2020年山西省中考模拟百校联考数学试卷（含答案）

2020年山西省中考模拟百校联考数学试卷（二）

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）已知实数a的相反数是，则a的值为（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直线l1，l2，l3分别经过△ABC的顶点A，B，C，且l1∥l2∥l3，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．x3+x3＝2x6 B．x3÷x＝x3

C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣x3）2＝x6

4．（3分）方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．只有一个实数根

5．（3分）国家体育局主办的第二届全国青年运动会于2019年在省城太原举行为筹办本届赛事，太原市将在汾河南延段建设“水上运动中心”，预计总投资额为31亿元．数据31亿元用科学记数法表示为（　　）

A．31×109元 B．31×108元 C．3.1×109元 D．3.1×105元

6．（3分）《九章算术》是我国古代的数学著作，是《算经十书》中最重要的一种，大约成书于公元前200﹣前50年《九章算术》不仅最早提到分数问题还详细记录了《方程》等内容的类型及详细解法，是当时世界上最为重要的数学文献．公元263年，为《九章算术》作注本的数学家是（　　）

A．欧拉 B．刘徽 C．祖冲之 D．华罗庚

7．（3分）下列调查方式适合用普查的是（　　）

A．调查一批某种灯泡的使用寿命

B．了解我国八年级学生的视力状况

C．了解一沓钞票中有没有假钞

D．了解某市中学生的课外阅读量

8．（3分）如图所示几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

9．（3分）《庄子》一书里有：“一尺之棰（木棍），日取其半，万世不竭（尽，完）”这句话可以用数学符号表示：1＝++…++…；也可以用图形表示．上述研究问题的过程中体现的主要数学思想是（　　）

A．函数思想 B．数形结合思想

C．公理化思想 D．分类讨论思想

10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积之和是（　　）

A．32 B．2π C．10π+2 D．8π+1

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分共15分）

11．（3分）计算（﹣22）（22）的结果是　 　．

12．（3分）已知反比例函数y＝的图象在每一象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是　 　．

13．（3分）为了美化环境，培养中学生爱国主义情操，团省委组织部分中学的团员去西山植树，某校团委领到一批树苗，若每人植4棵，还剩37棵，若每人植6棵，最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有　 　棵．

14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是　 　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D是AC边上的一点，且AD＝2，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE，连接BE并取BE的中点F，连接CF，则CF的长为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（10分）（1）计算：；

（2）先化简，再求值：，其中x＝．

17．（5分）解方程：3x（x﹣4）＝4x（x﹣4）．

18．（9分）今年省城各城区相继召开了创建全国文明城市推进大会．某校为了将“创城”工作做到更好，教务处、团委和体育组联合组织成立三个新社团，分别是篮球社团、排球社团、足球社团，经统计，将七、八年级同学报名情况绘制了下面不完整的统计图．请解答下列问题：

（1）七、八年级新社团的报名总人数是　 　；

（2）请你把条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，表示“排球”的扇形圆心角度数为　 　；

（4）从报名八年级足球社团的学生“张明”“李力”“王华”3人中选取其中两人去参加学校的社团年度表彰会，请用树状图或列表法求出“张明”和“王华”一起被选中的概率是多少？

19．（7分）传统文化与我们生活息息相关，中华传统文化包括古文古诗、词语、乐曲、赋、民族音乐、民族戏剧、曲艺、国画、书法、对联、灯谜、射覆、酒令、歇后语等．在中华优秀传统文化进校园活动中，某校为学生请“戏曲进校园”和民族音乐”做节目演出，其中一场“戏曲进校园”的价格比一场“民族音乐”节目演出的价格贵600元，用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍，求一场“民族音乐”节目演出的价格．

