基础模型: △ABC中, AD是BC边中线
思路1: 延长AD到E,使DE=AD,连接BE
思路2:间接倍长,延长MD到N,使DN=MD,连接CN
思路3, 作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E
1.如图,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是( )
A.1<AB<29 B.4<AB<24 C.5<AB<19 D.9<AB<19
2.如图,△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:BD=CE.
3.如图,在△ABC中,AD为中线,求证:AB+AC>2AD.
4.小明遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,AB=7,AC=5,点D为BC的中点,求AD的取值范围.
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法,他的做法是:如图2,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.
请回答:(1)小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是: (用字母表示)
(2)AD的取值范围是
小明还发现:倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍,完成全等三角形模型的构造.
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别为AD,BC边上的点,若AG=2,BF=4,∠GEF=90°,求GF的长.
5.已知:在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.
6.已知:如图,△ABC(AB≠AC)中,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥BA交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分∠BAC.
7-10,换汤不换药(多题一解)
7.如图,D是△ABC的BC边上一点且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线.
求证:∠C=∠BAE.
8.如图,已知D是△ABC的边BC上的一点,CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线.
(1)若∠B=60°,求∠C的值;
(2)求证:AD是∠EAC的平分线.
9.如图,已知:CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD的中线,求证:AC=2AE.
10.已知,如图,AB=AC=BE,CD为△ABC中AB边上的中线,求证:CE=2CD.
11.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E,求证:CT=BE.
12.如图①,点O为线段MN的中点,PQ与MN相交于点O,且PM∥NQ,可证△PMO≌△QNO.根据上述结论完成下列探究活动:如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论;(图3是原题的第2问)
13.如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交EF与于点G.若BG=CF,求证:AD为△ABC的角平分线.
14.如图,已知在△ABC中,∠CAE=∠B,点E是CD的中点,若AD平分∠BAE.
(1)求证:AC=BD;
(2)若BD=3,AD=5,AE=x,求x的取值范围.
15.已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图,求证:EF=2AD.
1.解:如图,延长AD至E,使DE=AD,
∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,
在△ABD和△ECD中,,∴△ABD≌△ECD(SAS),∴AB=CE,
∵AD=7,∴AE=7+7=14,
∵14+5=19,14﹣5=9,∴9<CE<19,
2.证明:如图,过点D作DG∥AE,交BC于点G;
3.证明:
4.解:(1)如图2中,延长AD到E,使DE=AD,连接BE.
在△BED和△CAD中,,∴△BED≌△CAD(SAS).
(2)∵△BED≌△CAD,∴BE=AC=5,∵AB=7,∴2<AE<12,
∴2<2AD<12,∴1<AD<6.
解决问题:如图3中,
解:延长GE交CB的延长线于M.
∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥CM,∴∠AGE=∠M,
在△AEG和△BEM中,,∴△AEG≌△BEM,∴GE=EM,AG=BM=2,
∵EF⊥MG,∴FG=FM,
∵BF=4,∴MF=BF+BM=2+4=6,∴GF=FM=6.
5.证明:如图,延长AD到点G,使得AD=DG,连接BG.
∵AD是BC边上的中线(已知),∴DC=DB,
在△ADC和△GDB中,∴△ADC≌△GDB(SAS),
∴∠CAD=∠G,BG=AC
又∵BE=AC,∴BE=BG,∴∠BED=∠G,
∵∠BED=∠AEF,∴∠AEF=∠CAD,
即:∠AEF=∠FAE,∴AF=EF.
6.证明:如图,延长FE到G,使EG=EF,连接CG.在△DEF和△CEG中,
∵,∴△DEF≌△CEG.∴DF=GC,∠DFE=∠G.
∵DF∥AB,∴∠DFE=∠BAE.
∵DF=AC,∴GC=AC.∴∠G=∠CAE.∴∠BAE=∠CAE.即AE平分∠BAC.
7.证明:延长AE到F,使EF=AE,连接DF,∵AE是△ABD的中线∴BE=ED,
在△ABE与△FDE中
∵,∴△ABE≌△FDE(SAS),∴AB=DF,∠BAE=∠EFD,
∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD,
∴∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD,
∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD,∴∠ADF=∠ADC,
∵AB=DC,∴DF=DC,
在△ADF与△ADC中
∵,∴△ADF≌△ADC(SAS)∴∠C=∠AFD=∠BAE.
