2018年单招考试复习资料

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2]

3．已知定义在 R 上函数 f（x）满足 f（x）+f（﹣ x）=0，且当 x＜ 0 时，f（ x）=2x2

﹣ 2，则 f （f（﹣ 1）） +f （2）=（ ）

A．﹣ 8 B．﹣6 C．4 D．6

4．定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x+2）=f（ x），且在 [ ﹣ 1，0] 上单调递减，

设 a=f（﹣ 2.8），b=f（﹣ 1.6），c=f（ 0.5），则 a，b，c 大小关系是（ ）

A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b

5．已知硒数 f（ x）= 则函数 y=f（ x） +3x 的零点个数是（ ）

第1页（共 32页）

A． B． C．1+π D． 2+π

9．直线（ m+2）x+3my+7=0 与直线（ m﹣2）x+（ m+2）y﹣5=0 相互垂直，则 m

的值（ ）

A． B．﹣2 C．﹣ 2 或 2 D． 或﹣2

10．直线 l 经过点 P（﹣ 3，4）且与圆 x2+y2=25 相切，则直线 l 的方程是（ ）

A．y﹣4=﹣ （x+3） B．y﹣4= （ x+3） C． y+4=﹣ （x﹣ 3） D．y+4= （x

﹣ 3）

11．某校高三年级 10 个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的

平均数是 20，则 + 的最小值为（ ）

A．1 B． C．2 D．

12．某市举行 “中学生诗词大赛 ”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩

大于 90 分的具有复赛资格，某校有 800 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均

在区间（30，150] 内，其频率分布直方图如图． 则获得复赛资格的人数为 （ ）

第2页（共 32页）

A．640 B．520 C．280 D．240

13．已知函数 ，以下命题中假命题是（ ）

A．函数 f （x）的图象关于直线 对称

B． 是函数 f（x）的一个零点

C．函数 f（x）的图象可由 g（ x） =sin2x的图象向左平移 个单位得到

D．函数 f （x）在 上是增函数

14．已知 ，且 ，则向量 与向量 的夹角是（ ）

A． B． C． D．

15．已知函数 f （x）=sin2x+ sinxcosx，则（ ）

A．f （x）的最小正周期为 2π B． f（x）的最大值为 2

C．f （x）在（ ， ）上单调递减 D．f（x）的图象关于直线 对称

16．△ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=a（ cosC﹣sinC），a=2，

c= ，则角 C=（ ）

A． B． C． D．

17．设等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若 a2+a8=10，则 S9=（ ）

A．20 B．35 C．45 D．90

18．若 { an} 是等差数列，首项 a1＞0，a4+a5＞0，a4?a5＜0，则使前 n 项和 Sn ＞0

成立的最大自然数 n 的值为（ ）

A．4 B．5 C．7 D．8

第3页（共 32页）

19．在等比数列 { an} 中，若 a2= ， a3= ，则 =（ ）

A． B． C． D．2

20．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题 “若 x2=1，则 x=1”的否命题为： “若 x2=1，则 x≠1”

2

B．“ x=﹣1”是“x﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

C．命题 “? x∈ R，使得 x2+x+1＜ 0”的否定是： “? x∈R，均有 x2+x+1＜0”

D．命题 “若 x=y，则 sinx=siny 的”逆否命题为真命题

21．在△ ABC中， “ C= ”是“ sinA=cosB的”（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