20．（8分）阅读与思考：

阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是上的一点，且＝，连接BF可得BF＝BE．

（1）将上述问题中弦AB改为直径AB，如图1所示，试证明BF＝BE；

（2）如图2所示，若直径AB＝10，EO＝OB，作直线l与⊙O相切于点F．过点B作BP⊥l于点P．求BP的长．

21．（10分）为提升城市品味、改善居民生活环境，我省某市拟对某条河沿线十余个地块进行片区改造，其中道路改造是难度较大的工程如图是某段河道坡路的横截面，从点A到点B，从点B到点C是两段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段，CM与水平地面AN的距离为12米．已知山坡路AB的路面长10米，坡角BAN＝15°，山坡路BC与水平面的夹角为30°，为了降低坡度，方便通行，决定降低坡路BC的坡度，得到新的山坡AD，降低后BD与CM相交于点D，点D，A，B在同一条直线上，即∠DAN＝15°．为确定施工点D的位置，求整个山坡路AD的长和CD的长度（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58结果精确到0.1米）

22．（13分）综合与探究：

如图1，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于C、F两点（点C在点F左边），与y轴交于点D，AD＝2，点B坐标为（﹣4，5），点E为AB上一点，且BE＝ED，连接CD，CB，CE．

（1）求点C、D、E的坐标；

（2）如图2，延长ED交x轴于点M，请判断△CEM的形状，并说明理由；

（3）在图2的基础上，将△CEM沿着CE翻折，使点M落在点M'处，请判断点M'是否在此抛物线上，并说明理由．

23．（13分）综合与实践：

问题情境：（1）如图1，点E是正方形ABCD边CD上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．

①线段BE和BF的数量关系是　 　；

②写出线段DE、DF和BD之间的数量关系，并说明理由；

操作探究：（2）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边CD所在直线上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．

①如图2，点E在线段DC上时，请探究线段DE、DF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明．

②如图3，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若DE＝DC＝2a，直接写出线段FM和AG的长度．

2020年山西省中考模拟百校联考数学试卷（二）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）已知实数a的相反数是，则a的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据相反数的意义求解即可．

【解答】解：由a的相反数是，得a＝﹣，

故选：B．

2．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直线l1，l2，l3分别经过△ABC的顶点A，B，C，且l1∥l2∥l3，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【分析】先根据∠1＝40°得出∠3的度数，再由∠ABC＝90°得出∠4的度数，根据平行线的性质即可得出结论．

【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∠1＝40°，

∴∠1＝∠3＝40°．

∵∠ABC＝90°，

∴∠4＝90°﹣40°＝50°，

∴∠2＝∠4＝50°．

故选：C．

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．x3+x3＝2x6 B．x3÷x＝x3

C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣x3）2＝x6

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则，完全平方公式，以及合并同类项法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故此选项错误；

B、x3÷x＝x2，故此选项错误；

C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；

D、（﹣x3）2＝x6，正确．

故选：D．

4．（3分）方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．只有一个实数根

【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝13＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根．

【解答】解：∴在方程x2+3x﹣1＝0中，△＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，

∴方程x2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根．

故选：B．

5．（3分）国家体育局主办的第二届全国青年运动会于2019年在省城太原举行为筹办本届赛事，太原市将在汾河南延段建设“水上运动中心”，预计总投资额为31亿元．数据31亿元用科学记数法表示为（　　）

A．31×109元 B．31×108元 C．3.1×109元 D．3.1×105元

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：31亿＝3 100 000 000＝3.1×109．

故选：C．

6．（3分）《九章算术》是我国古代的数学著作，是《算经十书》中最重要的一种，大约成书于公元前200﹣前50年《九章算术》不仅最早提到分数问题还详细记录了《方程》等内容的类型及详细解法，是当时世界上最为重要的数学文献．公元263年，为《九章算术》作注本的数学家是（　　）

