2018-2019学年江西省景德镇市九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年江西省景德镇市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共18分）

1．（3分）如图是某零件的示意图，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣1的顶点坐标为（　　）

A．（﹣2，7） B．（﹣2，﹣25） C．（2，7） D．（2，﹣9）

3．（3分）下列命题正确的是（　　）

A．平行四边形的对角线互相垂直平分

B．矩形的对角线互相垂直平分

C．菱形的对角线互相平分且相等

D．正方形的对角线互相垂直平分

4．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个实数解，则实数m的取值范围（　　）

A．m≤6 B．m≤6且m≠2 C．m＜6且m≠2 D．m＜6

5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为（　　）

A． B．1 C． D．

6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

7．（3分）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝　 　．

8．（3分）如图，点E是正方形CD边上一点，且△ABE的面积为4.5，DE＝1，则线段BE的长度为　 　．

9．（3分）由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是　 　．

10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为　 　．

11．（3分）若x1、x2为方程x2+2x﹣5＝0的两根，且A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数y＝上，y1+y2＝﹣4，则k＝　 　．

12．（3分）x为实数，且满足（2x+3）x+4＝1，则实数x＝　 　．

三、解答题（每小题6分，共30分）

13．（6分）（1）解方程：（y+2）2＝（2y+1）2；

（2）已知a2+3a+1＝0，求（2a+1）2﹣2（a2﹣a）+4的值．

14．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AB上一点，且AE＝2，连接DE并延长交CB的延长线于点F，求BF的长．

15．（6分）请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．

（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；

（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．

16．（6分）2019年春节，小娜家购买了4个灯笼，灯笼上，灯笼上分别写有“欢”、“度”、“春”、“节”（外观完全一样）．

（1）小娜抽到“2019年”是　 　事件，“欢”字被抽中的是　 　事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）．小娜从四个灯笼中任取一个，取到“春”的概率是　 　．

（2）小娜从四个灯笼中先后取出两个灯笼，请用列表法或画树状图法求小娜恰好取到“春”、“节”两个灯笼的概率．

17．（6分）初中老师在讲授某一次实验中，测得两个变量之间的关系如下表所示：

请你根据表格回答下列问题：

（1）这两个变量之间可能是怎样的函数关系？你是怎样作出判断的？请你简要说明理由；

（2）请你写出这个函数的解析式；

（3）表格中空缺的数值可能是多少？请你给出合理的数值．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）2018年3月，某市教育主管部门在初中生中开展了“文明礼仪知识竞赛”活动，活动结束后，随机抽取了部分同学的成绩（x均为整数，总分100分），绘制了如下尚不完整的统计图表．

调查结果统计表

根据以上信息解答下列问题：

（1）统计表中，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；

（2）扇形统计图中，m的值为　 　，“C”所对应的圆心角的度数是　 　；

（3）若参加本次竞赛的同学共有5000人，请你估计成绩在95分及以上的学生大约有多少人？

19．（8分）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在今年10月的瓷博会上某商家将进货单价为40元的艺术磁盘按50元售出时，就能卖出500个磁盘，经预测这种磁盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术磁盘每个涨价x元，请完成如下提问：

（1）用含x的代数式表示：

①每个磁盘的实际利润是　 　元；②实际的销售量是　 　个；

（2）为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？

（3）磁盘售价定为多少元时，商家可获得最大利润？

20．（8分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

五、解答题（每小题9分，共18分）

21．（9分）为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒法对教室消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（小时）成正比；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出从药物释放过程中，y与t之间的函数关系式及相应的自变量的取值范围；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

22．（9分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．

六、解答题（本大题12分）

23．（12分）已知抛物线C：y＝x2﹣（m+1）x+1的顶点在坐标轴上．

（1）求m的值；

（2）m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）个单位后与抛物线C1：y＝ax2+bx+c关于y轴对称，且C1过点（n，3），求C1的函数关系式；

（3）﹣3＜m＜0时，抛物线C的顶点为M，且过点P（1，y0）．问在直线x＝﹣1上是否存在一点Q使得△QPM的周长最小，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

2018-2019学年江西省景德镇市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共18分）

1．（3分）如图是某零件的示意图，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：该几何体的主视图为：