22．已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点，过 F1 的直线与椭圆交于 M 、N 两

第4页（共 32页）

27．复数 z 满足 z（ 1﹣ 2i） =3+2i，则 z=（ ）

A． B． C． D．

28．若有 5 本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（ ）

A．120 B．150 C．240 D．300

29． 展开式中的常数项为（ ）

A．﹣ 20 B．﹣ 15 C．15 D． 20

30．甲、乙两人参加 “社会主义价值观 ”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一

人获得一等奖的概率为（ ）

A． B． C． D．

31．如表是某单位 1～4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其回归方程是

，则 a 等于（ ）

A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95

二．解答题（共 8 小题）

32．已知 ．求：

（ 1）函数的定义域；

（ 2）判断函数 f （x）的奇偶性；

（ 3）求证 f（x）＞ 0．

33．如图，在三棱锥 D﹣ABC中，DA=DB=DC，E 为 AC上的一点， DE⊥平面 ABC，

F 为 AB 的中点．

（Ⅰ）求证：平面 ABD⊥平面 DEF；

（Ⅱ）若 AD⊥ DC， AC=4，∠ BAC=45°，求四面体 F﹣DBC的体积．

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34．已知函数 f （x）= sin2x+sinxcosx．

（ 1）当 x∈[ 0， ] 时，求 f （x）的值域；

（ 2）已知△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c，若 f （ ）= ，a=4，

b+c=5，求△ ABC的面积．

35．已知向量 （x∈R），设函数 f（ x）

= ﹣ 1．

（ 1）求函数 f（ x）的单调增区间；

（ 2）已知锐角△ ABC的三个内角分别为 A，B，C，若 f（ A）=2，B= ，边 AB=3，

求边 BC．

*

36．已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an﹣ 2（ n∈ N ）．

（Ⅱ） 求数列 { Sn} 的前 n 项和 Tn．

37．已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为 F1、F2，左顶点为 A，若

| F1F2| =2，椭圆的离心率为 e=

（Ⅰ）求椭圆的标准方程．

（Ⅱ）若 P 是椭圆上的任意一点，求 ? 的取值范围．

38．已知函数 f（x）=x3+bx2+cx﹣ 1 当 x=﹣2 时有极值，且在 x=﹣ 1 处的切线的斜率为﹣ 3．

（ 1）求函数 f（ x）的解析式；

（ 2）求函数 f（ x）在区间 [ ﹣1，2] 上的最大值与最小值．

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（Ⅰ）现用分层抽样的方法从这 600 人中抽取 20 人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数；

（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的 20 名学生中，要随机选取 2 名学生参加活动，记 “其中成绩为优秀的人数 ”为 X，求 X 的分布列与数学期望．

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参考答案与试题解析

【分析】 化简集合 B，根据交集与补集的定义计算即可．

【解答】 解：集合 A={ x| x≥0，x∈R} ，

B={ x| x2+2x﹣ 3≥ 0，x∈R} ={ x| x≤﹣ 3 或 x≥1，x∈ R} =（﹣∞，﹣ 3] ∪[ 1，+∞），

∴ ?RA={ x| x＜0，x＜ R} =（﹣∞， 0），∴（ ?RA）∩ B=（﹣∞，﹣ 3] ．

故选： B．

【点评】 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．

2．函数 f （x）= + 的定义域是（ ）

A．[ ﹣2，2] B．（﹣ 1，2] C． [ ﹣ 2， 0）∪（ 0，2] D．（﹣ 1，0）∪（ 0，

2]

