人教版最新八年级上册数学导学案全集-导学案八年级上册答案数学

11.1.1三角形的边

一、学习目标

1．认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类．

2．知道三角形三边不等的关系．

3．懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题

二、重点：知道三角形三边不等关系．

难点：判断三条线段能否构成一个三角形的方法．

三、合作学习

（一）精讲 知识点一：三角形概念及分类

1、学生自学教科书内容，并完成下列问题：

（1）三角形概念：由不在同一直线上的三条线段顺次首尾连接所组成的图形叫做三角形。如图，线段____、______、______是三角形的边；

点A、B、C是三角形的______; _____、 ______、_______

是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形

的角。图中三角形记作__________。

（2）三角形按角分类可分为___________、___________、______________。

（3）三角形按边分类可分为 _____________

（二）精练一：

1、如图．下列图形中是三角形的___________？

2、图3中有几个三角形？用符号表示这些三角形．

精讲 知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段

能否构成三角形

1、探究：请同学们画一个△ABC，分别量出AB，BC，AC的长，并比较下列各式的大小：

AB+BC_____AC AB + AC _____ BC AC +BC _____ AB

结论：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边

精练二：

1、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

（1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10

2、有四根木条，长度分别是12cm、10cm、8cm、4cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是_______个。

3、如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（ ）

A、1 B、9 C、3 D、10

4、阅读教科书例题，仿照例题解法完成下面这个问题：

5、一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长。

6、一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ）

A、7 B、9 C、12 D、9或12

7、若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为___________.

8、（选做）若△ABC的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是___________.

9、已知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3，5，x为边能组成______个三角形。

学习反思：

11.1.2三角形的高，中线，角平分线

一、学习目标

1.认识并会画出三角形的高线，利用其解决相关问题；

2.认识并会画出三角形的中线，利用其解决相关问题；

3.认识并会画出三角形的角平分线，利用其解决相关问题；

二、重点：认识三角形的高线、中线与角平分线，并会画出图形

难点：画出三角形的高线、中线与角平分线．

三、合作学习

（一）精讲 知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题

自学教科书：三角形的高并完成下列各题：

1、作出下列三角形三边上的高：

2、上面第1图中，AD是△ABC的边BC上的高，则∠ADC=∠ = °

3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 一 点；（2）锐角三角形的三条高相交于三角形的 内部 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；

三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心

（二）精练一：如图所示，画△ABC的一边上的高，下列画法正确的是（ ）．

（一）精讲 知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题

自学教科书 三角形的中线并完成下列各题：

1、 作出下列三角形三边上的中线

2、AD是△ABC的边BC上的中线，则有BD = = ，

3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线相交于 点；（2）锐角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条中线相交于三角形的 ；

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

（二）精练二：如图，D、E是边AC的三等分点，图中有 个三角

BD是三角形 中 边上的中线，BE是三角形 中________上的中线；

（一）精讲 知识点三：认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题

自学教科书： 三角形的角平分线并完成下列各题：

1、作出下列三角形三角的角平分线：

2、AD是△ABC中∠BAC的角平分线，则∠BAD=∠ =

3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线相交于 点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；

三角形角平分线的交点叫做三角形的内心。

（二）精练三：如图，已知∠1=∠BAC，∠2 =∠3，则∠BAC的平分线为 ，∠ABC的平分线为 .

总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。

拓展部分

1．三角形的角平分线是（ ）．

A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都不对

2．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

学习反思：

11.1.3三角形的稳定性

一、学习目标

1．认识三角形的稳定性，并会用其解决一些实际问题；

2、通过（二）精练进一步巩固三角形的边和相关线段。

二、重点：三角形的稳定性

难点：三角形的稳定性的理解

三、合作学习

（一）精讲 知识点一：三角形的稳定性

自学教科书内容，回答下列问题：

通过观察，你发现生活中哪些物体的结构是三角形？

二、做一做

1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

4、如图4所示，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

6、在实际生活中还有哪些地方利用了“三角形的稳定性”来为我们服务？“四边形易变形”是优点还是缺点？生活中又有哪些应用（推拉式的门……）

三角形具有稳定性，四边形具有可变性。

（二）精练：1. 如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条，这样做的数学道理是 ；

2.⑴ 下列图中哪些具有稳定性？ 。

⑵ 对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性。

3、造房子的屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了______________，而活动接架则应用了四边形的_______________。

（一）精讲 知识点二：通过（二）精练进一步巩固三角形的边和相关线段

1．如图：(1)在△ABC中，BC边上的高是________

(2)在△AEC中，AE边上的高是______(3)在△FEC中，EC边上的高是_________

(4)若AB=CD=2cm,AE=3cm,则 S△AEC＝_______,CE=_______。

2.以下列各组线段长为边,能组成三角形的是 ( )

A.1cm,2cm,4cm; B.8cm,6cm,4cm C.12cm,5cm,6cm; D.2cm,3cm,6cm

3.已知等腰三角形的两边长分别为6cm和3cm,则该等腰三角形的周长是( )

A.9cm B. 12cm C. 12cm或15cm D. 15cm

4.如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取

一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（ ）

A.20米 B.15米 C.10米 D.5米

5、如图，点D是BC边上的中点，如果AB=3厘米，AC=4厘米，

则△ABD和△ACD的周长之差为________，面积之差为__________。

11.1.4与三角形有关的线段

一、学习目标：通过精练进一步巩固三角形的边和相关线段。

二、重点：巩固三角形的边和相关线段；

难点、三角形三边不等关系的运用

学前准备

1、什么叫做三角形？

2、三角形按边可分为什么？按角可分为什么？

3、三角形三边不等关系是什么？

4、三角形的高、中线、角平分线各有什么特征？

5、三角形具有_______性，四边形具有_________性。

达标检测：

1.如图1，图中所有三角形的个数为 ，在△ABE中，AE所对的角是 ，∠ABC所对的边是 ，在△ADE中，AD是∠ 的对边，在△ADC中，AD是∠ 的对边；

2.如图2，已知∠1=∠BAC，∠2 =∠3，则∠BAC的平分线为 ，∠ABC的平分线为 ；

3.如图3，D、E是边AC的三等分点，图中有 个三角形，BD是三角形 中 边上的中线，BE是三角形 中 边上的中线；

图1 图2 图3

4.若等腰三角形的两边长分别为7和8，则其周长为 ；若两边长分别为4和8，则其周长为_____.

5. 如右图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示

那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB、CD），

这样做的数学道理是 ；

6. 一个三角形的三边之比为2∶3∶4，周长为36cm，则此三角形三边的长分别为

7.已知△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=10cm，AC=6cm，则△ABD与△ACD的周长之差为________.

7．如右图，图中共有三角形 （ ）

A、4个 B、5个 C、6个 D、8个

8.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是 （ ）

A、 3cm，5cm ，8cm B、8cm，8cm，18cm

C、0.1cm，0.1cm，0.1cm D、3cm，40cm，8cm

9.如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是 （ ） A、1∶2∶4 B、1∶3∶4 C、3∶4∶7 D、2∶3∶4

10.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为 （ ）A、5 B、6 C、7 D、8

11.如图，分别画出三角形过顶点A的中线、角平分线和高。

12.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。

13. 已知等腰三角形的一边等于8cm，另一边等于6cm，求此三角形的周长；

已知等腰三角形的一边等于5cm，另一边等于2cm，求此三角形的周长。

14.在△ABC中AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长。

11.2.1三角形的内角

一、学习目标：

1.经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理

2.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题

二、重点：三角形内角和定理

难点：三角形内角和定理的推理的过程

三、合作学习

（一）精讲 知识点一：探究三角形的内角和定理

1、自学教科书内容，利用手中的硬纸片运用拼合法探究三角形的内角和。

（1）在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码

（2）叫几名同学到黑板运用不同的方法粘贴演示。

（3）由拼合过程你能想出证明三角形内角和等于180°的方法吗？

2、证明三角形的内角和定理

（1）阅读教科书证明过程。

（2）仿照教科书证明过程选择下面的任意一个图形中辅助线的做法，完成证明。

图一 图二

3归纳：（1）三角形的内角和等于180°。

（2）证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程。

（一）精讲 知识点二：应用三角形内角和定理解决简单的实际问题

（二）精练

1、填空： （1）在△ABC中，∠A = 60°∠B = 30°，则∠C = ；

（2）在△ABC中，∠A =∠B = 4∠C，则∠C = ；

（3）在△ABC中，∠A = 40°，∠B =∠C，则∠B = ；

2、例：如图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是多少度？

拓展部分

1、判断：

（1） 三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形（ ）

（2） 一个三角形中最多只有一个钝角或直角（ ）

（3）一个等腰三角形一定是锐角三角形（ ）

（4） 一个三角形最少有一个角不大于（ ）

提高部分

1.三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为 ；

2.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：2，则∠A=_____，∠B=______，∠C=_______．

