2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如果函数
的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为
2．抛物线的准线方程是y=2，则a的值为 （ ）
A． B．－
C．8 D．－8
3．已知 （ ）
A． B．－
C．
D．－
4．设函数则x0的取值范围是 （ ）
A．（－1，1） B．（－1，+∞）
C．（－∞，－2）∪ （0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．函数的反函数为 （ ）
A． B．
C． D．
7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）
A． B．
C．
D．
8．设曲线
在点
处切线的倾斜角的取值范围为
，则P到曲线
对称轴距离的取值范围为 （ ）
A．[] B．
C．
D．
9．已知方程的四个根组成一个首项为
的等差数列，则 |m－n|= （ ）
A．1 B． C．
D．
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是 （ ）
A． B．
C．
D．
11．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tanθ的取值范围是 （ ）
A． B．
C．
D．
12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3π B．4π C．π D．6π
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上.
13．展开式中x9的系数是
15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜
色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法
有 种.（以数字作答）
16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD. ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD.
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.
其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）
18．（本小题满分12分）
已知函数上R上的偶函数，其图象关于点
对称，且在区间
上是单调函数，求
和ω的值.
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.
20．（本小题满分12分）
已知常数，向量
经过原点O以
为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以
为方向向量的直线相交于点P，其中
试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）已知为正整数.
（Ⅰ）设；
（Ⅱ）设
22．（本小题满分14分）
设如图，已知直线
及曲线C：
，C上的点Q1的横坐标为
（）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点
，再从点
作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求
的关系，并求
的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明
；
（Ⅲ）当a=1时，证明
2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13． 14．6,30,10 15．120 16．①④
三、解答题
17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.
解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.
（Ⅰ），
因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为
答：恰有一件不合格的概率为0.176.
解法一：至少有两件不合格的概率为
解法二：三件产品都合格的概率为
由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为
答：至少有两件不合的概率为0.012.
（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分
解：由
19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空
间想象能力和推理运算能力. 满分12分.
解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
（Ⅱ）连结A1D，有
, 设A1到平面AED的距离为h，
则
解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角.
如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，
则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)
（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)
（Ⅰ）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（Ⅱ）当时，方程①表示椭圆，焦点
（Ⅲ）当方程①也表示椭圆，焦点
为合乎题意的两个定点.
（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.
证明：（Ⅰ）因为，
所以
（Ⅱ）对函数求导数:
∴
即对任意
22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.
（Ⅰ）解：∵
∴ ∴
， ∴
（Ⅱ）证明：由a=1知 ∵
∴
∵当
∴
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，
因此
=
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b2f478f30a1c59eef8c75fbfc77da26924c5963b.html
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