【分析】 f（x）= + 有意义，可得 ，解不等式即

可得到所求定义域．

【解答】 解： f（x） = + 有意义，

可得 ，

即为 ，

解得﹣ 1＜x＜0 或 0＜ x≤ 2，

则定义域为（﹣ 1，0）∪（ 0，2] ．

故选 D．

【点评】本题考查函数的定义域的求法， 注意运用偶次根式被开方式非负， 对数

第8页（共 32页）

真数大于 0，以及分式分母不为 0，考查运算能力，属于基础题．

3．已知定义在 R 上函数 f（x）满足 f（x）+f（﹣ x）=0，且当 x＜ 0 时，f（ x）=2x2

﹣ 2，则 f （f（﹣ 1）） +f （2）=（ ）

A．﹣ 8 B．﹣6 C．4 D．6

【分析】根据条件得到函数 f（ x）是奇函数，结合函数奇偶性的性质进行转化求

解即可．

【解答】 解：由 f（ x） +f （﹣ x）=0 得 f（﹣ x） =﹣ f（x），得函数 f （x）是奇函

数，

∵当 x＜0 时， f（x）=2x2﹣2，

∴ f（﹣ 1） =2﹣2=0， f（f（﹣ 1））=f（0）=0，

f（﹣ 2）=2（﹣ 2） 2﹣2=2×4﹣2=8﹣ 2=6=﹣f （2），

则 f（ 2） =﹣ 6，

则 f（ f（﹣ 1））+f（ 2） =0﹣6=﹣6，

故选： B

【点评】本题主要考查函数值的计算， 根据函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键．

4．定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x+2）=f（ x），且在 [ ﹣ 1，0] 上单调递减，

设 a=f（﹣ 2.8），b=f（﹣ 1.6），c=f（ 0.5），则 a，b，c 大小关系是（ ）

A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b

【分析】 由条件可得函数的周期为 2，再根据 a=f（﹣ 2.8）=f（﹣ 0.8），b=f（﹣1.6）=f（ 0.4） =f（﹣ 0.4），c=f（ 0.5） =f（﹣ 0.5），﹣ 0.8＜﹣ 0.5＜﹣ 0.4，且函数f（x）在 [ ﹣1，0] 上单调递减，可得 a，b，c 大小关系

【解答】 解：∵偶函数 f（x）满足 f（x+2）=f（ x），∴函数的周期为 2．

由于 a=f（﹣ 2.8） =f（﹣0.8），

b=f（﹣ 1.6）=f（0.4）=f（﹣ 0.4），

c=f（0.5）=f（﹣ 0.5），

﹣ 0.8＜﹣ 0.5＜﹣ 0.4，且函数 f （x）在 [ ﹣1，0] 上单调递减，

第9页（共 32页）

∴ a＞ c＞b，

故选： D

【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．

5．已知硒数 f（ x）= 则函数 y=f（ x） +3x 的零点个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】 画出函数 y=f（x）与 y=﹣3x 的图象，判断函数的零点个数即可．

【解答】 解：函数 f （x） = ，

函数 y=f（x）+3x 的零点个数，

就是函数 y=f（x）与 y=﹣3x

两个函数的图象的交点个数：

如图：

由函数的图象可知，零点个数为 2 个．

故选： C．

【点评】 本题考查函数的图象的画法，零点个数的求法，考查计算能力．

第 10 页（共 32 页）

A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a

【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

【解答】 解： a=30.4＞ 1， b=0.43∈（ 0， 1），c=log0.43＜0，

则 c＜b＜ a．

故选： D．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性， 考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

【分析】 根据二次函数以及对数函数的性质求出函数的递增区间即可．

2

【解答】 解：由﹣ x ﹣2x+3＞0，

解得：﹣ 3＜ x＜1，

而 y=﹣x2﹣ 2x+3 的对称轴是 x=﹣1，开口向下，

故 y=﹣x2﹣ 2x+3 在（﹣ 3，﹣ 1）递增，在（﹣ 1， 1）递减，由 y=lnx 递增，根据复合函数同增异减的原则，

得 f（ x）在（﹣ 3，﹣ 1）递增，故选： B．

【点评】本题考查了复合函数的单调性问题， 考查二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

第 11 页（共 32 页）

A． B． C．1+π D． 2+π

【分析】由根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成， 由此求

出几何体的体积，

【解答】 解：根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，所以体积 V=1×1×2+ ×π×12×2=2+π，