学习反思：

11.2.2 三角形的外角

一、学习目标：

1．认识三角形的外角；

2．知道三角形的外角的两个性质；

3．能利用三角形的外角性质解决实际问题。

二、重点：三角形外角的两个性质；

难点：三角形的外角性质的证明

三、学前准备

1. 三角形的内角和是多少？

2．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．

3.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：2，则∠A=_____，∠B=______，∠C=_______．

四、合作学习

（一）精讲 知识点一：三角形外角的定义

1、自学教科书理解三角形的外角的定义。

2、任意画一个三角形，并画出三角形的外角。像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

3、找出右图中的外角 。

4、一个三角形有几个外角？ 。

（一）精讲 知识点二：三角形外角的两个性质

1、探究外角的性质

（1）如图9，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？

（2）你能进一步说明任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角 有什么关系呢？并说明理由？

结论：三角形的外角等于和它不相邻的两个外角的和。

（3）外角与其中一个不相邻的内角之间的关系呢？

结论：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角

（二）精练

1、在△ABC中，∠B=50°，∠C的外角等于100°，则∠A=_____．

2、 如右图所示，则∠a=________．

拓展部分

1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．

2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．

3．如图1，x=______．

图1 图2 图3

4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．

提高部分

1．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数

2．如图所示，AE∥BD，∠1=95°，∠2=28°，

求∠C

学习反思：

11.3.1 多边形

一、学习目标

1．知道多边形、多边形的内角、多边形的外角、多边形的对角线和正多边形的有关概念．

2．能够解决与多边形的对角线有关的问题

二、重点：多边形的相关概念；

难点多边形对角线

三、合作学习

（一）精讲 知识点一：多边形、多边形的内角、多边形的外角、多边形的对角线和正多边形的有关概念

1、自学教科书，完成下列问题：

（1）在平面内，由一些线段________________相接组成的________叫做多边形。图1中分别是什么多边形？

（2）多边形_________组成的角叫做多边形的内角。图2中内角有____________________。

（3）多边形的边与它的的邻边的__________组成的角叫做

多边形的外角。图2中外角有______________________。

（4）连接多边形_________的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

（5）_________都相等，_________都相等的多边形叫做正多边形。

2、对应（二）精练（1）n边形有n条边，n个顶点，n个内角。

（2）下列图形不是凸多边形的是（ ）．

（一）精讲 知识点二：解决与多边形的对角线有关的问题

1、探究：画出下列多边形的对角线．回答问题：

（1）从四边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把四边形分成了 个三角形；四边形共有____条对角线．

（2）从五边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把五边形分成了 个三角形；五边形共有____条对角线．

（3）从六边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把六边形分成了 个三角形；六边形共有____条对角线．

（4）猜想：①从100边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把100边形分成了 个三角形；100边形共有___条对角线．

从n边形的一个顶点出发可以画（n-3）条对角线，把n边形分成了（n-2）个三角形；n边形共有n（n-3）/2条对角线．n边形的内角和为（n-2）×1800

（二）精练：

（1）从n边形的一个顶点出发可作______条对角线，从n边形n个顶点出发可作_____条对角线，除去重复作的对角线，则n边形的对角线的总数为_____条．

（2）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有2条对角线，则m-k=________．

（3）过十边形的一个顶点可作出几条对角线？把十边形分成了几个三角形？

（4）十二边形共有 条对角线，过一个顶点可作 条对角线，可把十二边形分成 个三角形。

5、下列图形中，是正多边形的是（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.长方形 D.正方形

6、九边形的对角线有（ ）

7.过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是_______。

8、一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数 。

图3 图4

9、如图3，是三角形ABC的不同三个外角，则

10、三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角

11、的两个内角的一平分线交于点E，，则

提高部分

1.已知的的外角平分线交于点D，，那么=

2.如图4，是 外角， + ，是 外角，= + ，是 外角，= + ，> , >

3、在中等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于的两倍，那么 ， ，

学习反思：

11.3.2多边形的内角和

一、学习目标

1．知道多边形的内角和与外角和定理；

2．运用多边形内角和与外角和定理进行有关的计算．

二、重点：多边形的内角和与外角和定理；

难点：内角和定理的推导

三、自主学习

学前准备

1.三角形的内角和是多少？ 。

2.正方形、长方形的内角和是多少？

3.从n边形的一个顶点出发可以画___条对角线，把n边形分成了 个三角形；

四、合作学习

（一）精讲 知识点一：多边形的内角和定理

探究1：任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．再画几个四边形，量一量、算一算．你能得出什么结论？ 能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？

结论： 。

探究2：从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，请填空：

（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将五边形分为_____个三角形，五边形的内角和等于180°×______．

（2）从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______．

探究3：一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：

从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-2）

（二）精练一

1．十二边形的内角和是_________．

2．一个多边形的内角和等于900°，求它的边数．

（一）精讲 知识点二：多边形的外角和

探究4：如图8，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

问题：如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？

多边形的外交和等于3600

（二）精练二

1、七边形的外角和是_________；十二边形的外角和是____________；三角形的外角和是_______。

2、一个多边形的每一个外角都等于36°则这个多边形是_______边形。

3、在每个内角都相等的多边形中，若一个外角是它相邻内角的，则这个多边形是______边形。

4、一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的边数是_________；一个多边形的每一个内角都等于140°，则它的边数是___________。

5、如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2：3：4，那么这三个内角的度数分别为________。

6、若一个多边形的内角和为1080°，则它的边数是___________。

7、当一个多边形的边数增加1时，它的内角和增加_________度。

8、正十边形的一个外角为______．

9、_______边形的内角和与外角和相等．

10、已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，则这个多边是__边形．

11、若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。

学习反思：

三角形小结与复习

一、学习目标

1、通过学生对本章所学知识的回顾与思考，进一步掌握（一）精讲 知识点；

2、经历考点例题解析，使学生进一步提高运用所学知识解决问题的能力。

二、重点：本章（一）精讲 知识点的回顾与思考。

难点：运用所学知识解决问题。

三、复习引入流程

活动一：本章知识结构图

1、三角形的边

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

2、三角形的高、中线、角平分线

（1） △的高、△的中线、△的角平分线都是线段

（2） 交点情况

a.三条高所在的直线交于一点：△是锐角三角形时交点位于△的内部；△是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点；△是钝角三角形时，交点位于三角形的外部。

b.△的三条中线交于一点，交点位于△的内部。第条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形。

c.△的三条角平分线交于一点，交点位于△的内部。

3、△的高、中线、角平分线几何符号语言表示

（1）∵AD 是△ABC的边BC上的高，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°

（2）∵AE是△ABC的边BC上的中线，

∴BE = EC = ，△ABE的面积 = △AEC的面积

（3）∵AF是△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2 = ∠

4、三角形的角在△ABC中（1）∠A + ∠B + ∠C = 180°

△内角和定理： 任何三角形的内角和都等于 180 度

（2）∠1 = ∠ A + ∠B.

