犃 犇 都 已 | 犪 ２ | ，犇 中 圆 弧 的 半 径 为 犪 ，所 以 犃 、犅 、犆 、犇 的 | |||||||||||||||||||||||
知 ．∴ 解 一 元 二 次 方 程 就 可 求 出 井 盖 的 半 径 狉 ，这 样 就 可 求 出 井 盖 的 直 径 ． ９ ．（１ ）ａ 、ｂ 、ｃ ，ａ 、ｃ ；（２ ）略 第 ４ 节 弧 长 和 扇 形 面 积 练 习 一 | ２ － π （ 犪
）２ 犃 ＝ 犁 犅 ＝ 犁 犆 ＝ 犪 ２ ２ － ２ π犪 － × 犪 × １ ［ 犪 ］＝ ２犪 ２ － ４ ２ | |||||||||||||||||||||||||
１ ．Ｃ ２ ．Ｂ ３ ．Ｃ ４ ．Ｂ ５ ．Ａ
| π犪 ２ | ＝ | 犪 （４ － π ）． ２ 显 然 ，犇 最 大 ． 应 选 犇 ． | |||||||||||||||||||||||
练 习 二
方 法 ３ ：因 为 犃 、犅 、犆 中 圆 弧 的
１ ．Ｄ ２ ．１ ３ ．２π １ ２ ４ ．１６０° ５ ．５７ ．３２ ６ ． π犪
∵ 弧 长 犾 等 于 圆 锥 的 底 面 周 长 ，即 犆 ＝ ４π ， | 半 径 均 为 犪
２ 犪 犁 犃 ＝ 犁 犅 ＝ 犁 犆 ＝ 犪 ２ － π （ ２ － π （ ２ 犪 （４ － π ）； ＝ ４ | ||||||||||||||||||||||
图 ２８
∴ 底 面 半 径 狉 ＝ | 犆 ２π | ＝ ２ （ｃ ｍ ），∴ 犁 | 底 ＝ | 犇 中 圆 弧 的 半 径 为 犪 ，可 将 原 图 形 犇 中 白 色 区 域 对 角 线 连 结 ，然 后 将 对 角 线 上 方 的 | |||||||||||||||||||||||||||
４π （ｃ ｍ | ２ ）． | 图 沿 着 逆 时 针 方 向 旋 转 ９０° ， 重 新 拼 成 图 | |||||||||||||||||||||||||||||
２ ３ ８ ． | π犪 | ２８ ，则 | π犪 ２ | ＝ | 犪 ２ | ||||||||||||||||||||||||||
（４ － π ）． 犁 犇 ＝ 犪 × ２犪 －
９ ． 证 明 ： 如 图 ２７
所 示 ，连 结 犗 犘 、犗 犆 ，设 显 然 ，犇 最 大 ． 应 选 犇 ．
∠ 犘 犗 犆 ＝ 状° ． 由 已 知 得 状 π × ５ １８０ | ＝ | 图 ２７ | 第 二 十 五 章 概 率 初 步 第 １ 节 随 机 事 件 与 概 率 | ||||||||||||||||||
５ ２ | π ，解 得 状 ＝ ９０ ． ∴ ∠ 犘 犗 犆 ＝ ９０° ． | １ ． | １ ６ | ２ ． | １ ２ | 练 习 一 １ ２
| ３ ． | ２ ３ | ４ ． | １ ４ | |||||||||||
１ ２ ∴ ∠ 犘 犅 犆 ＝ ∠ 犘 犗 犆 ＝ ４５° ． ∵ 犃 犅 是 直 径 ，∴ ∠ 犃 犆 犅 ＝ ９０° ． | ５ ．５０ ．２ ％ ６ ．必 然 ７ ．浅 色 ８ ．犃 ９ ．Ｂ １０ ．Ａ １１ ．Ｂ １２ ．Ｂ １３ ． ３６ １４ ．摸 到 红 球 、白 球 、黄 球 的 可 能 性 不 相 | ||||||||||||||||||||
∴ ∠ 犆 犕 犅 ＝ ４５° ．