俯视图为：

左视图为：

故选：C．

2．（3分）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣1的顶点坐标为（　　）

A．（﹣2，7） B．（﹣2，﹣25） C．（2，7） D．（2，﹣9）

【解答】解：∵y＝﹣2x2+8x﹣1＝﹣2（x﹣2）2+7，∴顶点坐标为（2，7）．故选C．

3．（3分）下列命题正确的是（　　）

A．平行四边形的对角线互相垂直平分

B．矩形的对角线互相垂直平分

C．菱形的对角线互相平分且相等

D．正方形的对角线互相垂直平分

【解答】解：A、平行四边形的对角线互相垂直平分，是假命题；

B、矩形的对角线互相垂直平分，是假命题；

C、菱形的对角线互相平分且相等，是假命题；

D、正方形的对角线互相垂直平分，是真命题；

故选：D．

4．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个实数解，则实数m的取值范围（　　）

A．m≤6 B．m≤6且m≠2 C．m＜6且m≠2 D．m＜6

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个实数解，

∴，

解得m≤6且m≠2，

故选：B．

5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为（　　）

A． B．1 C． D．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，

∴CD＝BD＝AD，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴∠B＝60°，

∴△CBD为等边三角形，

∴CD＝BC＝2，

∵E，F分别为AC，AD的中点，

∴EF＝CD＝1，

故选：B．

6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，

∴a＞0，

∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，

∴a、b异号，即b＜0．

∵当x＝1时，y＜0，

∴a+b+c＜0．

∴一次函数y＝bx+a的图象经过第一、二、四象限，

反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，

故选：B．

二、填空题（每小题3分，共18分）

7．（3分）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝　2019　．

【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0得a+b﹣2019，

所以a+b＝2019．

故答案为2019．

8．（3分）如图，点E是正方形CD边上一点，且△ABE的面积为4.5，DE＝1，则线段BE的长度为　　．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CD＝AD＝BC，∠C＝90°，

∵S正方形ABCD＝2S△ABE＝2×4.5＝9，

∴AB＝CD＝BC＝3，

∵DE＝1，

∴EC＝2，

在Rt△BCE中，∵∠C＝90°，BC＝3，EC＝2，

∴BE＝＝＝，

故答案为．

9．（3分）由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是　4或5　．

【解答】解：结合主视图和俯视图可知，上层最多有2个，最少1个，下层一定有3个，

∴组成这个几何体的小正方体的个数可能是4个或5个，

故答案为：4或5．

10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为　15　．

【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，

∴∠DAQ＝∠BAQ．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，BC＝AD＝3，∠BAQ＝∠DQA，

∴∠DAQ＝∠DQA，

∴△AQD是等腰三角形，

∴DQ＝AD＝3．

∵DQ＝2QC，

∴QC＝DQ＝，

∴CD＝DQ+CQ＝3+＝，

∴平行四边形ABCD周长＝2（DC+AD）＝2×（+3）＝15．

故答案为：15．

11．（3分）若x1、x2为方程x2+2x﹣5＝0的两根，且A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数y＝上，y1+y2＝﹣4，则k＝　﹣10　．

【解答】解：∵x1、x2为方程x2+2x﹣5＝0的两根，

∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣5

∵A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数y＝上，

∴y1＝，y2＝

∵y1+y2＝﹣4，

∴＝﹣4

∴＝﹣4

∴k＝﹣10

故答案为：﹣10

12．（3分）x为实数，且满足（2x+3）x+4＝1，则实数x＝　﹣4或﹣2或﹣1　．

【解答】解：如果（2x+3）x+4＝1，则x+4＝0或2x+3＝1或﹣1，

即x＝﹣4或x＝﹣1或x＝﹣2，

当x＝﹣4时，（2x+3）0＝1，

当x＝﹣1时，13＝1，

当x＝﹣2时，（﹣1）2＝1，

故答案为：﹣4或﹣2或﹣1．

三、解答题（每小题6分，共30分）

13．（6分）（1）解方程：（y+2）2＝（2y+1）2；

（2）已知a2+3a+1＝0，求（2a+1）2﹣2（a2﹣a）+4的值．

【解答】解：（1）（y+2）2＝（2y+1）2，

（y+2）2﹣（2y+1）2＝0，

（y+2+2y+1）（y+2﹣2y﹣1）＝0，

∴3y+3＝0或﹣y+1＝0，

∴y1＝﹣1，y2＝1；

（2）（2a+1）2﹣2（a2﹣a）+4

＝4a2+4a+1﹣2a2+2a+4

＝2a2+6a+5

＝2（a2+3a）+5

∵a2+3a+1＝0，

∴a2+3a＝﹣1，

∴原式＝2×（﹣1）+5＝3．

14．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AB上一点，且AE＝2，连接DE并延长交CB的延长线于点F，求BF的长．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BF，