∠1 ＞ ∠ A，∠1 ＞ ∠ B，

△的外角性质：1、三角形的外角等于和它不相邻的两内角的和；

2、三角形的外角大于和它不相邻的任意一个内角。

5、三角形的分类

a.按边分： △

B.按角分：（1）锐角三角形（三个角都是锐角）；

（2）直角三角形（有一个角为直角）；

（3）钝角三角形（有一个角为钝角）。

活动二：回顾与思考

1、 本章主要内容有哪些？通过本章学习，你对三角形有哪些新的认识？

2、 三角形内角和定理我们在小学就已经知道，而且也通过拼接或度量的方法验证过。由于三角形有无数多个，我们无法一一验证，所以必须通过推理加以证明。从这个定理的证明中你学到了什么？

3、 三角形是我们认识许多其他图形的基础，对这一点你能结合多边形内角和公式的探究过程加以说明吗？

活动三：考点解析

例1：如图，，求的值。

变式：已知的和的平分线BE，CF交于点G。

求证：（1）；

（2）

例2：从八边形的一个顶点出发，可以引出几条对角线？它们将八边形分成几个三角形？这些三角形的内角和与八边形的内角和有什么关系？

课堂训练

（一）填空部分

1、如果三角形的两边长为6和2，且第三边为偶数，则第三边的长是 .

2、（1）等腰三角形两边是1和5，则周长是

（2）等腰三角形两边是3和5，则周长是

3、已知D、E分别为△ABC中边BC、AC中点，若△DAE的面积是3㎝2，则△ABD的面积是 ，△ABC的面积是 。

4、在三角形ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积=

5、AM是△ABC的角平分线，则∠1 = ∠ = ∠ 。

6、长为3、5、7、10的四根木条，选其中的三根组成三角形，有 种选法。

8、把图中∠1 、∠2 、∠3 按由小到大的顺序排列为

（二）解答部分

9、如图，试说明∠1 ＞∠2.

10、如图，试说明（1）∠BDC = ∠A ＋∠B＋∠C（2）∠BDC ＞ ∠A

（3）AB＋CD ＞BD＋DC

11、如图，试说明AB＋AC＞AD＋BC

学习反思：

12．1 全等三角形

一、学习目标

1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。

2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。

3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。

二、重点难点

教学重点：全等三角形的性质。

教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。

三、合作学习

１.观察教科书图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形

2．学生自己动手（同桌两名同学配合）

取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状 、大小完全一样．

3．获取概念(学生合作（二）精练，教师积极参与、指正)

形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．）

即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．

推得出全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

对应顶点：重合的顶点、对应角：重合的角、

对应边：重合的边”

符号：“≌” 作“全等于”

导入新课

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

议一议：各图中的两个三角形全等吗？

得出： ≌△DEF，△ABC≌ ，△ABC≌ ．

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

4、（一）精讲

例1、如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．

例2、如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADC=∠AEB，

∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；

两个对应角所夹的边也是对应边．

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的

角是对应角．

例3、已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．

（二）精练（由学生合作完成、教师点拨）

（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角

5、小结:全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

学习反思：

12.2三角形全等的判定(1)

一、教学目标

1、三角形全等的“边边边”的条件．

2、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

二、重点难点

教学重点：三角形全等的条件．

教学难点：寻求三角形全等的条件．

三、合作学习

1、复习引入：什么是全等三角形？全等三角形有些什么性质？

如图，△ABC≌△A′B′C′那么

相等的边是：

相等的角是：

2、(学生合作（二）精练，教师积极参与)

三组对应边相等的两个三角形全等

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

a．作图方法：

b．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现 ，这说明这些三角形都是

的．

c．归纳：三边对应相等的两个三角形 全等，

简写为“边边边”或“SSS”．

d、用数学语言表述：

在△ABC和中,

∵ ∴△ABC≌

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断三角形全等的过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．

四、（一）精讲

例1、如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：△ABD≌△ACD．

证明的书写步骤：

①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；

②三角形全等书写三步骤：

A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。

例2、尺规作图。

已知：∠AOB. 求作：∠DEF,使∠DEF=∠AOB

（二）精练（由学生合作完成、教师点拨）

1、如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，

求证：△ABC ≌ △ ADE。

2、已知：如图，AD=BC,AC=BD.

求证：∠OCD=∠ODC

学习反思：

11.2三角形全等的判定（2）

一、学习目标

1、掌握三角形全等的“SＡS”条件，能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作归纳获得数学结论的过程．

3、积极投入，激情展示，做最佳自己。

二、重点难点

教学重点：三角形全等的条件．

教学难点：寻求三角形全等的条件．

三、合作学习

1、复习引入

（1）怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定（一）的内容是什么？

（2）上学时我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应相等；两角和一边对应相等；两边和一角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一边的对角两种情况。

2、探究一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？

(1)动手试一试（学生合作（二）精练、教师积极参与）

已知：△ABC

求作：，使，，

(2) 把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？

(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）

(4)用数学语言表述全等三角形判定（二）

在△ABC和中,

∵ ∴△ABC≌

3、探究二：两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？

通过画图或实验可以得出：不全等

四、（一）精讲

例1 如图，AC=BD，∠1= ∠2,求证:BC=AD.

例2、 如图，AC=BD,BC=AD,求证:∠C=∠D

（二）精练(学生合作（二）精练，教师积极参与、指正)

（二）精练1、 如图，AC=BD,BC=AD,求证:∠A=∠B

（二）精练2、如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到

△AOC≌△BOD(允许添加一个条件)

五、小结

SSS、SAS

六、作业：

如图，已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点，

求证：DM=DN

学习反思：

12.2三角形全等的判定（3）

一、学习目标

1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。

二、重点难点

教学重点：已知两角一边的三角形全等探究．

教学难点：灵活运用三角形全等条件证明．

三、合作学习

1、复习引入(学生合作（二）精练，教师积极参与)

（1）．到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

（2）．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？

2、探究一：两角和它们的夹边对应相等的两

个三角形是否全等？

(1)动手试一试。（学生合作、教师引导）

已知：△ABC

求作：△，使=∠B, =∠C， =BC，（不写作法，保留作图痕迹）

(2) 把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？

(3)归纳：由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（三）：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等 （可以简写成“边角边”或“ASA”）

(4)用数学语言表述全等三角形判定（三）

在△ABC和中,

∵ ∴△ABC≌

3、探究二。两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等

（1）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用前面学过的判定方法来

证明你的结论吗？

（2）归纳；由上面的证明可以得出全等三角形判定（四）：

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可以简写成“角角边”或“AAB”

(3)用数学语言表述全等三角形判定（四）

在△ABC和中,

∵ ∴△ABC≌

四、（一）精讲

例1、如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：AD=AE．

例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，∠BAO=∠CAO ,

BE⊥AC,CD⊥AB,相交于点O，AB=AC，

求证：BD=CE

（二）精练: 如图，在△ABC中，∠C=2∠B、,AD是△ABC的角

平分线，∠1=∠B,求证AB=AC+CD

学习反思：

12.2三角形全等的判定（4）

一、学习目标

1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；

2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；

3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点

教学重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

3、合作学习

1、复习引入(学生合作（二）精练，教师积极参与)

(1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、

(2)、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，斜边是

(3)、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，

①若∠A=∠D，AB=DE，

则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）

根据

②若∠A=∠D，BC=EF，

则△ABC与△DEF 根据

③若AB=DE，BC=EF，

则△ABC与△DEF 根据

④若AB=DE，BC=EF，AC=DF

则△ABC与△DEF 根据

2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

(1)动手试一试。

已知：Rt△ABC

求作：Rt△，

使=90°， =AB, =BC

作法：

(2) 把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？

(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边直角边”或“HL”）

(4)用数学语言表述上面的判定方法

在Rt△ABC和Rt中,

∵

∴Rt△ABC≌Rt△

（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、

“ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”

四、（一）精讲

例1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在

图中，你能说明BC与BD相等吗？

例2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和

∠DFE的大小有什么关系？

（二）精练(由学生合作（二）精练，教师积极参与)

1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，

则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等” ）

根据 （用简写法）

2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）

A、两条直角边对应相等 B、斜边和一锐角对应相等

C、斜边和一条直角边对应相等 D、两个锐角对应相等

3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，

AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由

答：AB平行于CD

理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）

∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）

∵BE=CF，∴BF=CE

在Rt△ 和Rt△ 中

∴ ≌ （ ）

∴ = （ ）

∴ （内错角相等，两直线平行）

4、能力提升：（学有余力的同学完成）

如图1，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点。

（1）求证：MB=MD,ME=MF;

(2)当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，给予证明。

5、如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，

（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据

（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据

（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据

（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据

（5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据

五、小结

这学时你有什么收获呢？与你的同伴进行交流

判定两个直角三角形全等的方法：一般方法SSS 、SAS、ASA、AAS、特殊方法HL

学习反思：

全等三角形好题归纳举例（由学生独立完成或合作完成）

一、 知识提要

1、判断全等三角形的方法有：①__________；②___________；③___________；

④__________；⑤___________。就是没有SSA.

