浅谈中国古代数学文化
摘要：在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中一朵绚丽的奇葩。数学不仅是中国古代实用科学的基石，而且含有神秘的文化色彩，有着深厚的文化积淀，它渗透在中国的各个领域，是中华文化不可缺少的一部分。
关键词：中国古代数学；周易；数字文化
在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。
与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。因此，中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。
中国是一个对于“数”这种概念异常重视的国度，对于数的重视，促使中国古代数学在世界上曾长期处于领先地位。起码在夏商时代，中国即创造和使用了十进位制。在传说中，有“黄帝为法，数有十等”的记载。在《尚书》中，每见“亿兆”、“兆民”等词。在甲骨文中，也有个位、百位、千位、万位的记录。这说明，中国早在四五千年前即已使用十进位值制。与此相比，直至12世纪，欧洲所使用的是仍然为既不便于思维、也不便于运算的罗马计数法。古巴比伦人和中美洲的玛雅人虽然也采用了位值制，但巴比伦人采用的是六十进位，玛雅人采用的是二十进位。印度于公元6世纪开始采用十进位值制，是受中国文化影响而产生的。位值制数码为阿拉伯数码的前身。因此，李约瑟说:“西方后来所习见的‘印度数字’的背后，位值制早已在中国存在两千年了。”“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界。”
直至宋元时代，中国的数学在众多方面都走在世界的前列。在北宋之时，数学家贾宪提出了“开平方作法本源图”，比法国数学家巴斯卡提出同样的成果早600多年。宋元之交，即在13世纪下半叶几十年时间里，就涌现了秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰等四位杰出数学家。他们的著作被称为“宋元算书”，一直流传至今。其中，秦九韶的《数书九章》在高次方程的数值解法(即被称为“秦九韶程序”)和“联立一次同余式”(即被称为“大衍求一术”)的解法这两个方面取得了卓越成就。秦九韶所创立的高次方程求值法，在欧洲，直至1804年与1819年才分别由意大利人鲁菲尼和美国人霍纳提出，比秦九韶要晚500余年。他的“大衍求一术”在欧洲是由大数学家欧拉于1734年和高斯于1801年完成的。在数学上，“大衍求一术”被称为“中国剩余定理”。19世纪中叶传到西方时，德国数学家康托称赞说，秦九韶是“最幸运的人”;美国科学史专家萨顿说:“他那个民族，他那个时代，并且是所有时代最伟大的数学家之一。”李冶的《测圆海镜》和《益古演段》两书，对用代数方法列方程的研究有重要影响，并为数学向更高层次发展准备了条件。元初数学家李世杰的《四元宝鉴》，应用“天元术”，即根据问题所给出的条件，运用未知数的方程的普遍方法来解多元高次方程组。这种方法，在欧洲直至16世纪才开始起步进行研究。这些数学成就都比欧洲早了几百年，奠定了中国数学在宋元时代的领先地位。
《周易》向来被称为中国群经之首，它是中华文化的根基，是打开中国文化“大门”的一把钥匙，它塑造形成了中国文化最根本的精神结构、价值观念和思维方式，决定了后者的发展趋向。
中国古代数学是在中国古代文化的土壤中生长出来的，是中国传统文化的一个有机组成部分，其思维方式和理论特征是与整个传统文化一脉相承的。《周易》这部古老的典籍，作为中国传统文化的母基，流传近三千年，长期以来，成为古代知识分子用来观察和解释世界的理论依据，在中国古人的精神空间中占据了举足轻重的地位，其特殊的思维方式直接影响着中国古代数学的思维方式，各种类型的神秘主义思想以其强大的精神力量深刻地支配着中国古代数学哲学的形成和走向，对数学的发展起着决定性的作用。
1）《周易》侧重于经验直观，不注重理论抽象。由此导引着中国古代数学从思维方式上把重点放在对经验的总结和对现象的描述上，不注重探究现象背后的原因，导致中国传统文化里缺乏推演的精神和逻辑的精神。
易学在我国源远流长，几乎与我们中华民族的历史同时起步，《易传·系辞下》曰:“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟盖之文，与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情”。所谓包牺氏，就是伏羲。从这几句话中不难看到，伏羲创作八卦的主要途径是“仰观俯察”。观察是伏羲制作八卦的前提。观察是直觉反映，是对自然的认识，这充分说明了八卦的产生是古代先祖在社会实践中，通过观察天地万物、人类自身并加以模拟的结果，正因为如此，中国古代数学绝大部分处于经验形态水平上，“许多数学著作以《周易》为张本，如刘徽《九章算术注》序中有:‘昔日包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六交之变。既于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然而两仪四象精微之气可得而效焉’。在秦九韶的《数书九章》一书中，‘奢卦发微’成为数学课题之一。