8.(1)解:∵∠B=60°,∠BDA=∠BAD,
∴∠BAD=∠BDA=60°,∴AB=AD,
∵CD=AB,∴CD=AD,∴∠DAC=∠C,∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C,
∵∠BAD=60°,∴∠C=30°;
(2)证明:延长AE到M,使EM=AE,连接DM,
在△ABE和△MDE中,,∴△ABE≌△MDE,
∴∠B=∠MDE,AB=DM,
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠MDE+∠BDA=∠ADM,
在△MAD与△CAD,,∴△MAD≌△CAD,∴∠MAD=∠CAD,
∴AD是∠EAC的平分线.
9.证明:延长AE至F,使AE=EF,连接BF,
在△ADE与△BFE中,,∴△AED≌△FEB,
∴BF=DA,∠FBE=∠ADE,
∵∠ABF=∠ABD+∠FBE,∴∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC,
在△ABF与△ADC中,,∴△ABF≌△CDA,∴AC=AF,
∵AF=2AE,∴AC=2AE.
10.证明:取AC的中点F,连接BF;
∵B为AE的中点,∴BF为△AEC的中位线,∴EC=2BF;
在△ABF与△ACD中,,∴△ABF≌△ACD(SAS),∴CD=BF,∴CE=2CD.
11.证明:过T作TF⊥AB于F,
∵AT平分∠BAC,∠ACB=90°,
∴CT=TF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵∠ACB=90°,CM⊥AB,∴∠ADM+∠DAM=90°,∠ATC+∠CAT=90°,
∵AT平分∠BAC,∴∠DAM=∠CAT,
∴∠ADM=∠ATC,∴∠CDT=∠CTD,∴CD=CT,
又∵CT=TF(已证),∴CD=TF,
∵CM⊥AB,DE∥AB,∴∠CDE=90°,∠B=∠DEC,
在△CDE和△TFB中,,
∴△CDE≌△TFB(AAS),
∴CE=TB,∴CE﹣TE=TB﹣TE,即CT=BE.
12.解:(1)AB=AF+CF.
如图2,分别延长DC、AE,交于G点,
根据图①得△ABE≌△GCE,∴AB=CG,
又AB∥DC,∴∠BAE=∠G
而∠BAE=∠EAF,∴∠G=∠EAF,
∴AF=GF,
∴AB=CG=GF+CF=AF+CF;
13.解:延长FE,截取EH=EG,连接CH,
∵E是BC中点,∴BE=CE,∴∠BEG=∠CEH,
在△BEG和△CEH中,,∴△BEG≌△CEH(SAS),
∴∠BGE=∠H,∴∠BGE=∠FGA=∠H,∴BG=CH,
∵CF=BG,∴CH=CF,∴∠F=∠H=∠FGA,
∵EF∥AD,∴∠F=∠CAD,∠BAD=∠FGA,∴∠CAD=∠BAD,
∴AD平分∠BAC.
14.(1)证明:延长AE到F,使EF=EA,连接DF,
∵点E是CD的中点,∴EC=ED,
在△DEF与△CEA中,,∴△DEF≌△CEA,∴AC=FD,∴∠AFD=∠CAE,
∵∠CAE=∠B,∴∠AFD=∠B,
∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠FAD,
在△ABD与△AFD中,,∴△ABD≌△AFD,∴BD=FD,∴AC=BD;
(2)解:由(1)证得△ABD≌△AFD,△DEF≌△CEA,∴AB=AF,
∵AE=x,∴AF=2AE=2x,∴AB=2x,
∵BD=3,AD=5,∴在△ABD中,,解得:1<x<4,
∴x的取值范围是1<x<4.
15证明:延长AD至点G,使得AD=DG,连接BG,CG,
∵AD=DG,BD=CD,
∴四边形ABGC是平行四边形,
∴AC=AF=BG,AB=AE=CG,∠BAC+∠ABG=180°,
∵∠EAF+∠BAC=180°,
∴∠EAF=∠ABG,
在△EAF和△BAG中,
,
∴△EAF≌△BAG(SAS),
∴EF=AG,
∵AG=2AD,
∴EF=2AD.
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/aef5d4a98beb172ded630b1c59eef8c75ebf951c.html
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