2、全等三角形有哪些性质：①___________________；②________________.

二、讲练结合

如图，AC=BD，AB=DC，求证：∠B=∠C.

变式（二）精练：如图AB=AC，BD=CD，求证：∠B=∠C.

如图，AB=AD，CD=CB，∠A+∠C=180°，

试探索CB与AB的位置关系.

变式（二）精练：如图，AC=AB，BD=CD，

AD与BC相交于O，求证：AD⊥BC.

变式（二）精练：在△ABC中，分别以AB、AC为边

在△ABC的外面作正△ABE和正△ACF，

求证：BF=CE.

如图，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD、CE交于点O，

且OD=OE，

求证：AB=AC.

变式（二）精练：如图，AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，

求证：AF⊥CD.

已知AB是等腰直角三角形ABC的斜边，

AD是∠BAC的角平分线，求证：AC+CD=AB.

变式（二）精练：已知E是AD上的一点，AB=AC，AE=BD，CE=BD+DE，

求证：∠B=∠CAD.

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，

如图，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

求证：DE=AD-BE.

变式（二）精练：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

直线MN经过点C，如图，且AD⊥MN于D，

BE⊥MN于E，

求证：DE=AD+BE.

如图，AD是△ABC的高，∠B=2∠C，

求证：CD=AB+BD.

在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点D，在AC的延长

线上取一点E，使BD=CE，连结DE交BC于F，求证：DF=EF.

变式（二）精练：在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点D，在AC的

延长线上取一点E，连结DE交BC于F，若DF=EF，求证：BD=CE.

如图，OA=OB，C、D分别是OA，OB上的两点，且OC=OD，

连结AD、BC交于E，求证：OE平分∠AOB.

变式（二）精练：如图，AB=AC，D是∠BAC的角平分线上的一点，

连结CD并延长交AB于E，连结BD并延长交AC于F，

求证：AE=AF.

12.3角的平分线的性质（1）

一、学习目标

1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．

2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点

教学重点：掌握角的平分线的性质定理

教学难点: 角平分线定理的应用。

三、合作学习、

1、复习引入(由学生独立完成)

什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？

2．OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论

3、命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

题设：一个点在一个角的平分线上

结论：这个点到这个角的两边的距离相等

结合第2题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性

解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？

4、用数学语言来表述角的平分线的性质定理：

如右上图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的一点，

PAOB、PDOA

∴ PD=PE

4、（一）精讲

1、如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,

问PE=PD?为什么?

2、如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，

DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；

求证：CF=EB

（二）精练(由学生合作学习，教师积极参与、指正)

1、在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则

⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？

⑵哪条线段与DE相等？为什么？

⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，

求BE，AE的长和△AED的周长。

2、如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，

求BE的长

学习反思：

12.3角的平分线的性质（2）

一、学习目标

1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点

教学重点：角平分线的性质及其应用

教学难点: 灵活应用两个性质解决问题。

三、合作学习

1、复习引入思考（学生合作、教师引导）

（1）、画出三角形三个内角的平分线

你发现了什么特点吗？

（2）、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）（学生合作、教师引导）

四、（一）精讲

例1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，

CD相交于点O，OB＝OC，

求证∠1＝∠2

（二）精练

1、课本（二）精练

2、能力提高(*)

如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC,

求证：∠A+∠C=180°

五、小结

1、这学时你有什么收获呢？与你的同伴进行交流

2、角平分线上的点到角两边的距离相等

3、到角两边距离相等的点在角的平分线上

学习反思：

13.1轴对称（1）

一、学习目标：

1．理解轴对称图形及轴对称的定义，认识轴对称与全等的关系，了解轴对称图形与轴对称的联系与区别 。

2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，发展学生的观察、归纳、想象能力。

3．激情投入，快乐学习，感受对称美。

二、重点难点

重点：对轴对称图形与轴对称概念的理解

难点：轴对称图形与轴对称的联系与区别

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1、在一张半透明的纸上画△ABC，使AB＝AC,作BC上的高AD，沿直线AD折叠，直线两旁的部分重合吗？

轴对称图形的定义：沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。

2、在一张半透明的纸上建立一个平面直角坐标系，并描出点A（-1，3）、B（-2，-4）、C（-3，-1）、

A1（1，3）、B1(2，-4)、C1(3，-1)，画出△ABC和△A1B1C1，沿y轴折叠，这两个三角形重合吗？

轴对称的定义：一个图形沿着某条直线折叠能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

3、第2中的△ABC和△A1B1C1全等吗？把其中的△A1B1C1向下平移一个单位，得到△A2B2C2，△ABC和△A2B2C2全等吗？折一折，△ABC和△A2B2C2成轴对称吗？

轴对称与全等的关系：两个图形成轴对称，则它们一定 全等 ；两个图形全等，

不一定 成轴对称。

4、你能说说轴对称图形与轴对称的区别和联系吗？

区别：轴对称图形是一个图形关于某条直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线对称。

联系：都是关于某条直线对称

四（一）精讲： 例1下列图案中，不是轴对称图形的是( )

例2、下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（ ）

A. B. C. D.

例3、仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形

_________

例4、在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 。

例5、下列图形中对称轴最多的是 ( )

A、圆 B、正方形 C、等腰三角形 D、线段

（二）精练：

1、如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，

则所得图形大致是（ ）

2、写出10个“轴对称”的汉字，如“十、中”。

5、小结：轴对称图形及轴对称的定义

学习反思：

13.1轴对称（2）

一、学习目标：

1、 了解线段的垂直平分线的定义，了解轴对称的性质及轴对称图形的性质，掌握垂直平分线的性质，了解线段垂直平分线的画法。

2、 发展学生观察、归纳及推理能力。

3、 极度热情，全力以赴，享受成功。

二、重点难点

垂直平分线的性质

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1、如图1，△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，点A的对应点是 ，y轴经过线段AA1的中点吗？y轴垂直线段AA1吗？

线段的垂直平分线的定义：经过线段的中点并且垂直于这条线断的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2、在图1中，y轴是线段CC1和BB1的垂直平分线吗？

轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3、1）在一张半透明的纸上画线段AB，用量角器和刻度尺画线段AB的垂直平分线CD，在CD上任取一点P，连结PA、PB,量一量PA、PB的长，你有什么发现？沿直线CD对折，线段PA、PB重合吗？

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段 两端 的距离相等。

你能证明这个性质吗？

2）、在一张纸上线段AB及点P1、P2，使P1A=P1B ,P2A=P2B,再画线段AB的垂直平分线CD，你又有什么发现？

垂直平分线的性质：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

你能证明这个性质吗？

有一条线段AB，怎样用直尺和圆规作出它的垂直平分线？说说其道理？

四、（一）精讲

作出下列图形的对称轴。

例2、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm ，求线段MN的长。

例3、 △ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,

交AB于点D，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，

求△ABC的周长。

（二）精练：

某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.

（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；

（2）阐述你设计的理由.

五、小结：

垂直平分线的定义，轴对称的性质及轴对称图形的性质

学习反思：

13.2．1作轴对称图形

一、学习目标：

1、 能作轴对称图形，能应用轴对称进行简单的图案设计，能用轴对称的知识解决相应的数学问题。

2、 通过独立思考、交流讨论、展示质疑，发展学生的观察、归纳、想象及推理能力。

3、 极度热情、享受成功、感受数学就在身边。

二、重点难点

重点：作轴对称图形

难点：用轴对称知识解决相应的数学问题。

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1、 复习引入回顾：线段公理；垂直平分线的性质。

2、 自己动手在一张半透明的纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么?改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么?