2）《周易》的这种思维方式还导致中国古代数学形成了推理和证明过程中的寓理于算、不证自明的直觉思维和非逻辑成分，以及思维方式的模糊性。典型的例子如:赵爽用勾股圆方图对勾股定理及若干勾股恒等式所作的论说，他仅用了短短五百字和六张附图，就“简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成就。不但勾股定理和其他关于勾股弦的恒等式获得了相当严格的证明，并且对二次方程解法提供了新的意见。’刘徽借助于面积和体积的图解对开平方和开立方的说明，刘徽运用割补法对整勾股数公式的论证，祖眼利用八分之一牟合方对球体公式的阐说，梅文鼎借鳖蠕而论球面三角形的边角关系，明安图创割圆密率捷法，运用几何方法对初等函数级数展开的研究。“还有《九章算术》全书只有问题和解法，而没有理论证明，书中有些结果还比较粗疏’。此外，赵爽在注《周肆算经》时从一个正方形出发，不断分割出19个几何命题。这种研究方法显然是受了《周易》“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的影响。 “天人合一”思想容易造成数学研究者的思维定势，使他们研究数学问题时，始终跳不出《周易》的思维模式。
3）《周易》侧重于模式推理而不注重命题推理，导致中国古代数学思维模式缺乏必要的抽象，难以形成一种研究数学的有效思维方式。即中国古代数学中求“理”的方法，只有归纳法而缺乏推演法。所谓命题推理，就是从一个初始命题出发，按照一定的形式规则，推出一些新的命题，这种推理明确而严密，西方哲学家和科学家都普遍使用这种推理形式建构自己的理论。所谓模式推理，就是从一种基本模式出发，按照一定的原则，把有关对象放在这一模式中进行推理。《周易》64卦，就是64个推导模式。受这种思维方式的影响，在中国传统文化中，数学的价值观念则是技艺实用而非理性思辩。受《周易》思维形式的影响，我国古代数学重视模式而缺乏必要的抽象，没有形成研究数学理论的普遍方法论原则。
1）《周易》注重事物的运动变化，不注重事物的静态结构，它导引着中国古代数学的整体思维。
《周易》认为万物变化的根源在于阴阳对立面的相互作用、即“刚柔相推以生变化”。世界万物都不外动静两种状态。只有动静交替才能产生万物，没有静也就没有动。运动变化终归以不变为基础，这是《周易》形而上学的特色。“万物皆数”是中国古代数学的一个重要组成部分，几乎所有的数学家及数学著作都持这种观点。《孙子算经》中说:“夫算者，天地之经纬，群星之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪。”宇宙间的一切都可以用数算出来，可见万物都与数相关联。唐代数学家王孝通认为:“九畴载叙，纪法著于彝伦;六艺成功，数术参与选化。夫为君上者司牧黔首，有神道而设教，采能事而经纶:尽性穷源莫重于算。”天文学上，我国古人编制了比同时代其它国家先进得多的历法，提出了西方近代才产生的宇宙演化的先进思想，但对宇宙结构的认识却一直停留在汉代的水平上，一直没有建立起宇宙的几何模型。
2）《周易》注重事物的功能和万物的相互联系，而不注重事物的实体和构成元素。它导引着中国古代数学独特的辩证性思维。
阴阳是中国古代辩证法的一对基本范畴，也是贯穿《周易》哲学的一条主线，《周易》认为世界万物无不可用阴阳来表示属性。以这种理论为指导来考察自然，就是要探索各种事物的功能属性，而对这种功能属性的承载实体却不予探索或刻意去探索。事物的功能性，是与其它事物相互联系中展现出来的，尤其是与人的联系中展现出来。这就不可避免地促进中国古代数学只注重实用性、计算性、算法化以及注重模型化方法的特点，中国算家以构造精致的算法为己任。通过切实可行的手段把实际问题化归为一类数学模型，然后应用一套机械化(或程序化)的算法求出具体的数值解，中国古代数学中的一些基础概念往往由一个可操作的算法导出。把数学作为“六艺”之一引入教育内容，而不去对对象本身作抽象的、纯理论的研究，不讲究数学的逻辑体系，很少提到思辩性的要求，这样，数学理论不可能上升至纯知识领域，作为研究抽象理论所不可缺少的普遍方法和原则极少，实用主义成了中国古代数学发展的主要动力。
3）《周易》问世之后，其数字化刻画世界图像的思想被不断地阐发，但其中混杂了许多唯心史观和“道”、“太极”等虚无缥缈和神秘莫测的东西，使我们从中领悟到中国古代自然哲学体系中强烈的巫术精神，感受到那种智慧与愚昧混合、科学与迷信缠绕的认识困境。“很明显，这种以虚构、假设、幻想、意念的形式所构筑的精神实体存在为起点，运用简单的数学规律及其推演所形成的理论体系，由于不具备科学方法所要求的基本条件，只可能是不真实的、主观臆断的和巫术化的。”因而，中国古代数学的思维形式带有强烈的神秘文化色彩。
