浅谈一元三次方程解法

浅谈一元三次方程解法

尤茗雯

鞍山市第一中学20届创新2班

【摘要】

一元三次方程在高一外围知识中有时是一个大题中必要的解题环节，利用因式分解、试根法和倒数法可以快速巧妙解决一元三次方程根的问题，规避运用繁琐的公式解根和虚数问题。

【关键词】

一元三次方程；降次；根

一元方程中含：一元一次方程、一元二次方程和高次方程。前两者在初中，就已经接触了，在高中继续作为学习内容。它们都一定有确定解根的方法（有根的情况下）。但高次方程则不一样，只有其中的一元三次方程在高中作为选修内容稍做提及，且解法较为复杂，简单的试根法有猜测部分，这种未知引起了我的兴趣，在这个假期我对它进行了初步的研究。

1.定义

只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是3的整式方程叫做一元三次方程。

2.原理：

作为一个现阶段只上了半年高中的高中生，想利用现有公式解决一元三次方程根的问题还不能够达到，因为这涉及到了虚数“i”。而所学知识中涉及到的最高此项只有二次，所以想用现有知识解决问题，必须降次。所以降次成为方法的主要方向。未知数相乘，使次数产生，由此反推，只要能够找到一个因式，并除以这个因式，就可以达到降次。

2.一元三次方程解法

2.1根的个数

可以用导数证明一元三次函数的根的个数分为：1个、2个或3个。

f(x)= ax3+bx2+cx+d, f'(x)=3ax2+2bx+c

2.2因式分解法

与二次方程相似，一元三次方程可以分解为:

(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0

的形式，那么x1、x2、x3就是这个方程的根。

因式分解好的人，这个方法的确不错，较简单、较快。理论上所有的一元三次方程都可以分，但有些x1、x2、x3就会变成分数，所以对于实际解题来说，并不是所有的方程都适合，还是有局限性的

2.3试根法

2.3.1

作为2.2的特殊情况，一元三次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。（即x1=1或-1）。这时可将该方程用大除法或因式分解法除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后，按照一元二次方程的根的解法即可求根。

这是一个在解一元三次方程中是本人较为喜欢的一种，是最简单，快捷的。但局限性较大，对于系数的要求高。

2.3.2

变式：还有有时因式未知数的系数并不唯1【（px-q）】，原理相同。

若此时把因式做整式的乘法，可得，p为三次项系数的约数，q为常数项系数的约数。

2.4倒数法

作为2.2另一种看起来就很趣有的变式，系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如:

ax3+bx2+cx+d=0，其中a=d,b=c或a=-d,b=-c。

显然，此类方程没有零根。且必有一个根为1或-1（见2.3.1），且可由计算得除以因式（x-1）或（x+1）后，该方程仍是一个倒数方程，这就是此类方程的求根方法，可以达到降次的目的，之后就是一元二次方程的解法了。

另外：若k是这个方程的根，那么1\k也是这个方程的根。

设：k为方程ax3+bx2+cx+d=0的根。

ak3+bk2+ck+d=0两边同时除以k3，得

a+b\k+c\k2+d\k3=0

即d\k3+c\k2+b\k+a=0

此时可以得出另一个结论：k为方程ax3+bx2+cx+d=0的根，则1\k为方程dx3+cx2bx+a=0的根。

又因为，a=d,b=c或a=-d,b=-c

所以，方程可以改为

a\k3+b\k2+c\k+d=0(-a\k3-b\k2-c\k-d=0同)

所以，1\k也是这个方程的根。

所以，原题得证。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b29ff79032d4b14e852458fb770bf78a65293a08.html