2017年河南省中考数学临考试卷（b卷）（解析版）

2017年河南省中考数学临考试卷（B卷）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列实数中的无理数是（　　）

A．π B． C．0.7 D．﹣8

2．郑州已经正式被定为国家中心城市！作为郑州发展的核心，郑州机场2016年全年完成旅客吞吐量2076万次，同比增长20%，强数据2076万用科学记数法表示为（　　）

A．2.076×108 B．2076×106 C．0.2076×108 D．2.076×107

3．下列四个几何体中，左视图为圆的是（　　）

A． B． C． D．

4．下列运算结果正确的是（　　）

A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5

5．已知直线a∥b，一块直角三角板如图所示放置，若∠1=37°，则∠2的度数是（　　）

A．37° B．53° C．63° D．27°

6．上体育课时，小明5次投掷实心球的成绩如下表所示，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）

A．8.2，8.2 B．8.0，8.2 C．8.2，7.8 D．8.2，8.0

7．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中，不正确的是（　　）

A．AD=AE B．DE=EC C．∠ADE=∠C D．DB=EC

8．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC=1，tan∠BOC=，则k2的值是（　　）

A．﹣3 B．1 C．2 D．3

9．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

10．如图，一根长为5米的竹竿AB斜立于墙MN的右侧，底端B与墙角N 的距离为3米，当竹竿顶端A下滑x米时，底端B便随着向右滑行y米，反映y与x变化关系的大致图象是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11．计算﹣3=　 　．

12．已知关于x的方程3a﹣x=+3的解为2，则代数式a2﹣2a+1的值是　 　．

13．把三张形状、大小均相同但画面不同的风景图片都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，背面朝上，从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是　 　．

14．如图，⊙O的半径是4，圆周角∠C=60°，点E时直径AB延长线上一点，且∠DEB=30°，则图中阴影部分的面积为　 　．

15．如图，△ABC中，AB=，AC=5，tanA=2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16．先化简，再求值：（﹣a）÷（1+），其中a是不等式﹣＜a＜的整数解．

17．小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的总人数是多少？

（2）试求表示A组的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图．

（3）如果骑自行车的平均速度为12km/h，请估算，在租用公共自行车的市民中，骑车路程不超过6km的人数所占的百分比．

18．如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC，OC．

（1）求证：△OAP≌△OCP；

（2）若半圆O的半径等于2，填空：

①当AP=　 　时，四边形OAPC是正方形；

②当AP=　 　时，四边形BODC是菱形．

19．数学小组的两位同学准备测量两幢教学楼之间的距离，如图，两幢教学楼AB和CD之间有一景观池（AB⊥BD，CD⊥BD），一同学在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，另一同学在C点测得E点的俯角为45°（点B，E，D在同一直线上），两个同学已经在学校资料室查出楼高AB=15m，CD=20m，求两幢教学楼之间的距离BD．

（结果精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

20．新学期开学了，文具店张经理购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：

（1）张经理如何进货，才能使进货款恰好为1300元？

（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮张经理设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．

21．阅读下面材料：

上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．

小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1=x2﹣2x﹣1，y2=a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．

请结合小捷的思路回答：

对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是　 　．

参考小捷思考问题的方法，解决问题：

关于x的方程x﹣4=在0＜a＜4范围内有两个解，求a的取值范围．

22．已知：等边△ABC的边长为4，点P在线段AB上，点D在线段AC上，且△PDE为等边三角形，当点P与点B重合时（如图1），AD+AE的值为　 　；

[类比探究]在上面的问题中，如果把点P沿BA方向移动，使PB=1，其余条件不变（如图2），AD+AE的值是多少？请写出你的计算过程；

[拓展迁移]如图3，△ABC中，AB=BC，∠ABC=a，点P在线段BA延长线上，点D在线段CA延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=a，设AP=m，则线段AD、AE有怎样的等量关系？请用含m，a的式子直接写出你的结论．

23．如图1，二次函数y=ax2+bx+3经过点A（3，0），G（﹣1，0）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点M时抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM面积的最大值；

（3）抛物线的对称轴交x轴于点P，过点E（0， ）作x轴的平行线，交AB于点F，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2017年河南省中考数学临考试卷（B卷）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列实数中的无理数是（　　）

A．π B． C．0.7 D．﹣8

【考点】26：无理数．

【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：π是无理数．

故选：A．

2．郑州已经正式被定为国家中心城市！作为郑州发展的核心，郑州机场2016年全年完成旅客吞吐量2076万次，同比增长20%，强数据2076万用科学记数法表示为（　　）