归纳：

(1) 由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的　　形状　、__大小_完全相同；　　

(2)新图形上的任意一点，都是原图形上某一点关于直线l的对称点_；

(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

3、把图1补成关于直线l对称的图形

四、（一）精讲

例1、如图2，如何在直线l上找一点P，

使线段PA与PB的和最小？

（二）精练：1、把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形。

2、把图中实线部分补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的图案。

3、要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。

5、小结：

归纳：

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

学习反思：

13.2.2用坐标表示轴对称

一、学习目标：

1、 掌握一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律，并能利用这种坐标的变化规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形。

2、 培养学生探索问题的能力, 发展学生数形结合的思维意识。

3、 激情参与，阳光展示。

二、重点难点

重点：1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．

2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．

难点：用坐标表示轴对称．

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1．如图一

（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？

（2）已知右边圆脸右眼B的坐标为（4，3），左眼A的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点C的坐标为（4，1），左端点D的坐标为（2，1）．

请根据图形写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标

A1____________; B1______________; C1_____________; D1_____________

（3）A与A1、B与B1、C与C1、D与D1分别关于_________对称。

四、（一）精讲

例1、将一个点的纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到的点与原来的点的位置关系是 ；

将一个点的横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到的点与原来的点的位置关系是 。

例2、已知点A（m+2，3）、B（-5，n+6）关于y轴对称，则m= ，n=

例3、若点P（a，3）和P1（2，b）关于x轴对称，则方程ax+b=0的解为 。

例4、已知点A(2m+1，m-3)关于y轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是 。

例5、若∣3a-2∣+(b+3)2=0,点A（a，b）关于x轴对称的点为B，点B关于y轴对称的点为C，则点C的坐标是 。

例6、（1）请画出关于轴对称的

（其中分别是的对应点，不写画法）；

（2）直接写出三点的坐标．

（3）△ABC的面积为

（二）精练：

1、如图，每个小正方形的边长都是1，分别作出

△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y= –1

(记为n)对称的图形。它们的对应点的坐标之间

分别有什么关系？

2、若点P(a，b)、Q(c，d)两点关于直线x=2对称，则a、c间的关系是 ，b、d间的关系是 ；

若点P(a，b)、Q(c，d)两点关于直线y= –2对称，则a、c间的关系是 ， b、d间的关系是 。

五、小结：1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）

2、对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形。

学习反思：

13.3.1等腰三角形（1）

一、学习目标：

1、 巩固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用等腰三角形的性质解决一些实际问题。

2、 通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。

3、 激情投入，收获成功。

二、重点难点

学习重点：等腰三角形性质的探索及应用

学习难点：等腰三角形性质的应用

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1、复习引入：.三角形全等的判定方法.有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角

2、用剪刀按照教科书介绍的方法，剪出一个等腰三角形，想一想，它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

3、将2中的等腰三角形沿对称轴对折，找出重合的线段和角，由此你发现了等腰三角形的哪些性质？

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

你能证明这两个性质吗？

4、填空：如图1，在△ABC中

∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ∴BD = ， ⊥ 。

∵AB=AC，BD=CD ∴∠BAD= ， ⊥ .

∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAD= ， BD= .

四、（一）精讲：

例1、如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.

求△ABC各角的度数。

.

例2、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为 。

例3、如图3，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，

且AD=AE.

求证：BD=CE

（二）精练：1、如图4，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足为点M

求证：CM=DM

2、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o，则底角为 。

3、如图5，在△ABC中，AB=AC，∠A=30o，BF=CE，BD=CF，

求∠DFE的度数。

五、小结：腰三角形的哪些性质？

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

13.3.1等腰三角形（2）

一、学习目标：

1、 掌握等腰三角形的判定方法，并能灵活运用解决实际问题；

2、 通过独立思考，交流讨论，发展推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力；

3、 极度热情，高度责任，享受学习的快乐；

二、重点难点

学习重点：等腰三角形的判定方法

学习难点：等腰三角形的判定和性质的区别，等腰三角形的判定的应用。

使用说明：先由学生自学教科书，经历自主探索总结的过程，然后独立认真完成学案，用红笔标记出疑点与盲点，以备上学时展示和质疑。

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1、复习引入回顾：等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定

2、用直尺和量角器画△ABC，使∠B=∠C，再用刻度尺量一量线段AB、AC的长，你有什么发现？

猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等。

3、你能验证2中的猜想吗？

已知：如图 在△ABC中，∠B=∠C

求证：AB=AC

等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等（简写成：等角对等边”）。

等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？

区别：

联系：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

四、（一）精讲

例1.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，

求证：OA=OB

例2.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

（二）精练：

1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36O，D、E是BC上的两点，

且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中的等腰三角形共有（ ）个。

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

2.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F

求证：EF=EB+FC.

5、小结：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等（简写成：等角对等边）

补充如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE。

求证：△ABC是等腰三角形(提示：过点D作AE的平行线)。

学习反思：

13.3.2等边三角形

1、学习目标：

1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法

2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题

二、重点难点

学习重点：等边三角形判定定理的发现与证明

学习难点：等边三角形性质和判定的应用

学习方法：探索、归纳、交流、（二）精练

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1、等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的 相等

（2）等腰三角形 、 、 互相重合

2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是 三角形，即

叫等边三角形。

3、思考：

（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？

（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

（3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？

归纳：

（1）等边三角形的性质：等边三角形的每条边都相等，每个角都等于60度。

（2）等边三角形的判定：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形：三边都相等的三角形是等边三角形：有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

四、（一）精讲

例1、如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，

AC于D，E。求证△ADE是等边三角形。

例2、探究：等边三角形三条中线相交于一点。画出

图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。

（二）精练：

教材（二）精练第1、2题（完成于书上）

五、小结：等边三角形的性质、判定

六、作业

1、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，

求证BE＝DC

2、如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求∠DBC的度数。

学习反思：

13.3.2含30o角的直角三角形的性质

一、学习目标：

1. 掌握含30o角的直角三角形的性质，并能灵活运用这一性质解决实际问题。

2. 培养学生的推理能力和数学语言表达能力．

3. 感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲。

二、重点难点：

重点：含30°角的直角三角形的性质定理的证明与运用．

难点：含30°角的直角三角形的性质定理的证明。

三、合作学习

1. 复习引入回顾：等边三角形的性质与判定

2. 问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．

3. 由2你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能用不同于教科书上的方法证明你的结论吗？

4. 由3，我们得到下面的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

5. 填空：如右图，在△ABC中，

∵∠C=90o，∠A=30o

∴BC= （ ）

四、（一）精讲

例1、如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？

例2、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，则腰上的高为 。

（二）精练：1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，

∠A=30°．

求证：BD=AB．

2、如图，　△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F

求证:BP=2PF

五、小结

直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半

六、作业

1、如图：等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P

(1). 运动几秒后，△ADE为直角三角形？

（2）.求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的

中点。 (提示：过点D作AF的平行线)

学习反思：

14.1.1同底数幂的乘法

一、学习目标：1．理解同底数幂的乘法法则．

2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．

二、重点难点

重　点： 正确理解同底数幂的乘法法则

难　点： 正确理解和应用同底数幂的乘法法则

三合作学习．提出问题，创设情境

复习引入的意义：

表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．

提出问题：

问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

导入新课m

1．做一做

计算下列各式：

（1）25×22 （2）a3·a2 （3）5m 5n =(m, n都是正整数）

2．议一议

aman= （m、n都是正整数）？为什么？

“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．

（一）精讲

例1、计算

（1）x2·x5 （2）a·a6

（3）2×24×23 （4）xm·x3m+1

例2、已知aM=3,an =21,求am + n

ax+2.a5-2x =a6 则x=

（二）精练

1． abac =

2． ax+2.a5-2x=a6 则x=

3． (m-n)2(n-m)3 =

五、小结：同底数幂的乘法法则

六、作业

1、已知am=2,an=3,则

a3+n = am+n+2=

2、已知am+1.an+2=a7且m-2n=1求mn

学习反思：

14．1．2幂的乘方

一、学习目标：1．会进行幂的乘方的运算。．

2．了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．

二、重点难点

重　点： 会进行幂的乘方的运算

难　点： 幂的乘方法则的总结及运用

3、合作学习

提出问题，创设情境

计算（1）（x+y）2·（x+y）3

（2）x2·x2·x+x4·x

（3）（0.75a）3·（a）4

（4）x3·xn-1－xn-2·x4

导入新课

1．做一做

表示_________个___________相乘.