同 ．因 为 红 球 最 多 ，所 以 摸 到 红 球 的 可 能 性
∴ ∠ 犘 犅 犆 ＝ ∠ 犆 犕 犅 ． ∴ 犕 犆 ＝ 犅 犆 ． １０ ．（１ ） 证 明 ： ∵ ∠ 犆 犗 犇 ＝ ∠ 犃 犗 犅 ＝ | 最 大 ，而 摸 到 黄 球 的 可 能 性 最 小 ． 练 习 二 | ||||||||
９０° ，∴ ∠ 犃 犗 犆 ＝ ∠ 犅 犗 犇 ． 又 ∵ 犗 犃 ＝ 犗 犅 ，犗 犆 ＝ 犗 犇 ，∴ △ 犃 犗 犆 ≌ | １ １ ． ５２ | ２ ．２ ％ | |||||||
１０
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参 考 答 案 与 提 示
３ ．（１ ）小 ；（２ ）一 样 大 ；（３ ）大 （３ ）不 一 定
４ ．大 于 ５ ．大 于 ６ ．Ａ ７ ．Ａ ８ ．Ｂ ６ ．（１ ）１ ３ １ ； （２ ）１ ２０ ５ ，１０ ，１５ ，２０
９ ．Ｄ １０ ．Ｃ １１ ．候 车 不 超 过 ３ 分 钟 的 可 能 性 较 大 ． | ７ ． （１ ） ２ １９ | （２ ） ５ １９ | （３ ）１２ １９ | ||||
１２ ．这 个 游 戏 不 公 平 ，小 明 更 容 易 获 胜 ．
８ ． ２８ ０ ．５ ６ ９ ． ０ ．３ １５
１０ ．（１ ） 表 中 数 据 ： 频 数 从 上 到 下 依 次 因 为 任 意 把 两 张 卡 片 上 的 数 字 相 加 ， 和 为
为 ：９ ，２１ ，５０ ； 频 率 从 上 到 下 依 次 为 ：０ ．４２ ，
奇 数 的 更 多 ．
０ ．０４ ；（２ ）０ ．７６ × ４００ ＝ ３０４ ； （３ ）能 ，不 能 ．
１３ ．（１ ）１０８ ，１１４ ，１２０ ；（２ ）不 能 ．
第 ２ 节 用 列 举 法 求 概 率 练 习 一 | １１ ． Ａ 、Ｂ 、Ｃ 、Ｄ 、Ｅ 五 种 品 牌 的 雪 糕 分 别 按 总 量 的 ２５ ． ５ ％ 、 ３５ ％ 、 １３ ％ 、 ７ ． ５ ％ 、 | ||||||||||||
进 货 １９ ％ ． １ ．Ｄ ２ ．Ｂ ３ ．Ｃ ４ ．Ｃ 不 合 理 ，图 钉 落 地 后 钉 尖 朝 上 和 钉 １２ ． ５ ． 尖 朝 下 的 机 会 不 均 等 ． | １ ５ | ６ ． | ２ ５ | １ ７ ． １８ | ８ ．３ ２ １ | ||||||||
９ ．百 万 分 之 二 １３ ．（１ ） 不 可 信 ． 实 验 次 数 太 少 ；（２ ） 不
１０ ．可 以 用 表 格 列 举 所 有 可 能 得 到 的 牌 好 ．改 变 了 实 验 条 件 ，啤 酒 瓶 盖 和 可 乐 瓶 盖
面 数 字 之 和 ：共 有 １６ 种 情 况 ，每 种 情 况 发 生 落 地 后 正 面 朝 上 的 机 会 不 一 定 相 同 ；（３ ）好 ．
的 可 能 性 相 同 ，而 两 张 牌 的 牌 面 数 字 之 和 等 这 样 既 能 提 高 速 度 又 不 会 对 实 验 结 果 造 成
于 ５ 的 情 况 共 出 现 ４ 次 ，因 此 牌 面 数 字 之 和
影 响 ， 但 应 在 瓶 盖 完 全 相 同 的 条 件 下 进
等 于 ５ 的 概 率 为 ２５ ％ ． 行 实 验 ．