A．2.076×108 B．2076×106 C．0.2076×108 D．2.076×107

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将2076万用科学记数法表示为：2.076×107，

故选：D．

3．下列四个几何体中，左视图为圆的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】U1：简单几何体的三视图．

【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．

【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，

所以，左视图是圆的几何体是球．

故选：C

4．下列运算结果正确的是（　　）

A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5

【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、a2与a3是加，不是乘，不能运算，故本选项错误；

B、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；

C、a3÷a2=a3﹣2=a，故本选项正确；

D、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误．

故选C．

5．已知直线a∥b，一块直角三角板如图所示放置，若∠1=37°，则∠2的度数是（　　）

A．37° B．53° C．63° D．27°

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】首先作平行线，然后根据平行线的性质可得到∠1+∠2=90°，据此求出∠2的度数．

【解答】解：作直线AB∥a，

∵a∥b

∴AB∥a∥b，

∵AB∥a，

∴∠1=∠3，

∵AB∥b，

∴∠2=∠4，

∵∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠1=37°，

∴∠2=90°﹣37°=53°，

故选：B．

6．上体育课时，小明5次投掷实心球的成绩如下表所示，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）

A．8.2，8.2 B．8.0，8.2 C．8.2，7.8 D．8.2，8.0

【考点】W5：众数；W4：中位数．

【分析】将小明投球的5次成绩按从小到大的顺序排列，根据数的特点结合众数和中位数的定义即可得出结论．

【解答】解：按从小到大的顺序排列小明5次投球的成绩：

7.5，7.8，8.0，8.2，8.2．

其中8.2出现2次，出现次数最多，8.0排在第三，

∴这组数据的众数与中位数分别是：8.2，8.0．

故选D．

7．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中，不正确的是（　　）

A．AD=AE B．DE=EC C．∠ADE=∠C D．DB=EC

【考点】KH：等腰三角形的性质；JA：平行线的性质．

【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．

【解答】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B=∠AED=∠C，

∴AE=AD，

∴∠ADE=∠B，

∵AB=AC，

∴AD=AE，DB=EC，

而DE不一定等于EC，

故选B．

8．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC=1，tan∠BOC=，则k2的值是（　　）

A．﹣3 B．1 C．2 D．3

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．

【解答】解：∵直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，

∴点C的坐标为（0，2），

∴OC=2，

∵S△OBC=1，

∴BD=1，

∵tan∠BOC=，

∴=，

∴OD=3，

∴点B的坐标为（1，3），

∵反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，

∴k2=1×3=3．

故选D．

9．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【考点】L5：平行四边形的性质．

【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，

∴∠F=∠DCF，

∵CF平分∠BCD，

∴∠FCB=∠DCF，

∴∠F=∠FCB，

∴BF=BC=8，

同理：DE=CD=6，

∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，

∴AE+AF=4；

故选：C．

10．如图，一根长为5米的竹竿AB斜立于墙MN的右侧，底端B与墙角N 的距离为3米，当竹竿顶端A下滑x米时，底端B便随着向右滑行y米，反映y与x变化关系的大致图象是（　　）

A． B． C． D．

【考点】E7：动点问题的函数图象．

【分析】在直角三角形ABN中，利用勾股定理求出AN的长，进而表示出A点下滑时AN与NB的长，确定出y与x的关系式，即可做出判断．

【解答】解：在Rt△ABN中，AB=5米，NB=3米，

根据勾股定理得：AN==4米，

若A下滑x米，AN=（4﹣x）米，

根据勾股定理得：NB==3+y，

整理得：y=﹣3，

当x=0时，y=0；当x=4时，y=2，且不是直线变化的，

故选A．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11．计算﹣3=　　．

【考点】78：二次根式的加减法．

【分析】原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果．

【解答】解：原式=2﹣3×

=2﹣

=．

故答案为：．

12．已知关于x的方程3a﹣x=+3的解为2，则代数式a2﹣2a+1的值是　1　．

【考点】85：一元一次方程的解．

【分析】先把x=2代入方程求出a的值，再把a的值代入代数式进行计算即可．

【解答】解：∵关于x的方程3a﹣x=+3的解为2，

∴3a﹣2=+3，解得a=2，

∴原式=4﹣4+1=1．

故答案为：1．

13．把三张形状、大小均相同但画面不同的风景图片都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，背面朝上，从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是　　．