∴∠A＝∠FBE，∠ADE＝∠F，

∴△AED∽△BEF，

∴．

∵AB＝3，AE＝2，

∴BE＝1，

∴＝，

∴BF＝2．

15．（6分）请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．

（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；

（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．

【解答】解：（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；

（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．

16．（6分）2019年春节，小娜家购买了4个灯笼，灯笼上，灯笼上分别写有“欢”、“度”、“春”、“节”（外观完全一样）．

（1）小娜抽到“2019年”是　不可能　事件，“欢”字被抽中的是　随机　事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）．小娜从四个灯笼中任取一个，取到“春”的概率是　　．

（2）小娜从四个灯笼中先后取出两个灯笼，请用列表法或画树状图法求小娜恰好取到“春”、“节”两个灯笼的概率．

【解答】解：（1）小娜抽到“2019年”是不可能事件，“欢”字被抽中的是随机事件．小娜从四个灯笼中任取一个，取到“春”的概率是，

故答案为：不可能，随机，．

（2）画树状图如下：

共12种可能，“春”，“节”被抽中的概率是：P＝＝．

17．（6分）初中老师在讲授某一次实验中，测得两个变量之间的关系如下表所示：

请你根据表格回答下列问题：

（1）这两个变量之间可能是怎样的函数关系？你是怎样作出判断的？请你简要说明理由；

（2）请你写出这个函数的解析式；

（3）表格中空缺的数值可能是多少？请你给出合理的数值．

【解答】解：（1）由表中自变量x和因变量y的数值可知：

自变量x和因变量y的乘积都等于0.12，且随着自变量x值的逐渐增加，因变量y的值逐渐减少，故两个变量x和y之间可能是反比例函数关系．

（2）∵两自变量的乘积等于0.12，且两自变量为反比例函数关系，

∴y＝；

（3）将x＝3代入得：y＝0.04； 将y＝0.015代入得：x＝8；

故答案为：8，0.04．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）2018年3月，某市教育主管部门在初中生中开展了“文明礼仪知识竞赛”活动，活动结束后，随机抽取了部分同学的成绩（x均为整数，总分100分），绘制了如下尚不完整的统计图表．

调查结果统计表

根据以上信息解答下列问题：

（1）统计表中，a＝　225　，b＝　500　，c＝　0.3　；

（2）扇形统计图中，m的值为　45　，“C”所对应的圆心角的度数是　108°　；

（3）若参加本次竞赛的同学共有5000人，请你估计成绩在95分及以上的学生大约有多少人？

【解答】解：（1）b＝50÷0.1＝500，

a＝500﹣（50+75+150）＝225，

c＝150÷500＝0.3；

故答案为：225，500，0.3；

（2）m%＝×100%＝45%，

∴m＝45，

“C”所对应的圆心角的度数是360°×0.3＝108°，

故答案为：45，108°；

（3）5000×0.45＝2250，

答：估计成绩在95分及以上的学生大约有2250人．

19．（8分）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在今年10月的瓷博会上某商家将进货单价为40元的艺术磁盘按50元售出时，就能卖出500个磁盘，经预测这种磁盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术磁盘每个涨价x元，请完成如下提问：