表示_________个___________相乘.

在这个（二）精练中，要引导学生观察，推测(62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。

=________×_________×_______×________

=__________(根据an·am=anm)

=__________

=_______×_________×_______

=__________(根据an·am=anm)

=__________

2．议一议

（am）n=________×________×…×_______×_______

=__________(根据an·am=anm)

=__________

即 （am）n= ______________(其中m、n都是正整数)

通过上面的探索活动,发现了什么?

幂的乘方,底数不变，指数相乘.

四、（一）精讲

例1、计算下列各题：

（1）（103）3 （2）[（）3]4 （3）[（－6）3]4

（4）（x2）5 （5）－（a2）7 （6）－（as）3

（7）（x3）4·x2 （8） 2（x2）n－（xn）2

（9）[（x2）3]7

（二）精练

1、644x83=2x则x=

2、比较大小：324,251,425

3、计算：（75）4 （b2m+1）5 （x2）5.（x3）2

4、已知2x+5y-4=0，求4x×32y

反思归纳：

幂的乘方,底数不变，指数相乘.

14．1．3 积的乘方

一、学习目标：1．会进行积的乘方的运算。．

2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．

二、重点难点

重　点： 积的乘方运算法则及其应用．

难　点： 幂的运算法则的灵活运用

三、合作学习

提出问题，创设情境

若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？

导入新课

四、（一）精讲（二）精练

（一）精讲：

例1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？

（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( )

（2）（ab）3=______=_______=a( )b( )

（3）（ab）n=______=______=a( )b( )（n是正整数）

积的乘方等于各因式乘方的积 （ab）n = a( n )b( n )（n是正整数） anbn=（ab)n

（二）精练

（1）（2a）3 = （2）（-5b）3=

（3）（xy2）2 = （4）（-2x3）4=

（5）（-2x2y）3 = （6）（1/3）100×(-3)100 =

(7)(-0.125)2008×82009+(-0.25)3 ×26

五、小结：积的乘方运算法则

六、作业

1、an -5(an +1b3m-2)2+(an -1bm -2)3(-b3m+2) 2、(-9)3(-2/3)3(1/3)3

3、-0.2514×230 4、[-2(-xn-1)]3

学习反思：

14．1．4. 1 整式的乘法（1）

一、学习目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．

二、重点难点

重　点： 单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则

难　点： 多项式与多项式相乘

三、合作学习

（一）知识回顾：回忆幂的运算性质：

am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn (m，n都是正整数)

（二）创设情境，引入新课

1．问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?

四、（一）精讲

分析解决：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107

问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，如何计算？

ac5·bc2

=(a·c5)·(b·c2)

=(a·b)·(c5·c2)

=abc5+2

=abc7

自己动手，得到新知

1．类似地，请你试着计算：

(1)2c5·5c2；

(2)(-5a2b3)·(-4b2c)

2．得出结论：单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

例：巩固结论，加强（二）精练

例：计算： （-5a2b）·（-3a） （2x）3·（-5xy2）

（二）精练： (-10xy3)(2xy4z) (-2xy2)(-3x2y3)( xy)

3(x-y)2·[(y-x)3][ (x-y)4] 2x2y(-2xy2)3

(-7x2y)(-5x3y2) (1.4×103)×(-2×102)2

若m、n满足（am+1b你+2）（a2n -1b2m）=a5b6，求代数式（m+n）（m2 -mn+n2）的值

学习反思：

14.1.4.2整式的乘法（2）

一、学习目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．

二、重点难点

重　点： 单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则

难　点： 多项式与多项式相乘

合作学习：

知识回顾：

单项式乘以单项式的运算法则

创设情境，提出问题

1．问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)，分别是a,b,c。你能用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

2. 得到结果：一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，

即总收入为：________________

另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和

即总收入为：________________

所以：m(a+b+c)= ma+mb+mc

3．提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？

总结结论

单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相相加_。

即：m(a+b+c)= am+bm+cm

三、（一）精讲

例： 2a2·(3a2-5b) (-4x2) ·(3x+1);

（二）精练：

1．若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，则m-n的值为______

2．计算：(a3b)2(a2b)3 3. 计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)

4. 计算：

5．计算：

6．已知求的值

7．解不等式：

8．若与的和中不含项，求的值，并说明不论取何值，它的值总是正数

学习反思：

14.1.4.3整式的乘法（3）

一、学习目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．

二、重点难点

重　点： 单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则

难　点： 多项式与多项式相乘

回顾旧知识

单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则

创设情境，感知新知

1．问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？

2. 提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?

3．学生分析得出结果

学生动手，推导结论

1. 引导观察：等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘 ，把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．

2．学生动手得到结论：

多项式与多项式相乘：先用一个多项式的_________乘另一个多项式的_________，再把所得的积_________．

三、（一）精讲

例：

例：先化简，再求值：(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中a=-8,b=-6

（二）精练：

化简求值：，其中x=

一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少?

深入研究

1. 计算：①(x+2)(x+3)； ②(x-1)(x+2)；

③(x+2)(x-2)； ④(x-5)(x-6)；

⑤(x+5)(x+5)； ⑥(x-5)(x-5)； ⑦、计算：(x+2y-1)2

3、已知x2-2x=2，将下式化简，再求值． (x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

学习反思：

14．1．4 .4 同底数幂的除法

一、学习目标：1．同底数幂的除法的运算法则及其应用．

2．同底数幂的除法的运算算理．

二、重点难点：

重　点： 准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．

难　点： 根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．

三、合作学习

Ⅰ．提出问题，创设情境

1．叙述同底数幂的乘法运算法则．

2．问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

Ⅱ．导入新课

请同学们做如下运算：

1．（1）28×28 （2）52×53 （3）102×105 （4）a3·a3

2．填空：

（1）（ ）·28=216 （2）（ ）·53=55 （3）（ ）·105=107 （4）（ ）·a3=a6

3.思考：

（1）216÷28=（ ） （2）55÷53=（ ）

（3）107÷105=（ ） （4）a6÷a3=（ ）

要求同学们理解解记忆同底数幂的除法的运算法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减。 即：am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）

四、（一）精讲

例题：

1．计算：

（1）x8÷x2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2

2．先分别利用除法的意义填空，再利用am÷an=am-n的方法计算，你能得出什么结论？

（1）32÷32=（ ）

（2）103÷103=（ ）

（3）am÷an=（ ）（a≠0）

1．解：（1）x8÷x2=x8-2=x6．

（2）a4÷a=a4-1=a3．

（3）（ab）5÷（ab）2=（ab）5-2=（ab）3=a3b3．

规定： a0=1（a≠0）

即：任何不为0的数的0次幂都等于1．

（二）精练：

教科书 （二）精练1、2、3

学习反思：

14．1．4 .5 整式的除法

单项式除以单项式

一、学习目标：1．单项式除以单项式的运算法则及其应用．

2．单项式除以单项式的运算算理．

二、重点难点：

重　点： 单项式除以单项式的运算法则及其应用

难　点： 探索单项式与单项式相除的运算法则的过程

三、合作学习：

提出问题，创设情境

问题：木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.98×1021吨．你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？

讨论：（1）计算（1.90×1024÷（5.98×1021）．说说你计算的根据是什么？

（2）你能利用（1）中的方法计算下列各式吗？

8a3÷2a 5x3y÷3xy 12a3b2x3÷3ab2．

（3）你能根据（2）说说单项式除以单项式的运算法则吗？

Ⅱ．导入新课

可以从两方面考虑：

1．从乘法与除法互为逆运算的角度．

5.98×1021·（0.318×103）=1.90×1024．

所以（1.90×1024）÷（5.98×1021）=________________

2．还可以从除法的意义去考虑．

12a3b2x3÷3ab2=·x3=4a2x3．

共同特征：

（1）都是单项式除以单项式．

（2）运算结果都是把系数、相同字母分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数_一起作为商的一个因式．

（3）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的．

四、（一）精讲

例：计算

（1）28x4y2÷7x3y （2）-5a5b3c÷15a4b

（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3 （4）5（2a+b）4÷（2a+b）2

（二）精练： 教科书 （二）精练 1 、2

2、与a2 b2 相乘的积为3a2n+2b2n+2的单项式是：

3、（-2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3

五、小结：单项式除以单项式的运算法则

运算结果都是把系数、相同字母分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数_一起作为商的一个因式．

学习反思：

14.1.4.6多项式除以单项式

一、学习目标：1．多项式除以单项式的运算法则及其应用．

2．多项式除以单项式的运算算理．

二、重点难点：

重　点： 多项式除以单项式的运算法则及其应用

难　点： 探索多项式与单项式相除的运算法则的过程

三、合作学习：

(一) 回顾单项式除以单项式法则

(二) 学生动手，探究新课

1. 计算下列各式：

(1)(am+bm)÷m (2)(a2+ab)÷a (3)(4x2y+2xy2)÷2xy．

2. 提问：①说说你是怎样计算的 ②还有什么发现吗?

