自主学习的几种探索方法

自主学习的几种探索方法

中学数学课程标准指出：“有效的数学学习活动不能单纯模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法。”教师应“帮助他们在自主探索和交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”由此可见，教师不能仅仅传授知识，更应引导学生自主获得知识、技能、思想和方法，以提高分析探索能力，即所谓“授人以鱼，不如授人以渔”

一、实验操作法

运用实验探索法获得知识的一般步骤是：

学生应用这种方法学习，教师要准备实验用品，避免给学生造成经济负担。现行教材中，不少内容可以采用实验探索法，如学习三角形全等的SAS判定公理，教师可以这样设计：告诉学生今天要研究三角形全等的一种判定方法（问题）。让学生任意画一个ΔABC，然后再画一个ΔA’B’C’，使ΔA’B’ C’满足∠A’=∠A，A’B’=AB，A’C’=AC，画好后将ΔA’B’C’剪下，放在ΔABC上，使对应点重合（实验）。观察两者是否完全重合（全等），并分析全等的条件。学生猜想结论——有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。学生交流、探索，达成一致意见。像ASA、SSS公理、圆的轴对称性、圆的中心对称性、圆的旋转不变性、三角形内角和定理都可以采用实验探索法学习。

例1：已知AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C，（1）当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；（2）当点P在AB延长线上的位置，如图2和如图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线（不写作法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数。

猜想∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明。

解：（1）测量结果为∠CDP=450。

（2）（作图略）图示2中的测量结果∠CDP=450。图示3中的测量结果∠CDP=450。

猜想：∠CDP=450为确定值，即∠CDP的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化

证明：如图1，连结BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=900，

∵PC切⊙O于点C，∴∠BCP=∠A

∵PD平分∠APC，∴∠CPD=∠APD。

∵∠1=∠BCP+∠CPD，∠CDP=∠A+∠APD=∠BCP+∠CPD，

∴∠1=∠CDP=。

∴∠CDP=450。

∴猜想正确。

二、演绎与联想法

演绎法是由一般到特殊的推理，即根据一般性的知识，推出关于特殊性的知识。

演绎法由于是由一般到特殊,结论寓于前提之中,或者说,结论与前提具有蕴含关系.所以,它又是必然性的推理.

三段论是一种重要的演绎推理，它体现了一般到特殊这一演绎推理的主要特点，是数学学习中应用极为广泛的方法。三段论可以用下面的形式表示：

例2：如图4,两直线AB与CD相交于P，且PA=PB，PC=PD。

求证：AC=BD。

证明：∵（1）PA=PB，PC=PD

（2）∴∠APC=∠BPD

（3）∴ΔAPC≌ΔBPD

（4）∴AC=BD。

以上每一步均可写为三段论结构，如（2）中有：

例3：（2002年鄂州市中考题）从A、B、C，3人中选取2人当代表，有A和B、A和C、B和C3种不同选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素的组合，记作C23==3。一般地，从m个元素中选取n个元素的组合记作Cnm=.根据以上分析从6人中选取4人当代表的不同选法有 种。

本例从阅读材料中提供了组合数公式,利用这一公式可进行演绎探索简捷地处理好这类实际问题.

演绎法在自主学习探索中，随处可见，我们熟练掌握它，对养成严谨的逻辑习惯和发展积极的逻辑思维具有重大的作用。

三、归纳与猜想法

演绎推理的一般原则是借助归纳推理才能获得.客观事物是个别与一般的统一,一般寓于个别之中,要认识一般就必须从个别开始.归纳法是由个别对象具有某种属性的知识推出该类对象也具有这同一属性的知识的推理.

猜想指的是直觉或直觉基础上的初步判断；猜想是一种重要的思维方法，它常通过归纳或观察、类比、联想等方式提出来。数学的创造性思维往往开始于猜想，在猜想的基础上，可激发学生探索问题的兴趣。没有合理科学的猜想，就不可能有所发现。

例4：(2002年四川省内江市中考题)观察下列图形并填表：

分析：（1）收集整理题中的数据信息，列表探索如下：

（2）猜想规律：由上面图形及表格中的对应数据分析可知，梯形个数每增加1个，其周长增加3个单位长。

∴当梯形个数n=5时，对应图形的周长=17；当梯形个数n=6时，对应图形的周长=20。

（3）归纳结论：当梯形个数为n时，对应图形的周长:

5+3（n-1）=3n+2。

猜想的目的在于发现规律或寻求解题途径。猜想时，猜方法、猜结论、猜途径是常考虑的几个方面。

例5已知0＜b＜a＜1，那么下列式子成立的是（ ）

（A）＜； （B）-＞-；

（C）-＜-； （D）-a＞-b。

分析：由于对于满足条件的a、b的值，这四个选择支只有一个成立，则此答案对于满足0＜b＜a＜1的任意a、b的值也成立。不妨取a=，b=代入验证：

=3＞=2；-=-3＜-=-2；-a=-＜-b=-。

由此猜想选择式子（C）。

例6：求适合x5=656356768的整数x

解：∵505＜656356768＜605

∴可以猜想到x的取值范围应为：50＜x＜60，

又∵x5的个位数字为8，故x只能是58。

例7：两个边长为1的正方形，其中一个正方形的某顶点重合于另一个正方形的中心O，并绕O旋转。求证：无论怎样旋转，两个正方形的重叠部分的面积是一个定值。

分析：如图6旋转正方形OMNP的两边可以刚好通过A、B两点。这时容易看出两个正方形重叠部分的面积就是:

SΔABO=S正方形ABCD=.从要证明的结论来看可以猜想这里的定值一定是.要证两个正方形重叠部分的面积是,只需证明ΔBOL≌ΔAOK.

证明：∵∠AOB=∠KOL=900，而∠KOB为公共角，

∴∠AOK=∠BOL，OA=OB，

∠OBL=∠OAK=450，

∴ΔBOL≌ΔAOK

∴正方形ABCD与正方形OMNP重叠部分的面积

SΔKBL= SΔOKB+SΔOBL= SΔoKB+ SΔAoKB= SΔAoB=.

总而言之,数学需要合理猜想,而猜想的真实性是必须经过检验和证明的.

四、类比与联想法

类比法是根据两个或两类对象的某些属性相同从而推出它们在另一些属性方面也相同的推理方法。

如用公式表示，即为：

例8：（2002年山西省中考题）阅读理解题：

阅读下列材料：关于x的方程：

x+=c+的解是x1=c，x2=；

x-=c-（即x+=c+）的解是x1=c，x2=-；

x+=c+的解是x1=c，x2=；

x+=c+的解是x1=c，x2=；

…

（1）观察上述方程与解的特征,比较关于x的方程x+=c+ (m≠0)与它们的关系,猜想它的解是什么,并利用“方程的解”的概念进行验证。

（2）由上述的观察、比较、猜想、验证得出结论：

如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解。

请用这个结论解关于的x方程：

x+=a+。

解：（1）x1=c，x2=。

验证：当x1=c时，左边=c+=右边，

当x2=时，左边=+=c+ =右边，

∴x1=c，x2=是原方程解。

（2）原方程可化为

x-1+=a-1+

由上面结论可知：

x-1=a-1，或x-1=。

∴x1=a，x2=

经检验x1=a，x2=均为原方程的解。

例9：观察下列各式及其验证过程：

2=。验证2====。

3=。验证：3====

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明。

分析：（1）4=。

验证:4====。

（2）由题设及（1）的验证结果，可猜想对任意自然数n(n≥2)都有：

n====。

以上两例在猜想和验证的过程中多次用到类比的思想方法，为也是进行创造性思维的重要方法之一。由于数学学科知识具有很强的拓展性，而新知识和旧知识有很多的共同属性，在教学时，教师应有意识地启发学生，通过类比的方法，学习新知识，达到自主探索学习的目的。如分数和分式在概念和运算上有许多相似的地方，虽也有质的区别，但通过类比，引导学生自主获得分式的概念和运算的法则，从而实现由数到字母的质的飞跃。再如学习有理数混合运算法则，可类比小学数学的混合运算法则；乘方意义，可以类比乘法意义；二元二次方程的意义，可以类比一元二次方程的意义。

类比推理的推理根据是不充分的，它只是根据两个或两类对象在一些属性方面相同，推出它们在另一些属性方面也相同的结论，而事实上，客观事物之间既有同一性，也有差异性。由于客观事物间具有同一性，所以我们才能够进行类比推理，即根据两对象在一些属性方面相同推出它们在另一些属性方面也可能相同的结论。由于客观事物间具有差异性，所以作为推出的结论不是必然的，而是或然的。但在思维探索中，人们常常通过类比推理提出科学假说，然后经过验证，形成科学理论或其它正确的结论，其依然具有极为重要的意义。

自主学习探索是学生学习数学的一个很好的方法，自主探索是创新的思维基础，是学生终身发展所必备的思考方法。因此教师要从提高学生数学素养的大局出发，有意识地训练学生运用这种学法。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c1bde34309a1284ac850ad02de80d4d8d15a01bf.html