故选： D

【点评】本题考查三视图求几何体的体积， 由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

9．直线（ m+2）x+3my+7=0 与直线（ m﹣2）x+（ m+2）y﹣5=0 相互垂直，则 m

的值（ ）

A． B．﹣2 C．﹣ 2 或 2 D． 或﹣2

【分析】 利用直线与直线垂直的性质直接求解．

【解答】解：∵直线（ m+2）x+3my+7=0 与直线（ m ﹣2）x+（m+2）y﹣ 5=0 相互

第 12 页（共 32 页）

垂直，

∴（ m+2）（m﹣ 2） +3m（m+2）=0，

解得 m= 或 m=﹣ 2．

∴ m 的值为 或 2．

故选： D．

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线平行的性质的合理运用．

10．直线 l 经过点 P（﹣ 3，4）且与圆 x2+y2=25 相切，则直线 l 的方程是（ ）

A．y﹣4=﹣ （x+3） B．y﹣4= （ x+3） C． y+4=﹣ （x﹣ 3） D．y+4= （x

﹣ 3）

【分析】显然已知点在圆上，设过已知点与圆相切的直线方程的斜率为 k，利用点到直线的距离公式， 由直线与圆相切时， 圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于 k 的方程，求出方程的解得到 k 的值，由 k 的值及已知点的坐标写出切线方程即可．

【解答】 解：显然点（﹣ 3， 4）在圆 x2+y2=25 上，

设切线方程的斜率为 k，则切线方程为 y﹣4=k（ x+3），即 kx﹣ y+3k﹣4=0，

∴圆心（ 0， 0）到直线的距离 d= =5，解得 k= ，

则切线方程为 y﹣4= （x+3）．

故选： B．

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系， 涉及的知识有直线的点斜式方程， 点到直线的距离公式以及直线的一般式方程， 若直线与圆相切， 圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．

11．某校高三年级 10 个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的

平均数是 20，则 + 的最小值为（ ）

第 13 页（共 32 页）

A．1 B． C．2 D．

【分析】根据这组数据的平均数得出 a+b=8，再利用基本不等式求出 + 的最小值．

【解答】 解：根据茎叶图知，这组数据的平均数是

[ 12+13+15+19+17+23+（20+a）+25+28+（ 20+b） ] =20，

∴ a+b=8，

∴ + = （ + ）（a+b）

= （1+9+ + ）≥ （10+2 ） =2，

当且仅当 b=3a=6 时取 “=，”

∴ + 的最小值为 2．

故选： C．

【点评】 本题考查了平均数与基本不等式的应用问题，是基础题．

12．某市举行 “中学生诗词大赛 ”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩

大于 90 分的具有复赛资格，某校有 800 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均

在区间（30，150] 内，其频率分布直方图如图． 则获得复赛资格的人数为 （ ）

A．640 B．520 C．280 D．240

【分析】 由频率分布直方图得到初赛成绩大于 90 分的频率，由此能求出获得复

赛资格的人数．

第 14 页（共 32 页）

【解答】 解：初赛成绩大于 90 分的具有复赛资格，某校有 800 名学生参加了初赛，

所有学生的成绩均在区间（ 30， 150] 内，

由频率分布直方图得到初赛成绩大于 90 分的频率为：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）

× 20=0.65．

∴获得复赛资格的人数为： 0.65× 800=520．

故选： B．

【点评】本题考查频率分布直方图的应用， 考查概数的求法， 考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

13．已知函数 ，以下命题中假命题是（ ）

A．函数 f （x）的图象关于直线 对称

B． 是函数 f（x）的一个零点

C．函数 f（x）的图象可由 g（ x） =sin2x的图象向左平移 个单位得到

D．函数 f （x）在 上是增函数

【分析】 根据正弦函数的图象与性质，对选项中的命题分析、判断真假性即可．

【解答】 解：对于 A，当 x= 时，函数 f （x）=sin（ 2× + ） =1 为最大值，

∴ f（x）的图象关于直线 对称， A 正确；

对于 B，当 x=﹣ 时，函数 f（x）=sin（﹣ 2× + ） =0，

∴ x=﹣ 是函数 f （x）的一个零点， B 正确；

对于 C，函数 f （x） =sin（2x+ ）=sin2（x+ ），

其图象可由 g（x）=sin2x 的图象向左平移 个单位得到，∴ C 错误；

对于 D，x∈[ 0， ] 时， 2x+ ∈ [ ， ] ，

∴函数 f（x）=sin（ 2x+ ）在 上是增函数， D 正确．

故选： C．

第 15 页（共 32 页）

【点评】 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

14．已知 ，且 ，则向量 与向量 的夹角是（ ）

A． B． C． D．

【分析】 由 ，且 ，知 = =1﹣ 1×

=0，由此能求出向量 与向量 的夹角．

【解答】 解：∵ ，

∴ = =0，

∵ ，

∴ ，

= =1× = ，

∴ 1﹣ =0，

∴ cos＜ ＞= ，

∴ ．

故选 A．

【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用， 是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