A．欧拉 B．刘徽 C．祖冲之 D．华罗庚

【分析】为《九章算术》作注本的数学家是刘徽；

【解答】解：为《九章算术》作注本的数学家是刘徽；

故选：B．

7．（3分）下列调查方式适合用普查的是（　　）

A．调查一批某种灯泡的使用寿命

B．了解我国八年级学生的视力状况

C．了解一沓钞票中有没有假钞

D．了解某市中学生的课外阅读量

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．

【解答】解：A、调查一批某种灯泡的使用寿命适合用抽样调查；

B、了解我国八年级学生的视力状况适合用抽样调查；

C、了解一沓钞票中有没有假钞适合用抽样普查；

D、了解某市中学生的课外阅读量适合用抽样调查；

故选：C．

8．（3分）如图所示几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【解答】解：从左边看是：，

故选：B．

9．（3分）《庄子》一书里有：“一尺之棰（木棍），日取其半，万世不竭（尽，完）”这句话可以用数学符号表示：1＝++…++…；也可以用图形表示．上述研究问题的过程中体现的主要数学思想是（　　）

A．函数思想 B．数形结合思想

C．公理化思想 D．分类讨论思想

【分析】根据本题把这句话分别可以用数学符号和图形表示即可得出体现的数学思想．

【解答】解：∵这句话即可以用数学符号表示，也可以用图形表示，

∴体现的主要数学思想是数形结合思想；

故选：B．

10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积之和是（　　）

A．32 B．2π C．10π+2 D．8π+1

【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心，连接OA，OD，则可得出所产生的四个小弓形的面积相等，先得出2个小弓形的面积，即可求阴影部分面积．

【解答】解：易知：两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O，连接AO，DO

则图中的四个小弓形的面积相等，

∵两个小弓形面积＝×π×42﹣S△AOD，

∴两个小弓形面积＝8π﹣16

∴S阴影＝2×S半圆﹣4个小弓形面积＝16π﹣2（8π﹣16）＝32

故选：A．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分共15分）

11．（3分）计算（﹣22）（22）的结果是　﹣16　．

【分析】利用平方差公式计算．

【解答】解：原式＝﹣（2+2）（2﹣2）

＝﹣（20﹣4）

＝﹣16．

故答案为﹣16．

12．（3分）已知反比例函数y＝的图象在每一象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是　k＜6　．

【分析】先根据反比例数y＝的图象在每一象限内y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．

【解答】解：∵反比例数y＝的图象在每一象限内y随x的增大而增大，

∴k﹣6＜0，解得k＜6．

故答案为：k＜6．

13．（3分）为了美化环境，培养中学生爱国主义情操，团省委组织部分中学的团员去西山植树，某校团委领到一批树苗，若每人植4棵，还剩37棵，若每人植6棵，最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有　121　棵．

【分析】设共x人植树，则这批树苗共有（4x+37）棵，根据“若每人植6棵，最后一人有树植，但不足3棵”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可确定x的值，再将其代入4x+37中即可求出树苗的总棵数．

【解答】解：设共x人植树，则这批树苗共有（4x+37）棵，

依题意，得：，

解得：20＜x＜．

∵x为正整数，

∴x＝21，

∴4x+37＝121．

故答案为：121．

14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是　8　．

【分析】由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，所以∠1＝∠2，再证明AF＝BE，则可判断四边形AFEB为平行四边形，于是利用AB＝AF可判断四边形ABEF是菱形；根据菱形的性质得AG＝EG，BF⊥AE，求出BF和AG的长，即可得出结果．

【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，

则∠1＝∠2，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，

∴∠2＝∠BEA，

∴∠1＝∠BEA＝30°，

∴BA＝BE，

∴AF＝BE，

∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，

而AB＝AF，

∴四边形ABEF是菱形；

∴BF⊥AE，AG＝EG，

∵四边形ABEF的周长为16，

∴AF＝BF＝AB＝4，

在Rt△ABG中，∠1＝30°，

∴BG＝AB＝2，AG＝BG＝2，

∴AE＝2AG＝4，

∴菱形ABEF的面积＝BF×AE＝×4×4＝8；

故答案为：8．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D是AC边上的一点，且AD＝2，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE，连接BE并取BE的中点F，连接CF，则CF的长为　2　．

【分析】延长AE、BC交于点H，根据等腰直角三角形的性质分别求出AE、AH，求出EH，根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：延长AE、BC交于点H，