数字及其符号的组合变化被淋漓尽致地运用于中国古代最重要和最具代表意义的著作《周易》当中。其中卦辞和艾辞的复杂变化都是通过数字有规律的排列变化实现的。以阴阳两种符号组成八卦，分别代表地、山、水、风、雷、火、泽、天八种自然物及其位置结构。再由八卦两两相行，衍生出六十四卦，再从六十四卦的组合中推出三百八十四交，用于表示世间万物的数目。这种庞大有序的符号图式构成了中国古代对宇宙与人进行解说的系统化与数字化的占卜体系。《周易》中蕴含着宝贵的“取象运数”的思想方法，其主旨是在广泛收集自然现象的基础上，运用数字及其变化来进行计算和推测。这是人类把朴素唯物论的观察方法与饱含主观想象色彩的数字方法相结合的最初尝试。《周易》思想体系一个鲜明的特征就是把事物的变化限定在能够把握的数字的所有可能的组合之中，利用数字间的内在规律对事物的运行进行规范和预测。从此，中国古代数学便与由《周易》演化而来的玄学有了不解之缘。
《周易》对中国古代数学的思维产生了深刻的影响，它得益于数学，又对数学产生了巨大的影响，对中国古代数学家的世界观和方法论的形成产生了决定性的影响。从积极的方面讲，中国古代数学特殊的思维方式是中国古代数学取得举世瞩目成绩的重要原因，在现代科学的发展中发挥着巨大作用。从消极方面来讲，中国古代数学长期受控于《周易》模式，其思维方式与近代数学产生时所依赖的思维方式不合辙，不可能走出神秘主义所营造的迷宫，登上科学的殿堂而演化为近现代数学。
中国古代数学生长于中国传统文化的土壤，它不仅是一门实用科学，更是一门人文科学，在漫长的历史长河中，炎黄子孙赋予了它丰富的文化意义。以下例举了“一”到“九”数字的文化意义加以说明。
1、数字“一”，首先，表示数的开始，《汉书》曰：“元元本本，数始于一”。其次，“一”在中国古代哲学中，它被看做是世界的本源或是宇宙初蒙的象征。《老子》：“道生一，一生二，二生三，三生万物”。
2、数字“二”在中国古代哲学家的思维中把它作为“天地”中的地、“阴阳”中的阴，有人认为“二”是宇宙界分的标志，以阴阳为统领的二元论。
3、数字“三”，可以表示数量三或序数三，也可以表示许多、很多的意思。 “三”字在小说里用的很多，如’“刘光张桃园三结义”、“孙悟空三打白骨精”、“三打祝家庄”等，再如古文中常见的“三才”、“三光”、“三元”、“三玄”、“三生”等词语，可见古人对“三”这个数字特别青睐。
4、数字“四”是先民喜爱的数字之一，因为它是个平稳的数。桌子有了四条腿，显得平稳安妥。先民从东南西北四方观念中，逐渐建立起四象、四季、四神、四帝等自然崇拜观念。但由于“四”与“死”谐音，现代人对“四”这个数字却非常厌恶。
5、数字“五”，我中华民族历来对它表示无限的崇拜。首先，五是阳数，本身具有吉祥意义，加上人体有五个末端（头和四肢），手有五个手指，脚有五个脚趾，这就自然看重五。其次，当人们分辨出东南西北四个方位时，同时产生了“中”的概念，神秘莫测的“洛书”、“河书”都以五处中央，故历史上将皇帝称之为“九五之尊”。拥有完善体系的五行学说更是给“五”这一数字增添了几分神秘色彩。
6、数字“六”，可以说是一个时空谐和的数字，它历来被认为是吉祥的字眼，所谓“六六大顺”是也，所以它也影响着各种社会制度以及日常生活，如：古代皇帝出游所乘车驾马必六匹；皇宫后院称为“六宫”；周代把执政大臣分为六官，后世有“六部”。
7、数字“七”，在中国传统文化中是一个神秘而又令人迷惘的数字，它有时有吉义，有时又表凶，有人认为它与月亮盈亏（生死）有关，《周易》中曾多次提到七，把七看做一个周期。总的来说，人们不太喜欢这个数字，唐诗宋词上也很少人提到它。
8、在中国数字文化中，“八”属于偶数，代表阴性之数，有人说“八”是阴中的阳元素。由于“八”与“发”谐音，现代人们对八十分崇拜。
9、从中国文化学和民俗学的角度看，数字“九”蕴含的意义非常丰富和复杂，千百年来在它身上积淀了深厚的文化意蕴。“九”是个位数中最大的一个数，因此传统文化中赋予了“多”、“全”、“重要”、“吉祥”等含义，有着崇高的地位，如：九鼎、九州。“九”在古代阴阳学中被视为阳数之最，后引申出“天”和“帝”的意义，传统以正月七日为人日，八日为谷日，九日为天的生日。人们崇尚“九”另一原因是古书《易经》中，六十四卦均以阴阳爻错综组合，而对阳爻的爻题称为初九、九二、九三、九四、九五、上九、用九。乾卦以龙设喻，“九五”爻辞有“飞龙在天，利见大人”，飞龙者，皇帝也，故人们称皇帝为“九五之尊”，于是，“九”成了皇帝的专用词，处处要体现“九”这个数，才显皇家气派。
此外，还有些数字，我们炎黄子孙对它情有独钟，如：十二、十八、二十四、二十八、三十六、七十二、一百零八、三百六十等。
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