15．已知函数 f （x）=sin2x+ sinxcosx，则（ ）

A．f （x）的最小正周期为 2π B． f（x）的最大值为 2

C．f （x）在（ ， ）上单调递减 D．f（x）的图象关于直线 对称

【分析】 利用二倍角公式及辅助角公式 f （x）=sin（2x﹣ ）+ ，根据正弦函

数的性质分别判断，即可求得答案．

第 16 页（共 32 页）

由 T= =π，故 A 错误，

f（x）的最大值为 1+ = ，故 B 错误；

令 2kπ+ ＜ 2x﹣ ＜2kπ+ ，解得： kπ+ ＜x＜kπ+ ，k∈Z，

当 k=0 时，则 f （x）在（ ， ）上单调递减，故 C 正确，

令 2x﹣ =kπ+ ，解得： x= + ，故 D 错误，

故选 C．

【点评】本题考查三角恒等变换， 正弦函数的性质，考查转化思想，属于基础题．

16．△ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=a（ cosC﹣sinC），a=2，

c= ，则角 C=（ ）

A． B． C． D．

【分析】由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角

三角函数基本关系式可得 tanA=﹣ 1，进而可求 A，由正弦定理可得 sinC 的值，进而可求 C 的值．

【解答】 解：∵ b=a（ cosC﹣sinC），

∴由正弦定理可得： sinB=sinAcosC﹣sinAsinC，

可得： sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC﹣sinAsinC，

∴ cosAsinC=﹣sinAsinC，由 sinC≠0，可得： sinA+cosA=0，

∴ tanA=﹣1，由 A 为三角形内角，可得 A= ，

∵ a=2，c= ，

∴由正弦定理可得： sinC= = = ，

∴由 c＜a，可得 C= ．

故选： B．

【点评】本题主要考查了正弦定理， 三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用， 考查了转化思想， 属于基础题．

第 17 页（共 32 页）

【解答】 解：∵ { an} 是等差数列，首项 a1＞0，a4+a5＞0，a4?a5＜0，

∴ a4，a5 必定一正一负，结合等差数列的单调性可得 a4＞0，a5＜0，

∴ S9= = =9a5＜ 0， S8= = ＞0，

∴使前 n 项和 Sn＞0 成立的最大自然数 n 的值为 8 故选 D

【点评】本题考查等差数列的前 n 项的最值，理清数列项的正负变化是解决问题

的关键，属基础题．

A． B． C． D．2

【分析】 利用等比数列通项公式先求出公比 q= = = ，再由 =

第 18 页（共 32 页）

= ，能求出结果．

【解答】 解：∵在等比数列 { an } 中，若 a2= ，a3= ，

∴公比 q= = = ，

∴ = ，

∴ = = = ．

故选： A．

【点评】本题考查等比数列中两项和与另外两项和的比值的求法， 考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

20．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题 “若 x2=1，则 x=1”的否命题为： “若 x2=1，则 x≠1”

2

B．“ x=﹣1”是“x﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

C．命题 “? x∈ R，使得 x2+x+1＜ 0”的否定是： “? x∈R，均有 x2+x+1＜0”

D．命题 “若 x=y，则 sinx=siny 的”逆否命题为真命题

【分析】 对于 A：因为否命题是条件和结果都做否定，即 “若 x2≠ 1，则 x≠1”，

故错误．

对于 B：因为 x=﹣ 1? x2﹣5x﹣ 6=0，应为充分条件，故错误．

对于 C：因为命题的否定形式只否定结果，应为 ? x∈R，均有 x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．