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴∠HAC＝45°，AE＝AD＝2，

∴CH＝AC＝BC，AH＝AC＝6，

∴EH＝AH﹣AE＝4，

∵BC＝CH，BF＝FE，

∴FC＝EH＝2，

故答案为：2．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（10分）（1）计算：；

（2）先化简，再求值：，其中x＝．

【分析】（1）先算乘法，再算加减即可；

（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．

【解答】解：（1）

＝6﹣1+4

＝5+4；

（2）

＝•

＝，

当x＝﹣1时，

原式＝＝．

17．（5分）解方程：3x（x﹣4）＝4x（x﹣4）．

【分析】整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：3x（x﹣4）＝4x（x﹣4），

整理得：x2﹣4x＝0，

x（x﹣4）＝0，

x＝0，x﹣4＝0，

x1＝0，x2＝4．

18．（9分）今年省城各城区相继召开了创建全国文明城市推进大会．某校为了将“创城”工作做到更好，教务处、团委和体育组联合组织成立三个新社团，分别是篮球社团、排球社团、足球社团，经统计，将七、八年级同学报名情况绘制了下面不完整的统计图．请解答下列问题：

（1）七、八年级新社团的报名总人数是　120人　；

（2）请你把条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，表示“排球”的扇形圆心角度数为　108°　；

（4）从报名八年级足球社团的学生“张明”“李力”“王华”3人中选取其中两人去参加学校的社团年度表彰会，请用树状图或列表法求出“张明”和“王华”一起被选中的概率是多少？

【分析】（1）由篮球的总人数及其所占百分比可得答案；

（2）求出八年级排球人数、七年级足球人数，继而补全图形即可得；

（3）用360°乘以排球对应的百分比即可得；

（4）画树状图列出所有等可能结果，再从中找出符合条件的结果数，继而根据概率公式计算可得．

【解答】解：（1）七、八年级新社团的报名总人数是（36+24）÷50%＝120（人），

故答案为：120人；

（2）八年级排球人数为120×30%﹣16＝20（人），七年级足球人数为120×20%﹣12＝12（人），

补全图形如下：

（3）在扇形统计图中，表示“排球”的扇形圆心角度数为360°×30%＝108°，

故答案为：108°；

（4）画树状图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中“张明”和“王华”一起被选中的有2种结果，

所以“张明”和“王华”一起被选中的概率为＝．

19．（7分）传统文化与我们生活息息相关，中华传统文化包括古文古诗、词语、乐曲、赋、民族音乐、民族戏剧、曲艺、国画、书法、对联、灯谜、射覆、酒令、歇后语等．在中华优秀传统文化进校园活动中，某校为学生请“戏曲进校园”和民族音乐”做节目演出，其中一场“戏曲进校园”的价格比一场“民族音乐”节目演出的价格贵600元，用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍，求一场“民族音乐”节目演出的价格．