１１ ．（１ ）１ 个 ； （２ ）列 举 略 ，两 次 摸 到 不 同 颜 色 的 球 的 | １４ ．可 能 性 为 ３ ４ | ，这 种 说 法 是 正 确 的 ． | |||||||||||||||
概 率 为 犘 ＝ | １０ １２ | ＝ | ５ ６ | ． | １５ ．２４ ％ 第 ４ 节 课 题 学 习 键 盘 上 字 母 | ||||||||||||
练 习 二
的 排 列 规 律
１ ．Ｂ ２ ．Ｄ ３ ．Ａ ４ ．Ｄ
略
５ ． | １ ３ |
| ２ ３ | ６ ． | １ ２ |
| １ ２ | １ | 期 中 综 合 练 习 | ||||||||||
７ ． | １ ４ |
| １ １３ |
| １ ５２ | １ ．Ｂ ２ ．Ｃ ３ ．Ｂ ４ ．Ｃ ５ ．Ｃ ６ ．Ｃ | |||||||||||||
８ ．１４ 组 １ １８ | ７ ．Ａ ８ ．Ｂ ９ ． ２ １０ ．－ ６ １１ ．１ 和 ０ 槡 | ||||||||||||||||||
９ ．（１ ）篮 球 ：１０ ％ ＋ １２ ％ ＋ １５ ％ ＋ ５ ％ ＝
１２ ．② １３ ． 犿 ≠ － １ 且 犿 ≠ ２
４２ ％ ，足 球 ：２０ ％ ＋ １２ ％ ＋ １８ ％ ＋ ５ ％ ＝ ５５ ％ ，乒 乓 球 ：１５ ％ ＋ １８ ％ ＋ １５ ％ ＋ ５ ％ ＝ ５３ ％ ； 所 以 开 展 足 球 运 动 会 有 更 多 人 参 与 ；
| 槡１４ ．３ － ５ １５ ．略 １６ ．化 简 后 为 狓 ＋ ４ １７ ．略 １８ ．１９ ０００ 只 １９ ．原 式 ＝ ２狓 ＋ ４ ．当 狓 ＝ 槡２ － ２ 时 ， 原 式 ＝ ２ 槡２ ． | |||||||||||||
１ ９ | ，犘 （３ 等 奖 ）＝ １ ６ | ；（２ ）５０００ 元 ． | ２０ ．（１ ）－ ３ ，９ ；（２ ） 是 第 十 个 ；（３ ）狓 ２状狓 － ３状 ２ ＝ ０ ． | ２ － | ||||||||||
第 ３ 节 利 用 频 率 估 计 概 率
２１ ．提 示 ： （犪 － ２１ ）（３５０ － １０犪 ）＝ ４００ ，
解 之 得 犪 １ ＝ ２５ ，犪
１ ．Ａ ２ ．Ｃ ３ ．Ｃ ４ ．Ｄ ２ ＝ ３１ ．
５ ．（１ ）相 同 条 件 （２ ）实 验 的 次 数 因 为 ２１ × （１ ＋ ２０ ％ ）＝ ２５ ．２ 而 犪 ＝ ３１
１１
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人 教 版 · 数 学 · 九 年 级 （ 上 ）
不 合 题 意 ，舍 去 ． 狓 （１１ － 狓 ） ＝ ３０ ， 即 狓 ２ － １１狓 ＋ ３０ ＝ ０ ，解
所 以 ３５０ － １０犪 ＝ １００ 件 得 狓 １ ＝ ５ ，狓 ２ ＝ ６ ． | |
所 以 进 货 １００ 件 ，定 价 为 ２５ 元 ． 故 矩 形 的 长 和 宽 分 别 为 ６ ｃ ｍ 、５ ｃ ｍ 时 ，
期 末 综 合 练 习 | 面 积 是 ３０ ｃ ｍ ２ ．由 狓 （１１ － 狓 ） ＝ ３２ ，即 狓 ２ － １１狓 ＋ ３２ ＝ ０ ，犫 ２ － ４犪犮 ＝ １２１ － ４ × １ × | ||
１ ．Ａ ２ ．Ａ ３ ．Ｃ ４ ．Ｄ ５ ．Ｃ ６ ．Ｂ
３２ ＜ ０ ，方 程 无 实 数 根 ， 故 不 能 折 成 面 积 是