应为充分条件，故错误．

2 2

对于 C：命题 “? x∈ R，使得 x +x+1＜0”的否定是： “? x∈R，均有 x +x+1＜ 0”．

2

因为命题的否定应为 ? x∈R，均有 x +x+1≥0．故错误．

第 19 页（共 32 页）

由排除法得到 D 正确．

故答案选择 D．

【点评】此题主要考查命题的否定形式， 以及必要条件、 充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．

21．在△ ABC中， “ C= ”是“ sinA=cosB的”（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】 根据诱导公式和充要条件的定义，可得结论．

【解答】 解： “C= ”? “A+B= ”? “A= ﹣B”? sinA=cosB，

反之 sinA=cosB，A+B= ，或 A= +B，“C= ”不一定成立，

∴ A+B= 是 sinA=cosB成立的充分不必要条件，

故选： A．

【点评】 本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题．

点，则△ MNF2 的周长为（ ）

A．8 B．16 C．25 D．32

【分析】 利用椭圆的定义可知 | F1M|+| F2M| 和 | F1N|+| F2N| 的值，进而把四段距离相加即可求得答案．

【解答】 解：利用椭圆的定义可知， | F1M|+| F2M| =2a=8，| F1N|+| F2N| =2a=8 ∴△ MNF2 的周长为 | F1M|+| F2M|+ F1N|+| F2N| =8+8=16

故选 B

【点评】 本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用椭圆的第一定义．

23．已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞ 0）的一条渐近线经过点（ 3， ），则双

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曲线的离心率为（ ）

A． B．2 C． 或2 D． 或2

【分析】 求出双曲线的渐近线方程，推出 ab 关系，然后求解离心率．

【解答】 解：双曲线 ﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的一条渐近线经过点（ 3， ），

可得 ，即 ，可得 ，解得 e= ．

故选： A．

【点评】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

24．已知抛物线 C：y2=2px（ p＞ 0）的焦点为 F，抛物线上一点 M （ 2，m）满足

| MF| =6，则抛物线 C 的方程为（ ）

A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=16x

【分析】求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义推导出 2+ =6，解得 p，由此

能求出抛物线的方程．

【解答】 解：∵抛物线 C： y2=2px（ p＞ 0），

在此抛物线上一点 M （ 2， m）到焦点的距离是 6，

∴抛物线准线方程是 x=﹣ ，

由抛物线的定义可得 2+ =6，

解得 p=8，

∴抛物线的方程是 y2=16x．

【点评】本题考查抛物线方程的求法， 解题时要认真审题， 注意抛物线的简单性质的合理运用．

25．设函数 f （x）=ex+a?e﹣ x 的导函数是 f ′（x），且 f ′（ x）是奇函数，则 a 的值

为（ ）

A．1 B．﹣ C． D．﹣ 1

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【分析】 求导数，由 f ′（x）是奇函数可得 f ′（0） =0，解方程可得 a 值．

∵ f ′（ x）是奇函数，

∴ f ′（ 0） =1﹣a=0，解得 a=1

故选： A

【点评】 本题考查导数的运算，涉及函数的奇偶性，属基础题．

26．设函数 f （x）=xex+1，则（ ）

A．x=1 为 f（x）的极大值点 B． x=1 为 f （x）的极小值点

C．x=﹣1 为 f （x）的极大值点 D． x=﹣1 为 f（ x）的极小值点

【分析】 由题意，可先求出 f ′（ x）=（x+1） ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出 x=﹣1 为 f（ x）的极小值点．

【解答】 解：由于 f （x） =xex，可得 f ′（x）=（x+1）ex，

令 f ′（x） =（ x+1）ex=0 可得 x=﹣1，

令 f′（x） =（ x+1）ex＞0 可得 x＞﹣ 1，即函数在（﹣ 1，+∞）上是增函数

令 f ′（x） =（ x+1）ex＜0 可得 x＜﹣ 1，即函数在（﹣∞，﹣ 1）上是减函数所以 x=﹣ 1 为 f （x）的极小值点．

故选： D．

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值， 解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题．

