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2018年河南省中考数学试题及答案

发布时间：2021-03-17   来源：文档文库   
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2018年河南省中考数学试卷


（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
21. 的相反数是（ ）
52255A． B． C． D．
55222. 今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元．数据“214.7亿”用科学记数法表示为（ ） A．2.147×102

B．0.2147×103

C．2.147×1010

D．0.2147×1011
3.
某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A．厉



B．害



C．了



D．我
我厉害了的国
4. 下列运算正确的是（ ）
A．(x23x5 C．x3x4x7











B．x2x3x5 D．2x3x31
5. 河南省游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A．中位数是12.7% C．平均数是15.98%








B．众数是15.3% D．方差是0
6.
《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
y5x45A．
y7x3y5x45C．

y7x3

y5x45B．
y7x3y5x45D．
y7x3

7. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）


A．x26x90 C．x232x










B．x2x D．(x1210
8. 现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“♢”，1张卡片正面上的图案是“♣”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（ ）
9331A． B． C． D．
164829. 如图，已知□AOBC的顶点O(0，0，A(-1，2，点B在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于1点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在
2∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G．则点G的坐标为（ ） A．(51，2 B．(5，2 C．(35，2 D．(52，2












yADFGC
OBxE
10. 如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B．图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ） A．5 AFBC

B．2
D

C．5
2

D．25
y/cm2aOaa+5x/s
图1 图2
二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：|5|9__________．
12. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为____________．


EAOCB
Dx5213. 不等式组的最小整数解是___________．
4x≥314. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆︵时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B的运动路径为BB'，则图中阴影部分的面积为____________．
B′CDAA′BC′
15. 如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称．D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为____________．
MCDAEFBNA′MCDAEFBNA′

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
x11216. （8分）共化简，再求值：，其中x21． x1x1





17. （9分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病，呼吸道疾病等，给人们造成困扰．为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如图所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 治理杨絮——您选哪一项？（单选） A．减少杨树新面积，控制杨树每年的栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植
D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他
调查结果条形统计图调查结果扇形统计图BA12%15%C40%ED25%人数8007006005004003002001000ABCDE选项
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有__________人；
（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是__________； （3）请补全条形统计图；
（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．




k18. （9分）如图，反比例函数y（x0）的图象过格点（网格线的交点）P．
x（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P； ②矩形的面积等于k的值．
y4321P-1O-11234x


19. （9分）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F． （1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为_________时，四边形ECFG为菱形； ②当∠D的度数为_________时，四边形ECOG为正方形．
DDECAFOBACEFOB







20. （9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自已的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90 cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．
（结果精确到1 cm．参考数据：sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
DCHEABF



21. （10分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表：
销售单价x（元） 日销售量y（个） 日销售利润（元）

注：日销售利润=日销售量×（销售单价-成本单价）
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值； （2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是_______元．当销售单价x=_______元时，日销售利润w最大，最大值是_________元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本．预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3 750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？

22. （10分）（1）问题发现
85 175 875
95 125 1 875
105 75 1 875
115 m 875


如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： AC①的值为_____________；
BD②∠AMB的度数为_____________． （2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，AC连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明BD理由． （3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD=1，OB=7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
CODMMDOCOA
图1 图2 备用图
BABAB

23. （11分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式．


（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
yyyOABxOABxOABxCCC
备用图 备用图


2018年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析


一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）﹣的相反数是（ ） A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：﹣的相反数是：． 故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．

2．（3分）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，

数据“214.7亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.147×102 B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：214.7亿，用科学记数法表示为2.147×1010， 故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A．厉 B．害 C．了 D．我
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “的”与“害”是相对面， “了”与“厉”是相对面， “我”与“国”是相对面． 故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

4．（3分）下列运算正确的是（ ） A．（﹣x2）3=﹣x5
B．x2+x3=x5 C．x3•x4=x7 D．2x3﹣x3=1


【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断．
【解答】解：A、（﹣x2）3=﹣x6，此选项错误； B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误； C、x3•x4=x7，此选项正确； D、2x3﹣x3=x3，此选项错误； 故选：C．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则．

5．（3分）河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是12.7% B．众数是15.3% C．平均数是15.98%
D．方差是0
【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、按大小顺序排序为：12.7%，14.5%，15.3%，15.3%，17.1%， 故中位数是：15.3%，故此选项错误； B、众数是15.3%，正确；
C、（15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%） =14.98%，故选项C错误； D、∵5个数据不完全相同，
∴方差不可能为零，故此选项错误． 故选：B．
【点评】此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义，正确把握相关定义是解题关键．