２ 的 矩 形 ． ７ ．Ｄ ８ ．Ｄ ９ ．Ａ １０ ．Ｄ ３２ ｃ ｍ
２５ ． 不 改 变 ．
１１ ．± ２ 槡２
如 图 ３０ 所 示 ，
１２ ．狓 １ ＝ １ ，狓
２ ＝ － ３ １３ ． １ １４ ． ５
１ １５ ．① ③ ④ ⑤ １６ ． ２７ | １７ ．６ ５° | 连 结 犗 犘 ， 犗 犆 ＝ 犗 犘 | |||
烌
１８ ．略 １９ ．４ ２０ ． ４ （１ ＋ 狓 ）２ ＝ ７
∠ ２ ＝ ∠ 犘
烍
２１ ． 原 式 ＝ 槡２ － １ ３ ６ １ ２ ２２ ．（１ ）犘 （ 指 针 指 向 奇 数 区 域 ） ＝ ； ＝ （２ ）方 法 一 ：如 图 ２９ 所 示 ，自 由 转 动 转 盘 ，当 转 盘 停 止 时 ，指 针 指 向 阴 影 部 分 区 域 | ∠ ２ ＝ ∠ １ 烎 ∠ １ ＝ ∠ 犘 犗 犘 ∥ 犆 犇 犆 犇 ⊥ ｝ 犃 犅
︵ 犗犘 ⊥ 犃犅 犘 犃 ＝ | 图 ３０ ︵ 犘犅 犘 点 为 中 点 ． | |||||||
的 概 率 为 ２ ； ３ 方 法 二 ： 自 由 转 动 转 盘 ，当 它 停 止 时 ， 指 针 指 向 的 数 字 不 小 于 ３ 时 ，指 针 指 | ２６ ． （１ ） （ 方 法 １ ） 连 结 犇 犗 ，犗 犇 是 △ 犃 犅 犆 的 中 位 线 ，运 用 中 位 线 的 性 质 ． （方 法 ２ ） 连 结 犃 犇 ，∵ 犃 犅 是 ⊙ 犗 的 直 径 ，∴ 犃 犇 ⊥ 犅 犆 ．∵ 犅 犇 ＝ 犆 犇 ，∴ 犃 犅 ＝ 犃 犆 ． （２ ） 连 结 犃 犇 ，∵ 犃 犅 是 ⊙ 犗 的 直 径 ， | ||||||||
向 的 区 域 的 概 率 是 ２ ． ３ ２３ ．（１ ） 可 以 通 过 逆 时 图 ２９ 针 旋 转 ９０° 使 △ 犃 犅 犈 变 到 △ 犃 犇 犉 的 位 置 ． （２ ）犅 犈 ＝ 犇 犉 ． 提 示 ： 证 △ 犃 犅 犈 ≌ △ 犃 犇 犉 （Ｓ Ａ Ｓ ）． ２４ ． 设 所 折 成 矩 形 的 长 为 狓 ｃ ｍ ，则 有 | ∴ ∠ 犃 犇 犅 ＝ ９０° ， ∴ ∠ 犅 ＜ ∠ 犃 犇 犅 ＝ ９０° ． ∠ 犆 ＜ ∠ 犃 犇 犆 ＝ ９０° ．∴ ∠ 犅 ，∠ 犆 为 锐 角 ． ∵ 犃 犆 和 ⊙ 犗 交 于 点 犉 ，连 接 犅 犉 ， ∴ ∠ 犃 ＜ ∠ 犅 犉 犆 ＝ ９０° ． ∴ △ 犃 犅 犆 为 锐 角 三 角 形 ． | ||||||||
檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 殏
《练 习 册 》参 考 答 案 下 载 请 登 陆 ：
殏 | 檪 檪 | 陕 西 师 范 大 学 教 育 出 版 集 团 网 址 ：ｈｔｔｐ ：／／ ｗ ｗ ｗ ．ｓｎｕｐｇ ．ｃｏ ｍ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 | 檪 | 檪 | 檪 | 檪 | |||||||
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a9cd01bc68eae009581b6bd97f1922791788beec.html
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