【分析】等量关系：用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍．

【解答】解：设一场“民族音乐”节目演出的价格为x元，则一场“戏曲进校园”的价格为（x+600）元．

由题意得：＝2×

解得：x＝4400

经检验x＝4400是原分式方程的解．

答：一场“民族音乐”节目演出的价格为4400元．

20．（8分）阅读与思考：

阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是上的一点，且＝，连接BF可得BF＝BE．

（1）将上述问题中弦AB改为直径AB，如图1所示，试证明BF＝BE；

（2）如图2所示，若直径AB＝10，EO＝OB，作直线l与⊙O相切于点F．过点B作BP⊥l于点P．求BP的长．

【分析】（1）连接CE、BC，证出△CEB≌△CFB，则可得出结论；

（2）先求BE长，证出△AFB∽△FPB，得比例线段即可求出BP长．

【解答】解：（1）如图1所示，连接CE、BC，

∵CD⊥AB，AD＝DE，

∴AC＝CE，

∴∠CAE＝∠CEA，

又∵，

∴CA＝CF，∠FBC＝∠EBC，

∴CE＝CF，

又∵∠A+∠F＝180°，∠CEA+∠CEB＝180°，

∴∠CEB＝∠F，

∴△CEB≌△CFB（AAS），

∴BE＝BF；

（2）如图2所示，连接AF，

∵AB＝10，EO＝，

∴EB＝7.5，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°，

∵l与与⊙O相切于点F，

∴∠OFP＝90°，

∴∠AFO＝∠BFP，

又∵OF＝OA，

∴∠OAF＝∠OFA，

∴∠OAF＝∠BFP，

∵BP⊥l于点P，

∴∠BPF＝90°，

∴△AFB∽△FPB，

∴，

即，

∴．

21．（10分）为提升城市品味、改善居民生活环境，我省某市拟对某条河沿线十余个地块进行片区改造，其中道路改造是难度较大的工程如图是某段河道坡路的横截面，从点A到点B，从点B到点C是两段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段，CM与水平地面AN的距离为12米．已知山坡路AB的路面长10米，坡角BAN＝15°，山坡路BC与水平面的夹角为30°，为了降低坡度，方便通行，决定降低坡路BC的坡度，得到新的山坡AD，降低后BD与CM相交于点D，点D，A，B在同一条直线上，即∠DAN＝15°．为确定施工点D的位置，求整个山坡路AD的长和CD的长度（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58结果精确到0.1米）

【分析】过B作BE⊥AN于E，过D作DF⊥AN于F，过C作CG⊥AN于G，过B作BH⊥CG于H，根据矩形的性质得到BE＝GH，EG＝BH，CD＝GF，CG＝DF，求得CH＝DF﹣GH，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：过B作BE⊥AN于E，过D作DF⊥AN于F，过C作CG⊥AN于G，过B作BH⊥CG于H，

则四边形CGFD和四边形BEGH是矩形，

∴BE＝GH，EG＝BH，CD＝GF，CG＝DF，

∴CH＝DF﹣GH，

由题意得，DF＝12，AB＝10，

在Rt△ABE中，BE＝AB•sin15°＝10×0.26＝2.6，

在Rt△ADF中，DF＝AB•sin15°，AD＝12÷0.26＝46.2，

∴CH＝DF﹣BE＝9.4，

在Rt△CBH中，CH＝BC•sin30°，BC＝CH÷0.5＝18.8，

∵CD∥AN，

∴∠CDB＝∠BAN＝15°，

∵∠CBH＝30°，

∴∠DBC＝15°，

∴∠CDB＝∠CBD，

∴CD＝CB＝18.8（米），

答：修整后山坡路AD的长约为46.2米，CD的长约为18.8米．

22．（13分）综合与探究：

如图1，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于C、F两点（点C在点F左边），与y轴交于点D，AD＝2，点B坐标为（﹣4，5），点E为AB上一点，且BE＝ED，连接CD，CB，CE．

（1）求点C、D、E的坐标；

（2）如图2，延长ED交x轴于点M，请判断△CEM的形状，并说明理由；

（3）在图2的基础上，将△CEM沿着CE翻折，使点M落在点M'处，请判断点M'是否在此抛物线上，并说明理由．

【分析】（1）结合抛物线解析式求得点C、D的坐标；设EA＝a，根据已知条件BE＝ED列出方程a2+22＝（4﹣a）2，解方程即可求得a的值，易得点E的坐标；

（2）△CEM的等腰三角形，利用全等三角形（△CBE≌△CDE）的性质得到∠BEC＝∠CED，由平行线的性质和等量代换推知∠CED＝∠ECM．所以EM＝CM，证得△CEM的等腰三角形；

（3）点M'不在此抛物线上．设M（m，0）．由相似三角形（△DOM∽△DAE）的对应边成比例求得m的值，易得CM的长度，根据翻折的性质知EM＝EM′．易得四边形CMEM′是菱形．由菱形的对边相等的性质可以求得点M′的坐标，将m＝﹣代入函数解析式进行验证即可．