6．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，

不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y线，根据题意，可列方程组为（ ） A． B．
C． D．
【分析】设设合伙人数为x人，羊价为y线，根据羊的价格不变列出方程组． 【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y线，根据题意，可列方程组为：故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．

7．（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【解答】解：A、x2+6x+9=0 △=62﹣4×9=36﹣36=0， 方程有两个相等实数根； B、x2=x x2﹣x=0
△=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0 两个不相等实数根； C、x2+3=2x x2﹣2x+3=0
△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0， 方程无实根； D、（x﹣1）2+1=0
．


（x﹣1）2=﹣1， 则方程无实根； 故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

8．（3分）现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“上的图案是“”，1张卡片正面”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（ ） A． B． C． D．
【分析】直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率．
【解答】解：令3张可得：
用A1，A2，A3，表示，用B表示，
，
一共有12种可能，两张卡片正面图案相同的有6种，
故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是：． 故选：D．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键．

9．（3分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）



A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=可得到AG=AO=，进而得出HG=﹣1，可得G（，依据∠AGO=∠AOG，即﹣1，2）．
【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2）， ∴AH=1，HO=2， ∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB， ∴∠AOG=∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO=∠EOG， ∴∠AGO=∠AOG， ∴AG=AO=∴HG=∴G（，
﹣1， ﹣1，2），
故选：A．

【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

10．（3分）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变

化的关系图象，则a的值为（ ）

A． B．2 C． D．2
【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2． ∴AD=a ∴∴DE=2
当点F从D到B时，用∴BD=

，应用两次勾股定理分别求BE和a．
s
Rt△DBE中，
BE=∵ABCD是菱形 ∴EC=a﹣1，DC=a Rt△DEC中， a2=22+（a﹣1）2 解得a=


故选：C．
【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数

图象变化与动点位置之间的关系．

二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上） 11．（3分）计算：|﹣5|﹣= 2 ．
【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式=5﹣3 =2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

12．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为 140° ．

【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案． 【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O， ∴∠EOB=90°， ∵∠EOD=50°， ∴∠BOD=40°，
则∠BOC的度数为：180°﹣40°=140°． 故答案为：140°．
【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题关键．

13．（3分）不等式组的最小整数解是 ﹣2 ．


【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣3， 解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1， ∴不等式组的最小整数解是﹣2， 故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．

14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为积为
π﹣ ．
，则图中阴影部分的面
【分析】先利用勾股定理求出DB′==S扇形BDB′﹣S△DBC﹣S△DB′C，计算即可．
=，A′B′==2，再根据S阴【解答】解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB， DB′=A′B′=∴S阴===2， ，
﹣）×÷2=π﹣．
﹣1×2÷2﹣（2故答案为π﹣．



【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．



15．（3分）如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 4或4 ．

【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长； ②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4． 【解答】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况： ①当∠A'EF=90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称， ∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB， ∵点D，E分别为AC，BC的中点， ∴D、E是△ABC的中位线，


∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°， ∴∠CDE=∠A'EF， ∴AC∥A'E， ∴∠ACB=∠A'EC， ∴∠A'CB=∠A'EC， ∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点， ∴BC=2A'B=8，
由勾股定理得：AB2=BC2﹣AC2， ∴AB==4；
②当∠A'FE=90°时，如图2， ∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°， ∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称， ∴∠ABC=∠CBA'=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC=4；
综上所述，AB的长为4故答案为：4或4；
或4；




【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．

三、计算题（本大题共8题，共75分，请认真读题） 16．（8分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x=+1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案， 【解答】解：当x=原式==1﹣x =﹣
+1时，

•【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

17．（9分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 治理杨絮一一您选哪一项？（单选）
A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植


D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他

根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有 2000 人；
（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 28.8° ； （3）请补全条形统计图；
（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数． 【分析】（1）将A选项人数除以总人数即可得； （2）用360°乘以E选项人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得； （4）用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得．
【解答】解：（1）本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人， 故答案为：2000；

（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是360°×故答案为：28.8°；

=28.8°，
（3）D选项的人数为2000×25%=500， 补全条形图如下：




（4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为70×40%=28（万人）． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

18．（9分）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P． （1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P； ②矩形的面积等于k的值．