（1）用含x的代数式表示：

①每个磁盘的实际利润是　（50﹣40+x）　元；②实际的销售量是　（500﹣10x）　个；

（2）为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？

（3）磁盘售价定为多少元时，商家可获得最大利润？

【解答】解：（1）①每个磁盘的实际利润是：（50﹣40+x）；

②实际的销售量是：（500﹣10x）；

故答案为：（50﹣40+x）；（500﹣10x）；

（2）设瓷盘每个涨价x元能赚得8000元的利润，

即售价定为每个（x+50）元，应进货（500﹣10x）个，

依题意得：（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000，

解得：x1＝10 x2＝30，

当涨价x＝10元时，则实际售价为x+50＝60元，（需售出瓷盘500﹣10x＝400个），

当涨价x＝30元时，则实际售价为x+50＝80元，（需售出瓷盘500﹣10x＝200个）；

∴尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为60元；

（3）设售价定为y元，总利润为W元，则

W＝（y﹣40）[500﹣10（y﹣50）]＝﹣10y2+1400y﹣40000，

∵﹣10＜0，∴函数W有最大值，当y＝﹣＝70时，W最大，

即定价为70元时，可获得最大润．

20．（8分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠FAE＝∠CDE，

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE，

又∵∠FEA＝∠CED，

∴△FAE≌△CDE，

∴CD＝FA，

又∵CD∥AF，

∴四边形ACDF是平行四边形；

（2）BC＝2CD．

证明：∵CF平分∠BCD，

∴∠DCE＝45°，

∵∠CDE＝90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CD＝DE，

∵E是AD的中点，

∴AD＝2CD，

∵AD＝BC，

∴BC＝2CD．

五、解答题（每小题9分，共18分）

21．（9分）为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒法对教室消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（小时）成正比；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出从药物释放过程中，y与t之间的函数关系式及相应的自变量的取值范围；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

【解答】解：（1）药物释放过程中y与x的函数关系式为

y＝x（0≤x≤12）

药物释放完毕后y与x的函数关系式为y＝（x≥12）；

（2）＝0.45，

解之得x＝240（分钟）＝4（小时），

答：从药物释放开始，至少需要经过4小时后，学生才能进入教室．

22．（9分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．

【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，

①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；

②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；

③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；

所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形；

（2）∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠CAD，

又∵∠BAC＝∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

∴＝，即CA2＝BC•AD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AB＝AD，

∴CA2＝BC•AB，

∴△ABC是比例三角形；

（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵AB＝AD，

∴BH＝BD，

∵AD∥BC，∠ADC＝90°，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BHA＝∠BCD＝90°，

又∵∠ABH＝∠DBC，

∴△ABH∽△DBC，

∴＝，即AB•BC＝BH•DB，

∴AB•BC＝BD2，

又∵AB•BC＝AC2，

∴BD2＝AC2，

∴＝．

六、解答题（本大题12分）

23．（12分）已知抛物线C：y＝x2﹣（m+1）x+1的顶点在坐标轴上．

（1）求m的值；

（2）m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）个单位后与抛物线C1：y＝ax2+bx+c关于y轴对称，且C1过点（n，3），求C1的函数关系式；

（3）﹣3＜m＜0时，抛物线C的顶点为M，且过点P（1，y0）．问在直线x＝﹣1上是否存在一点Q使得△QPM的周长最小，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

【解答】（1）解：当抛物线C的顶点在x轴上时，△＝[﹣（m+1）]2﹣4＝0，

解得m＝1或m＝﹣3，

当抛物线C的顶点在y轴上时，﹣（m+1）＝0，

∴m＝﹣1，

即：m＝±1或m＝﹣3，

答：m的值是m＝±1或m＝﹣3．

（2）解：当m＞0时，m＝1，

抛物线C的解析式为y＝x2﹣2x+1，

向下平移n（n＞0）个单位后得到y＝x2﹣2x+1﹣n，

抛物线y＝x2﹣2x+1﹣n与抛物线C1：y＝ax2+bx+c关于y轴对称，

∴a＝1，b＝2，c＝1﹣n，

∴抛物线C1：y＝x2+2x+1﹣n，

∵抛物线C1过点（n，3）

∴n2+2n+1﹣n＝3，即n2+n﹣2＝0，

解得n1＝1，n2＝﹣2（由题意n＞0，舍去）∴n＝1

∴抛物线C1：y＝x2+2x，

答：C1的函数关系式是y＝x2+2x．

（3）解：存在，理由是：

当﹣3＜m＜0时m＝﹣1，

抛物线C的解析式是y＝x2+1，

顶点M（0，1），

∵过点P（1，y0），

∴y0＝1+1＝2，

∴P（1，2），

作点M（0，1）关于直线x＝﹣1的对称点M′（﹣2，1），

设直线PM′的解析式为y＝kx+b，

把P（1，2），M′（﹣2，1）代入得：，

解得：，

∴直线PM′的解析式为，

∴，

答：在直线x＝﹣1上存在一点Q，使得△QPM的周长最小，点Q的坐标是（﹣1，）．

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