【解答】解：（1）如图1所示，∵抛物线y＝x2+x+3与x轴交于C，当y＝0时，x2+x+3＝0．

解得x1＝﹣，x2＝﹣4．

∵点C在点F左边，

∴点C的坐标是（﹣4，0）．

当x＝0时，y＝3．

∴点D的坐标是（0，3）．

∵AD＝2，D（0，3），

∴OA＝5．

∵点B坐标为（﹣4，5），

∴BA∥x轴．

在Rt△EAD中，设EA＝a，EB＝4﹣a．

又BE＝ED，

∴DE＝4﹣a．

∴a2+22＝（4﹣a）2，得a＝﹣．

∴点E的坐标是（﹣，5）．

（2）如图2所示，△CEM的等腰三角形．理由如下：

由C（﹣4，0），D（0，3）知，OC＝4，OD＝3．

由勾股定理求得CD＝5．

又∵点B坐标为（﹣4，5），

∴CB＝5，CD＝CB．

又∵BE＝BD，

∴△CBE≌△CDE（SSS）．

∴∠BEC＝∠CED．

又∵BE∥CM，

∴∠BEC＝∠ECM，

∴∠CED＝∠ECM．

∴EM＝CM．

∴△MCE是等腰三角形．

（3）点M'不在此抛物线上．理由如下：

如图3所示，设点M的坐标是（m，0）．

∵△DOM∽△DAE．

∴＝，即＝．

解得m＝．

∵CM＝4+＝．

由翻折可知，EM＝EM′．

∵CM＝EM，

∴四边形CMEM′是菱形．

∴EM′＝CM＝．

∴M′A＝+＝．

∴点M′的坐标是（﹣，5）．

当m＝﹣时，代入抛物线解析式y＝x2+x+3，得

y＝（﹣）2+×（﹣）+3＝≠5．

∴点M′不在此抛物线上．

23．（13分）综合与实践：

问题情境：（1）如图1，点E是正方形ABCD边CD上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．

①线段BE和BF的数量关系是　BE＝BF　；

②写出线段DE、DF和BD之间的数量关系，并说明理由；

操作探究：（2）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边CD所在直线上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．

①如图2，点E在线段DC上时，请探究线段DE、DF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明．

②如图3，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若DE＝DC＝2a，直接写出线段FM和AG的长度．

【分析】（1）①根据旋转的性质解答即可；

②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；

（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；

②根据相似三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：（1）①∵∠DBE绕点B顺针旋转90°，如图（1）

由旋转可知，∠DBE＝∠GBF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝∠ADB＝45°，

∵∠DBG＝90°，

∴∠G＝45°，

∴∠G＝∠BDG，

∴GB＝BD，

∴△GBF≌△DBE（SAS），

∴BE＝BF；

故答案为：BE＝BF

②DF+DE＝BD，理由如下：

由旋转可知，∠DBE＝∠GBF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝∠ADB＝45°，

∵∠DBG＝90°，

∴∠G＝45°，

∴∠G＝∠BDG，

∴GB＝BD，

∴△GBF≌△DBE（SAS），

∴DE＝GF，

∴DF+DE＝DG，

∵DG＝BD，

即DE+DF＝BD；

（2）①DF+DE＝BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝，

由旋转120°得∠EBF＝∠DBG＝120°，∠EBD＝∠FBG，

在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

∴∠BDG＝∠G＝30°，

∴BD＝BG，

∴△EBD≌△FBG（ASA），

∴DE＝FG，

∴DE+DF＝DF+FG＝DG，

过点B作BM⊥DG于点M，如图（2）

∵BD＝BG，

∴DG＝2DM，

在Rt△BMD中，∠BDM＝30°，

∴BD＝2BM．

设BM＝a，则BD＝2a，

DM＝，

∴DG＝2a，

∴，

∴DF+DE＝BD，

②过点B作BM⊥DG，BN⊥DC，如图（3）

∵DE＝DC＝2a，

由①中同理可得：FM＝7a，AG＝4a．

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