(三) 总结法则

1． 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以___________，再把所得的商______

2． 本质：把多项式除以单项式转化成______________

4、（一）精讲

例：(1)(12a3-6a2+3a)÷3a； (2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)；

(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x （4）(-6a3b3+ 8a2b4+10a2b3+2ab2)÷（-2ab2）

（二）精练：教科书 （二）精练

五、小结

1、单项式的除法法则

2、应用单项式除法法则应注意：

A、系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号

B、把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；

C、被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；

D、要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行．

E、多项式除以单项式法则

14．2．1 平方差公式

一、学习目标：1．经历探索平方差公式的过程．

2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．

二、重点难点

重　点： 平方差公式的推导和应用

难　点： 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

三、合作学习

你能用简便方法计算下列各题吗？

（1）2001×1999 （2）998×1002

导入新课： 计算下列多项式的积．

（1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2）

（3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y）

结论：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

即：（a+b）（a-b）=a2-b2

四、（一）精讲

例1：运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y）

例2：计算：

（1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

（二）精练：

计算：

（1）（a+b）（-b+a） （2）（-a-b）（a-b） （3）（3a+2b）（3a-2b）

（4）（a5-b2）（a5+b2） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c） （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）

五、小结：（a+b）（a-b）=a2-b2

学习反思：

14．2．2． 完全平方公式（一）

一、学习目标：1．完全平方公式的推导及其应用．

2．完全平方公式的几何解释．

二、重点难点：

重　点： 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用

难　点： 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算

三、合作学习

Ⅰ．提出问题，创设情境

一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…

（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？

Ⅱ．导入新课

计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（2）（m+2）2=_______；

（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（4）（m-2）2=________；

（5）（a+b）2=________；（6）（a-b）2=________．

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）这两个数的积的二倍的2倍．

（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2

四、（一）精讲

例1、应用完全平方公式计算：

（1）（4m+n）2 （2）（y-）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2

例2、用完全平方公式计算：

（1）1022 （2）992

（二）精练：随堂（二）精练

学习反思：

14．2．2 完全平方公式（二）

一、学习目标：1．添括号法则．

2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式

二、重点难点

重　点： 理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用

难　点： 在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的．

三、合作学习

Ⅰ．提出问题，创设情境

请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．

（1）4+（5+2） （2）4-（5+2） （3）a+（b+c） （4）a-（b-c）

去括号法则：

去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不变号；

如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都要变号。

1．在等号右边的括号内填上适当的项：

（1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ）

（3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ）

2．判断下列运算是否正确．

（1）2a-b-=2a-（b-） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）

（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）

添括号法则：添上一个正括号，扩到括号里的不变号，添上一个负括号，扩到括号里的要变号。

4、（一）精讲（二）精练

例：运用乘法公式计算

（1）（x+2y-3）（x-2y+3） （2）（a+b+c）2

（3）（x+3）2-x2 （4）（x+5）2-（x-2）（x-3）

随堂（二）精练：教科书（二）精练

（1）（x-2y+3）（x+2y+3） （2）（a-b-c）2

（3）（x-3）2-x2 （4）（x+5）2-（x-3）（x-2）

学习反思

14.3.1用提公因式法分解因式

一、学习目标：让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式

二、重点难点

重　点： 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来

难　点： 让学生识别多项式的公因式.

三、合作学习：

公因式与提公因式法分解因式的概念.

三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m(a+b+c)

既ma+mb+mc = m（a+b+c）

由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

四、（一）精讲

例1、将下列各式分解因式：

（1）3x+6; （2）7x2－21x; （3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x.

例2把下列各式分解因式:

（1）a（x－y）+b（y－x）;（2）6（m－n）3－12（n－m）2.

（3） a（x－3）+2b（x－3）

通过刚才的（二）精练，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.

首先找各项系数的____________________，如8和12的最大公约数是4.

其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最___________的.

1.写出下列多项式各项的公因式.

（1）ma+mb  2）4kx－8ky  （3）5y3+20y2  （4）a2b－2ab2+ab 

2.把下列各式分解因式

（1）8x－72 （2）a2b－5ab

（3）4m3－6m2 （4）a2b－5ab+9b

（5）（p-q）2+（q-p）3 （6）3m（x-y）-2（y-x）2

五、小结：

总结出找公因式的一般步骤.：

首先找各项系数的大公约数，

其次找各项中含有的相同的字母，相同字母的指数取次数最小的.

注意：（a-b）2=（b-a）2

6、作业 1、教科书习题

2、已知2x-y=1/3 ，xy=2，求2x4y3-x3y4 3、（-2）2012+（-2）2013

4、已知a-2b=2，,4-5b=6，求3a（a-2b）2-5（2b-a）3

学习反思：

14.3.2 用“平方差公式”分解因式

一、学习目标：1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；

2.使学生掌握用平方差公式分解因式

二、重点难点

重　点： 掌握运用平方差公式分解因式.

难　点： 将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；

学习方法：归纳、概括、总结

三、合作学习

创设问题情境,引入新课

在前两学时中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.

如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本学时我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.

1.请看乘法公式

（a+b）（a－b）=a2－b2   （1）

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是

a2－b2=（a+b）（a－b） （2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？

利用平方差公式进行的因式分解，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.

a2－b2=（a+b）（a－b）

2.公式讲解

如x2－16

=（x）2－42

=（x+4）（x－4）.

9 m 2－4n2

=（3 m ）2－（2n）2

=（3 m +2n）（3 m －2n）

四、（一）精讲

例1、把下列各式分解因式：

（1）25－16x2;     （2）9a2－ b2.

例2、把下列各式分解因式:

（1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x.

（二）精练：1、判断下列分解因式是否正确.

（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.

（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.

 2、分解因式：x4-16 x3-4x 4x2-（y-z）2

3、若x2-y2=30，x-y=-5求x+y

学习反思

14.3.2 用“完全平方公式”分解因式

一、学习目标：

1.使学生会用完全平方公式分解因式.

2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式

二、重点难点：

重点： 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法

难点： 让学生学会观察多项式特点，恰当安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式

三、合作学习

创设问题情境，引入新课

完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2

讲授新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.

将完全平方公式倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2;

a2－2ab+b2=（a－b）2.

凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解

用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方

形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.

由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

练一练.下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4; （2）x2+4x+4y2; （3）4a2+2ab+ b2; （4）a2－ab+b2;

四、（一）精讲

例1、把下列完全平方式分解因式：

（1）x2+14x+49; （2）（m+n）2－6（m +n）+9.

例2、把下列各式分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）－x2－4y2+4xy.

（二）精练

1、把下列各式分解因式：

（1）（x+y）2+6（x+y）+9; （2）4（2a+b）2－12（2a+b）+9;

2、

3、分解因式：

X2-4x+4 2x2-4x+2 （x2+y2）2-8（x2+y2）+16 （x2+y2）2-4x2y2

45ab2-20a -a+a3 a-ab2 a4-1 （a2+1）2-4 （a2+1）+4

学习反思：

15.1.1从分数到分式

一学习目标

【学习过程】

一、阅读教材

二、独立完成下列预习作业：

1、单项式和多项式统称 整式 .

2、表示 ÷ 的商，可以表示为 .

