著名不等式公式

三角形内角的嵌入不等式

三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数 x、y、z，有：

算术-几何平均值不等式

在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为 n 个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：

等号成立当且仅当 。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子

在 n = 4 的情况，设: ， 那么

.

可见。

历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n = 2的情况很早就为人所知，但对于一般的 n，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：

命题Pn：对任意的 n 个正实数，

1. 当 n=2 时，P2 显然成立。

2. 假设 Pn 成立，那么 P2n 成立。证明：对于2n 个正实数，

3. 假设Pn成立，那么Pn − 1成立。证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成立， 。

但是 ， ，因此上式正好变成

综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数 ，命题 Pn 都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 k，命题 都成立。因此对任意的 ，可以先找 k 使得 ，再结合第三条就可以得到命题 Pn 成立了。

归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：

由对称性不妨设 xn + 1 是 中最大的，由于 ，设 ，则 ，并且有 。

根据二项式定理，

于是完成了从 n 到 n + 1 的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明[3]：

在 n 的情况下有不等式 和 成立，于是：

所以 ，从而有。

基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数 实际上等于 ，因此算术-几何平均不等式等价于：

。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 和 为正实数，并且 ，那么：

。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵

设 ，，那么有：

也就是说：对 k 个纵列取算术平均数，它们的几何平均大于等于对 n 个横行取的 n 个几何平均数的算术平均。

极限形式

也称为积分形式：对任意在区间[0,1]上可积的正值函数 f，都有

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后，将两边的黎曼和中的 n 趋于无穷大后得到的形式。

伯努利不等式

数学中的伯努利不等式是说：对任意整数，和任意实数，

；

如果是偶数，则不等式对任意实数x成立。

可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数和任意实数，，有严格不等式：

。

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

[编辑] 证明和推广

伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n = 0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数时成立，那么

。

下面是推广到实数幂的版本：如果x > − 1，那么：

若或，有；

若，有。

这不等式可以用导数比较来证明：

当r = 0,1时，等式显然成立。

在上定义f(x) = (1 + x)r − (1 + rx)，其中， 对x微分得f'(x) = r(1 + x)r − 1 − r， 则f'(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论：

1 0 < r < 1，则对x > 0，f'(x) < 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0，故得。

2 r < 0或r > 1，则对x > 0，f'(x) > 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0时取最小值0，故得。

在这两种情况，等号成立当且仅当x = 0。

[编辑] 相关不等式

下述不等式从另一边估计(1 + x)r：对任意x, r > 0，都有

。

佩多不等式

几何学的佩多不等式，是关连两个三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。这不等式指出：如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A,B,C，面积为F，那么：

，

等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边成比例；

也就是a / A = b / B = c / C。

[编辑] 证明

▪ 由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为

16f2 = (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(b + c − a) = (a2 + b2 + c2)2 − 2(a4 + b4 + c4)

16F2 = (A + B + C)(A + B − C)(A − B + C)(B + C − A) = (A2 + B2 + C2)2 − 2(A4 + B4 + C4),

再由柯西不等式，

16Ff + 2a2A2 + 2b2B2 + 2c2C2

= (a2 + b2 + c2)(A2 + B2 + C2)

于是，

= A2(b2 + c2 − a2) + B2(a2 + c2 − b2) + C2(a2 + b2 − c2) ，命题得证。

等号成立当且仅当,也就是说两个三角形相似。

ABC是第一个三角形，A'B'C'是取相似后的第二个三角形，BC与B'C'重合

▪ 几何证法

三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数λ2，使得λA = a，几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。

设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。

考虑 AA' 的长度。由余弦公式，

将,代入就变成：

两边化简后同时乘以，并注意到a=x，就可得到原不等式。

等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。

内斯比特不等式

内斯比特不等式是数学的一条不等式，它说对任何正实数a，b，c，都有：

[编辑] 证明

此不等式证明方法很多，例如从平均数不等式我们有：

，

移项得出：

，

整理左式：

，

。

因而不等式得证。

埃尔德什－莫德尔不等式

如图，埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和（绿色线段）大于到三边距离之和（蓝色线段）的两倍

在几何学中，埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了：对于任何三角形ABC和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。

埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于内切圆半径的两倍。

[编辑] 历史

该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出，作为第3740号问题。两年之后，由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。1957年，卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明[1]。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。

[编辑] 证明

如右图，O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段OA、OB、OC的长度分别是x、y、z，线段OD、OE、OF的长度分别是p、q、r，那么埃尔德什-莫德尔不等式为：

一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。

首先，由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，A、F、O、E四点共圆且OA为直径，因此线段（角A为顶点A对应的内角）。

过点F、E作关于BC的垂线交BC于X、Y。过O作BC的平行线分别交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，，。于是：

另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的长度大于等于直角腰UV。因此：

类似地，还有：

，

三式相加，得到：

根据均值不等式，，等等，于是最终得到：

这就是埃尔德什-莫德尔不等式。

外森比克不等式

设三角形的边长为a,b,c，面积为A，则外森比克不等式（Weitzenböck's inequality）成立。当且仅当三角形为等边三角形，等号成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。

[编辑] 证明一

除了“所有平方数非负”以外，这个证明不用到其它任何不等式。

两边取平方根，即得证。

舒尔不等式

舒尔不等式说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：

当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。

[编辑] 证明

由于不等式是对称的，我们不妨设。则不等式

显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。把它整理，即得舒尔不等式。

[编辑] 推广

舒尔不等式有一个推广：

假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是顺序的，则以下的不等式成立：

2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：

考虑，其中，而且要么，要么。设，并设要么是凸函数，要么是单调函数。那么：

当x = a、y = b、z = c、k = 1、ƒ(m) = mr时，即化为舒尔不等式。[1]

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d7875e40ff00bed5b9f31db3.html