6.2.5 电场强度的计算
在本知识点中，我们将给大家介绍使用迭加原理计算场强的方法。重点是微积分的使用。使用微积分计算场强的步骤大致有：
1、建立坐标系：目的是便于表示场强的方向和选择积分的变量；
2、选取元电荷：即对连续带电体进行微分；
3、写出元电荷在考察点的场强大小；
4、分析元电荷在考察点场强的方向：目的是为写分量做准备；
5、写出元电荷在考察点场强的各个分量：目的是为对各个分量积分做准备；
6、分别对各个分量积分，并在积分过程中选择恰当的积分变量和统一变量。
【例1】求电偶极子中垂线上任意一点的电场强度。
电偶极子的电场
【解】如上图所示。设电偶极子的电量分别为+q和-q，用l表示从负电荷指向正电荷的矢量。设中垂线上任意一点P相对于+q和-q的位置矢量分别为r+和r-，而r+=r-。+q和-q在P点处产生的场强分别为
以r表示电偶极子中心到P点距离，则
在距离电偶极子甚远时，即r＞＞l时，取一级近似有。而P点的总场强为
式中p=ql是电偶极子的电矩，这样上述结果又可以写成
此结果表明，电偶极子在其中垂线上距电偶极子中心较远处各点的电场强度与电偶极子的电矩成正比，与该点离电偶极子中心的距离的三次方成反比，方向与电矩的方向相反。
【例2】试求一均匀带电直线外任意一点处的场强。设直线长为L（见下图），电荷线密度（即单位长度上的电荷）为（设
）。设直线外场点P到直线的垂直距离为
，P点与带电直线的上下端点的连线与垂线的夹角分别为
和
。
带电直线外一点的电场
【解】均匀带电直线可以理解为实际问题中一根带电直棒的抽象模型，如果我们仅限于考虑离棒的距离比棒的截面尺寸大得多的地方的电场，则该带电直棒就可以看作一条带电直线。P点处的场强可以通过微积分来求解。
在带电直线上任取一长为的元电荷，其电量
。以P点到带电直线的垂足O为原点，取如图所示坐标轴
，
。元电荷dq在P点的场强dE沿两个轴方向的分量分别为
和
。因而
由于，从而
（此式在几何上表示，当
很小时，
对P点张开的角度
与
的关系），并且
，所以
由于对整个带电直线来说，q的变化范围是从到
，所以
同理可得
P点总场强的大小可以由下式得到
有几种特殊情况，讨论如下：
(1)中垂线上的点 在中垂线上，则有
，
将
代入，可得
此电场的方向垂直于带电直线而指向远离直线的一方。
（2）无限长直线外任意一点处的场强 真实的生活中没有无限长，无限长只是一个相对的概念，在本题中无限长的准确描述是 ，故有
此外，在远离带电直线的区域，即当时，中垂线上的电场强度
其中为带电直线所带的总电量。此结果显示，离带电直线很远处该带电直线的电场相当于一个点电荷q的电场。
【例3】求均匀带电圆环轴线上的场强。如下图所示，一均匀带电细圆环，半径为R，所带总电量为q（设q>0），圆环轴线上场点P到圆心的距离为x。
【解】 根据微积分的思想，我们把圆环微分成为许多小段，任一小段dl上的带电量为dq。设此元电荷dq在P点的场强为dE， dE沿平行和垂直于轴线的两个方向的分量分别为和
。由于圆环电荷分布对于轴线对称，所以圆环上全部电荷的
分量的矢量和为零，因而P点的场强沿轴线方向，且
均匀带电细圆环轴上的电场
式中积分为对环上全部电荷q积分。设P点与dq的距离为r，由于
其中q为与x轴的夹角，所以
此式中的积分值即为整个环上的电荷q，所以
考虑到，而
。可将上式改写为
E的方向为沿着轴线指向远方。
当时，
，则E的大小为
此结果说明，远离环心处的电场也相当于一个点电荷q所产生的电场。当时，
，则E的大小为
即在靠近圆心的轴线上场强大小与x成正比。
【例4】试求均匀带点电圆盘轴线上的场强。设带电圆盘半径为R（如下图），电荷面密度（即单位面积上的电荷）为（设
），求圆面轴线上距离圆心x处场点P的场强。
均匀带电圆面轴线上的电场
【解】一带电平板，如果其面积的线度及考察点到平板的距离都远远大于它的厚度，该带电板就可以看作一个带电平面。带电圆盘可看成由许多同心的带电细圆环组成。取一个半径为r，宽度为dr的细圆环（即将圆盘微分成许多圆环），由于此环的面积为，带有电荷
，所以由上一例题可知，此圆环电荷在P点的场强大小为
方向沿着轴线指向远方。由于组成圆面的各圆环的电场dE的方向都相同，所以P点的总场强为各个圆环在P点场强的大小的积分，即
其方向也垂直于圆面指向远方。
当时，
此时相对于x，可将该带电圆盘看作“无限大”带电平面。因此，可以说，在一无限大均匀带电平面外的电场是一个均匀场，其大小由上式给出。
当时，
于是
式中为圆面所带的总电量。这一结果也说明，在远离带电圆面处的电场也相当于一个点电荷的电场。
电场强度迭加原理
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