3、长方形的面积为10，长为7cm，宽应为 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为 .

4、把体积为20的水倒入底面积为33的圆柱形容器中，水面高度为 cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为 .

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母 ，那么式子叫做分式.

◆◆分式和整式统称有理式◆◆

三、（一）精讲：

分式的分母表示除数，由于除数不能为0，故分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.分子分母相等时分式的值为1、分子分母互为相反数时分式的值为-1.

1、当x 时，分式有意义；

2、当x 时，分式有意义；

3、当b 时，分式有意义；

4、当x、y满足 时，分式有意义；

（二）精练：

1、下列各式，，，，，，，， x+y，，，，，0中，

是分式的有 ；

是整式的有 ；

是有理式的有 ．

2、下列分式，当x取何值时有意义．

⑴； ⑵ ⑶ ⑷

⑸ ⑹ ⑺ ⑻

3、下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）

A． B． C． D．

4、当x 时，分式的值为零

5、当x 时，分式的值为1；当x 时，分式的值为-1.

学习反思：

15.1.2分式的基本性质--约分 自主合作学习

一、学习目标

二、学习过程

阅读教材

独立完成下列预习作业：

1、分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值 不变 .

即 或（C≠0）

2、填空：⑴ ；

⑵ ； （b≠0）

3、利用分式的基本性质：将分子和分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的 约分 ；经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式，像这样的分式叫做 最简分式 .

三、（一）精讲：

将下列分式化为最简分式：

⑴ ⑵ ⑶

（二）精练：

1．分数的基本性质为：分式的分子分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变．

用字母表示为：

2．把下列分数化为最简分数：（1）＝ ；（2）＝ ；（3）＝ ．

分式的基本性质为： ．

3、填空：① ②

③ ④

4、分式，，，中是最简分式的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、约分：

⑴ ⑵ ⑶

⑷ ★ ⑸； ★ ⑹．

学习反思：

15.1.2分式的基本性质--通分 自主合作学习

一、学习目标

二、学习过程

阅读教材

独立完成下列预习作业：

1、利用分式的基本性质：将分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，使几个分式化为分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.

2、根据你的预习和理解找出：

①与的最简公分母是 ； ②与的最简公分母是 ；

③与最简公分母是 ；④与的最简公分母是 .

★★如何确定最简公分母？一般是取各分母的所有因式的最高次幂的积

三、（一）精讲：

1、通分：⑴与 ⑵，

2、通分：⑴与； ★⑵，．

（二）精练：

1、分式和的最简公分母是 . 分式和的最简公分母是 . 2、化简：

3、分式，，，中已为最简分式的有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

4、化简分式的结果为（　　　）

A、 B、 C、 D、

5、若分式 的分子、分母中的x与y同时扩大2倍，则分式的值（ ）A、扩大2倍 B、缩小2倍 C、不变 D、是原来的2倍

6、不改变分式的值，使分式 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ）A、10 B、9 C、45 D、90

7、不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为整数，正确的是（ ）

A、 B、 C、 D、

8、通分：

⑴与 ⑵与⑶ ⑷

学习反思：

15.2.1分式的乘除 自主合作学习

一、学习目标

二、学习过程

阅读教材

独立完成下列预习作业：

1、观察下列算式：

⑴ ⑵

请写出分数的乘除法法则：

乘法法则： 分子乘以分子作为积的分子、分母乘以分母作为积的分母 ;

除法法则： 除以一个数等于乘以这个数的倒数 .

2、分式的乘除法法则：（类似于分数乘除法法则）

乘法法则：分子乘以分子作为积的分子、分母乘以分母作为积的分母 ;

除法法则： 除以一个数等于乘以这个数的倒数 .

3、分式乘方： 即分式乘方，是把分子、分母分别乘方.

三、（一）精讲：

1、计算：

⑴； ⑵

2、计算：

⑴； ⑵.

3、计算：.

4、计算：⑴ ⑵

（二）精练：

1、计算：

⑴； ⑵.

2、计算：

⑴·； ⑵÷．

3、计算：

⑴； ⑵.

学习反思：

15.2.2分式的加减 自主合作学习

一、学习目标

二、学习过程

阅读教材

独立完成下列预习作业：

1、填空：

①与的 相同，称为 分数， +＝ ，法则是 ；

②与的 不同，称为 分数， +＝ ，运算方法为 ；

2、与的 相同，称为 分式； 与的 不同，称为 分式.

3、分式的加减法法则同分数的加减法法则类似

①同分母分式相加减，分母 ，把分子 ;

②异分母分式相加减，先 ，变为同分母的分式，再 .

4．，的最简公分母是 .

5、在括号内填入适当的代数式：

三、（一）精讲：

1、计算：⑴+ ⑵- ⑶+

2、计算：⑴ ⑵+

⑶ ⑷++

（二）精练：

1、计算：⑴ ⑵

2、计算：⑴ ⑵

⑶ ⑷-

3、计算：⑴ ⑵

15.2.3整数指数幂 自主合作学习

一、学习目标

二、学习过程

阅读教材

独立完成下列预习作业：

1、回顾正整数幂的运算性质：

⑴同底数幂相乘： . ⑵幂的乘方： .

⑶同底数幂相除： . ⑷积的乘方： .

⑸ . ⑹ 当a 时，.

2、根据你的预习和理解填空：

3、一般地，当n是正整数时，

4、归纳：1题中的各性质，对于m,n可以是任意整数，均成立.

三、（一）精讲：

1、计算：⑴ ⑵

2、计算：⑴ ⑵

四、（二）精练：

1、填空：

⑴；. ⑵；.

⑶；.⑷；（b≠0）.

2、纳米是非常小的长度单位，1纳米＝米，把1纳米的物体放到乒乓球上，如同将乒乓球放到地球上，1立方毫米的空间可以放 个1立方纳米的物体，（物体间的间隙忽略不计）.

3、用科学计数法表示下列各数：

①0.000000001＝ ；②0.0012＝ ；

③0.000000345＝ ；④-0.0003＝ ；

⑤0.0000000108＝ ；⑥5640000000＝ ；

4、计算：

⑴ ⑵ ⑶

5、计算：

⑴ ⑵

15.3-1分式方程 自主合作学习

一、学习目标

二、学习过程

阅读教材

独立完成下列预习作业：

1、问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为千米/时，则轮船顺流航行速度为 千米/时，逆流航行速度为 千米/时；顺流航行100千米所用时间为 小时，逆流航行600千米所用时间为 小时.

根据两次航行所用时间相等可得到方程：

方程①的分母含有未知数，像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

我们以前学习的方程都是整式方程，分母中不含未知数.

★★2、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为正式方程.

其具体做法是：去分母、解整式方程、检验.

三、（一）精讲：

1、试解分式方程：

⑴ ⑵

解：方程两边同乘得： 解：方程两边同乘 得：

去括号得：

移项并合并得：

解得：

经检验：是原方程的解. 经检验：不是原方程的解，即原方程无解

分式方程为什么必须检验？如何检验？

.

2、解分式方程

⑴ ⑵

（二）精练：

1、下列哪些是分式方程？

⑴； ⑵； ⑶；

⑷； ⑸； ⑹.

2、解下列分式方程：

⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

学习反思：

15.3-2分式方程 自主合作学习

一、学习目标

二、学习过程

阅读教材

独立完成下列预习作业：学习过程

二、学习过程：

问题：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？

分析：甲队1个月完成总工程的，若设乙队单独施工1个月能完成总工程的.

则甲队半个月完成总工程的 ；乙队半个月完成总工程的 ；两队半个月完成总工程的 ；

解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，则有方程：

方程两边同乘 得：

解得：x＝

经检验：x＝ 符合题设条件.

∴ 队施工速度快.

三、（一）精讲：

问题：一项工程要在限定期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需要超过规定日期4天才能完成；如果两组合做3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成。问规定日期是多少天？

（二）精练：

某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：

⑴甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

⑵乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

⑶若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成

在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？

列分式方程解应用题的一般步骤：

审：分析题意，找出等量关系；

设：选择恰当的未知数，注意单位；

列：根据等量关系正确列出方程；

解：认真仔细；

验：检验方程和题意；

答：完整作答.

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