27．复数 z 满足 z（ 1﹣ 2i） =3+2i，则 z=（ ）

A． B． C． D．

【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】 解：由 z（ 1﹣ 2i）=3+2i，

得 ，

故选： A．

【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

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28．若有 5 本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（ ）

A．120 B．150 C．240 D．300

【分析】根据题意，分 2 步进行分析：①、 5 本不同的书分成 3 组，②、将分好的三组全排列， 对应三人， 由排列数公式可得其情况数目， 进而由分步计数原理计算可得答案

【解答】 解：根据题意，分 2 步进行分析：

①，将 5 本不同的书分成 3 组，

若分成 1、 1、3 的三组，有 =10 种分组方法；

若分成 1、 2、2 的三组，有 =15 种分组方法；

则有 15+10=25 种分组方法；

②，将分好的三组全排列，对应三人，有 A33=6 种情况，则有 25×6=150 种不同的分法；

故选： B．

【点评】本题考查排列、组合的综合应用，涉及分步计数原理，注意先依据题意分组，进而全排列，对应三人．

29． 展开式中的常数项为（ ）

A．﹣ 20 B．﹣ 15 C．15 D． 20

【分析】 利用通项公式即可得出．

令 6﹣ =0，解得 r=4．∴常数项 =T5= =15．

故选： C．

【点评】本题考查了二项式定理的通项公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于

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基础题．

30．甲、乙两人参加 “社会主义价值观 ”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一

人获得一等奖的概率为（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，这两种情况是互斥的，进而根据相互独立事件的概率公式计算可得其概率．【解答】解：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，

则所求概率是 （1﹣ ）+ （1﹣ ）= ，

故选 D．

【点评】 本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，本题是一个基础题．

31．如表是某单位 1～4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

月份 x 1 2 3 4

用水量 y 4 5 a 7

由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其回归方程是

，则 a 等于（ ）

A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95

【分析】 求出 ， ，代入回归方程，求出 a 的值即可．

【解答】 解：∵ = （1+2+3+4）=2.5， = （ 4+5+a+7） =4+

∴ 4+ =2.5+3.05，解得： a=6.2，

故选： C．

【点评】本题考查了回归方程的应用， 考查方程过样本点的中心， 是一道基础题．

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二．解答题（共 8 小题）

32．已知 ．求：

（ 1）函数的定义域；

（ 2）判断函数 f （x）的奇偶性；

（ 3）求证 f（x）＞ 0．

【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得 2x﹣1≠0，解可得 x 的范围，即可得答案；

（ 2）由（ 1）的结论，进而分析 f（﹣ x） =f（x），结合函数奇偶性的定义即可得答案；

（ 3）根据题意，当 x＞ 0 时，分析易得 ＞ 0，结合函数的奇偶

性分析可得答案．

【解答】 解：（1）根据题意， ，

则有 2x﹣ 1≠ 0，

解可得 x≠0，

则函数的定义域为 { x| x≠ 0} ，

（ 2）设任意 x≠ 0，

∵ =

．

∴ f（x）为偶函数；

（ 3）根据题意， f（x）为偶函数， f （﹣ x）=f（ x），

又由 f （x）为偶函数，

则当 x＜0 时， f（x）＞ 0，

综合可得： f（ x）＞ 0．

【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用， 判定函数的奇偶性时要先分析函数的定义域．

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33．如图，在三棱锥 D﹣ABC中，DA=DB=DC，E 为 AC上的一点， DE⊥平面 ABC，

F 为 AB 的中点．

（Ⅰ）求证：平面 ABD⊥平面 DEF；

（Ⅱ）若 AD⊥ DC， AC=4，∠ BAC=45°，求四面体 F﹣DBC的体积．