河北省衡水中学2018届高三下学期第一次调考（文数）

河北省衡水中学2018届高三下学期第一次调考

数学（文科）

本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 若集合，，则 ( )

A． B． C． D．

2． 若复数的共轭复数，则在复平面内对应的点位于 ( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3． 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为 ( )

A． B． C． D．

4． 已知，那么“”的充要条件是 ( )

A． B． C． D．

5． 已知在中，．若，则的值为 ( )

A． B． C． D．

6． 将函数的图像向左平移个单位长度后得到的函数图像关于轴对称，则的一个可能取值为 ( )

A． B． C．0 D．

7． 在等差数列中，，且公差，则其前项和取最小值时的值为

( )

A．6 B．7或 8 C．8 D．9

8． 刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方，得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．” 意思是把一个长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一个堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2∶1，这个比率是不变的．如图是一个阳马的三视图，则其表面积为 ( )

A．2 B． C． D．

9．已知双曲线与直线交于，两点，其中，，，．若，且，则双曲线的渐近线方程为 ( )

A． B． C． D．

10．下面四个推理中，属于演绎推理的是 ( )

A．观察下列各式：，，，…，则的末两位数字为43

B．观察，，，可得偶函数的导函数为奇函数

C．在平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8

D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生还原反应

11．设是定义在上的偶函数，且，当时，，若关于的方程（，且）在区间内恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ( )

A． B． C． D．

12．若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有，则为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使，则实数的取值范围是 ( )

A． B． C． D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．抛物线的准线方程为 ．

14．已知实数满足约束条件则的最大值为 ．

15．某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，随机抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示．其中支出的金额在的同学比支出的金额在的同学多26人，则的值为 ．

16．已知等比数列的公比为，且第11项的平方等于第6项，若存在正整数使得，则的最大值为 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

设函数

(1)求函数的单调递增区间；

(2)已知的内角分别为，若，且能够覆盖住的最大圆的面积为，求的最小值．

18．（12分）

在如图所示的五面体中，，，，四边形为正方形，平面平面

(1)证明：在线段上存在一点，使得平面

(2)求的长．

19．（12分）

某中学参加数学选修课的同学，对某公司一种产品的年销量（单位：kg）与定价（单位：元/kg）进行了统计，得到如下数据和散点图．

(1)根据散点图判断，与，与哪一对具有较强的线性相关性？（给出判断即可， 不必说明理由）

(2)根据(1)的判断结果及数据，建立关于的回归方程（精确到0.01）．

(3)当该产品定价为70.50元/kg时，年销售额的预报值是多少？

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和 截距的最小二乘估计分别为，

参考数据：，， ，，

20．（12分）

如图，在平面直角坐标系中，已知圆，点，，以为圆心，为半径作圆，交圆于点，且的平分线交线段于点

(1)当变化时，点始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；

(2)已知过点的直线与曲线交于两点，记的面积为，的面积为，求的取值范围．

21．（12分）

已知函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，记函数的极小值为，若恒成立，求满足条件的最小整数

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，其中）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)已知直线与曲线交于两点，记对应的参数分别为，当时，求的值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数

(1)若，解不等式；

(2)若对任意，恒有，求实数的取值范围．

数学（文科）参考答案

一、选择题

1．B 2．A 3．C 4．A 5．B 6．A 7．B 8．B 9．B 10．D

11．D 12．B

二、填空题

13． 14．8 15．100 16. 30

三、解答题

17．解：(1)

（3分）

则，

解得

所以函数的单调递增区间为 （6分）

(2)，

又，所以 （7分）

由题意知的内切圆半径为1．

设角所对的边分别为，如图所示．

可得，①

由余弦定理得，②

联立①②式，得，

则，

解得或（舍）． （10分）

，

当且仅当时，的最小值为6． （12分）

18．(1)证明：如图，取的中点，连接

因为，，，

所以，所以，

又四边形是正方形，所以，

所以，，

故四边形为平行四边形，

所以 （4分）

又平面，平面，

所以平面 （6分）

(2)解：因为平面平面，平面平面，

又，平面，所以平面，

又平面，所以 （8分）

因为，且，所以，

又，所以 （10分）

又由(1)知，

所以 （12分）

19．解：(1)由散点图可以判断，与具有较强的线性相关性． （2分）

(2)由题得，

，

（7分）

所以关于的线性回归方程为

所以关于的回归方程为 （9分）

(3)设年销售额关于的函数为，

则

当时，（元）．

所以定价为70.50元/kg时，年销售额的预报值为3849.30元． （12分）

20．解：(1)因为，，，

所以≌，所以

又

所以

由椭圆的定义可知，曲线是以为焦点，长轴长为4的椭圆，

所以曲线的方程为 （5分）

(2)由题设直线，，

则，，

所以 （7分）

由得，

，， （9分）

则，

即，

所以，

所以 （12分）

21．解：(1)的定义域为，

．

①若，当时，，

所以函数在区间内单调递减．

②若，由，得，，

(ⅰ)若，当时，；

当时，

所以函数在区间内单调递减，在区间，内单调递增．

(ⅱ)若，，函数在区间内单调递增．

(ⅲ)若，当时，；

当时，

所以函数在区间内单调递减，在区间，内单调递增．（5分）

(2)由(1)知当时，函数在区间内单调递减，在区间，内 单调递增．

所以当时，的极小值为

恒成立，即恒成立． （7分）

设，

则

令，

当时，，

所以在区间内单调递减，

且，

所以，使，

所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减． （10分）

所以，

又，

则，其中

因为在区间内单调递增，

所以

因为，，所以 （12分）

22．解：(1)直线的普通方程为（其中）．

曲线的直角坐标方程为 （4分）

(2)由题知直线恒过定点，又，

由参数方程的几何意义可知，是线段的中点．

曲线是以为圆心，半径的圆，且 （8分）

所以 （10分）

23．解：(1)当时，原不等式为，

①当时，不等式化为，

等价于或解得

②当时，不等式化为，

解得

所以原不等式的解集为或 （5分）

(2)

对任意，恒有，则

又当即时，有最小值 （8分）

由题意得解得

所以实数的取值范围是 （10分）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d9e024a3bc64783e0912a21614791711cc79799d.html