【分析】（1）将P点坐标代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象过格点P（2，2）， ∴k=2×2=4，


∴反比例函数的解析式为y=；

（2）如图所示：
矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．

【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．

19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F． （1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空： ①当∠D的度数为 30° 时，四边形ECFG为菱形； ②当∠D的度数为 22.5° 时，四边形ECOG为正方形．

【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；


（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，则∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵CE为切线， ∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°， ∵DO⊥AB， ∴∠3+∠B=90°， 而∠2=∠3， ∴∠2+∠B=90°， 而OB=OC， ∴∠4=∠B， ∴∠1=∠2， ∴CE=FE；
（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°， 而AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=30°， ∴∠3=∠2=60°， 而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形， ∴CE=CF=EF， 同理可得∠GFE=60°， 利用对称得FG=FC， ∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，


∴EG=FG， ∴EF=FG=GE=CE， ∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°， 而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°， ∴∠AOC=45°， ∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°， ∴∠COG=90°， 易得△OEC≌△OEG， ∴∠OEG=∠OCE=90°， ∴四边形ECOG为矩形， 而OC=OG，
∴四边形ECOG为正方形． 故答案为30°，22.5°．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．


20．（9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）

【分析】利用锐角三角函数，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分别求出AE、BF的长．计算出EF．通过矩形CEFH得到CH的长． 【解答】解：在Rt△ACE中， ∵tan∠CAE=∴AE=，
=≈≈21（cm）
在Rt△DBF中， ∵tan∠DBF=∴BF=，
=≈=40（cm）
∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm） ∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF ∴四边形CEFH是矩形，


∴CH=EF=151cm
答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．
【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．

21．（10分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x（元） 日销售量y（个） 日销售利润w（元）
（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值； （2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是 80 元，当销售单价x= 100 元时，日销售利润w最大，最大值是 2000 元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w的最大值； （3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本． 【解答】解；（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
，得，
85 175 875
95 125 1875
105 75 1875
115 m 875
即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600， 当x=115时，y=﹣5×115+600=25， 即m的值是25； （2）设成本为a元/个，
当x=85时，875=175×（85﹣a），得a=80，


w=（﹣5x+600）（x﹣80）=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5（x﹣100）2+2000， ∴当x=100时，w取得最大值，此时w=2000， 故答案为：80，100，2000； （3）设科技创新后成本为b元， 当x=90时，
（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750， 解得，b≤65，
答：该产品的成本单价应不超过65元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答．

22．（10分）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为 1 ；
②∠AMB的度数为 40° ． （2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
的值及∠AMB的度数，并说明理由；



【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣140°=40°；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则三角形的性质得∠AMB的度数；
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，【解答】解：（1）问题发现 ①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠COA=∠DOB， ∵OC=OD，OA=OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD，
∴=1，
，可得AC的长．
=，由全等②∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOB=40°，
∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣140°=40°， 故答案为：①1；②40°； （2）类比探究 如图2，=，∠AMB=90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴同理得：∴，
，
，


∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC∽△BOD，
∴=，∠CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD， ∴∠AMB=90°，设BD=x，则AC=， x，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1， ∴CD=2，BC=x﹣2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=∴AB=2OB=2，
，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
，
x2﹣x﹣6=0， （x﹣3）（x+2）=0， x1=3，x2=﹣2， ∴AC=3；
，
②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，设BD=x，则AC=x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
+（x+2）2=x2+x﹣6=0，
（x+3）（x﹣2）=0， x1=﹣3，x2=2， ∴AC=2；



综上所述，AC的长为3或2．


【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．

23．（11分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．



【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程﹣x2+6x﹣5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2行四边形的性质得到PQ=AM=21，利用∠PDQ=45°得到PD=，接着根据平，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图PQ=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，﹣2），
AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，把E（，﹣）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=﹣x﹣，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的

坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
【解答】解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5）， 当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AM=AB=×4=2，
，解得，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°， ∴PD=PQ=×2=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5）， 当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4， 当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=综上所述，P点的横坐标为4或或；
，m2=，
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1， ∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，


∴AH=BH=NH=2， ∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣）， 设直线EM1的解析式为y=﹣x+b， 把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，
，
∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣解方程组得，则M1（，﹣）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

设M2（x，x﹣5）， ∵3=∴x=∴M2（，
，﹣），
，﹣）或（，﹣）．
，
综上所述，点M的坐标为（



【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．



本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c9c410f45a0216fc700abb68a98271fe900eaf45.html

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