【考点】X6：列表法与树状图法．

【分析】用A、a、B、b、C、c表示三张不同的风景图片按同样的方式剪成相同的六片、其中A与a、B与b、C与c为同一张风景图片剪成相同的两片，画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出其中这两张图片恰好能组成一张原风景图片的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：用A、a、B、b、C、c表示三张不同的风景图片按同样的方式剪成相同的六片、其中A与a、B与b、C与c为同一张风景图片剪成相同的两片，

画树状图为：

共有30种等可能的结果数，其中这两张图片恰好能组成一张原风景图片的结果数为6，

所以这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率==．

故答案为．

14．如图，⊙O的半径是4，圆周角∠C=60°，点E时直径AB延长线上一点，且∠DEB=30°，则图中阴影部分的面积为　8﹣　．

【考点】MO：扇形面积的计算；M5：圆周角定理．

【分析】连接OD，根据圆周角定理求出∠AOD，求出∠DOB的度数，求出扇形DOB的面积和△ODE的面积，即可求出答案．

【解答】解：连接OD，

∵∠C=60°，

∴∠AOD=2∠C=120°，

∴∠DOB=60°，

∵∠DEB=30°，

∴∠ODE=90°，

∵OD=4，

∴OE=2OD=8，DE=OD=4，

∴阴影部分的面积是S=S△ODE﹣S扇形DOB=﹣=8﹣，

故答案为：8﹣．

15．如图，△ABC中，AB=，AC=5，tanA=2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为　2或5﹣　．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；T7：解直角三角形．

【分析】分两种情况：

①当点B′在AC的下方时，如图1，先根据中点的性质和重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半得：F是PC的中点，由中位线得：DF∥BP，利用平行线的性质：得内错角相等，由折叠得角相等可得：∠B′PD=∠PDF，则PB=BD，利用tan∠A==2，计算AB=，从而得AP的长；

②当点B'在AC的上方时，如图2，连接B′C，证明四边形DPCB′是平行四边形，则PC=B′D=BD=，得AP的长．

【解答】解：分两种情况：

①当点B′在AC的下方时，如图1，

∵D是BC中点，

∴S△BPD=S△PDC，

∵S△PDF=S△BPD，

∴S△PDF=S△PDC，

∴F是PC的中点，

∴DF是△BPC的中位线，

∴DF∥BP，

∴∠BPD=∠PDF，

由折叠得：∠BPD=∠B′PD，

∴∠B′PD=∠PDF，

∴PB′=B′D，

即PB=BD，

过B作BE⊥AC于E，

Rt△ABE中，tan∠A==2，

∵AB=，

∴AE=1，BE=2，

∴EC=5﹣1=4，

由勾股定理得：BC===2，

∵D为BC的中点，

∴BD=，

∴PB=BD=，

在Rt△BPE中，PE=1，

∴AP=AE+PE=1=1=2；

②当点B'在AC的上方时，如图2，连接B′C，

同理得：F是DC的中点，F是PB′的中点，

∴DF=FC，PF=FB′，

∴四边形DPCB′是平行四边形，

∴PC=B′D=BD=，

∴AP=5﹣，

综上所述，AP的长为2或5﹣；

故答案为：2或5﹣．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16．先化简，再求值：（﹣a）÷（1+），其中a是不等式﹣＜a＜的整数解．

【考点】6D：分式的化简求值；2B：估算无理数的大小．

【分析】首先化简（﹣a）÷（1+），然后根据a是不等式﹣＜a＜的整数解，求出a的值，再把求出的a的值代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．

【解答】解：（﹣a）÷（1+）

=×

=

∵a是不等式﹣＜a＜的整数解，

∴a=﹣1，0，1，

∵a≠0，a+1≠0，

∴a≠0，﹣1，

∴a=1，

当a=1时，

原式==0

17．小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的总人数是多少？

（2）试求表示A组的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图．

（3）如果骑自行车的平均速度为12km/h，请估算，在租用公共自行车的市民中，骑车路程不超过6km的人数所占的百分比．

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．

【分析】（1）根据B类人数是19，所占的百分比是38%，据此即可求得调查的总人数；

（2）利用360°乘以对应的百分比即可求解；

（3）求得路程是6km时所用的时间，根据百分比的意义可求得路程不超过6km的人数所占的百分比．

【解答】解：（1）调查的总人数是：19÷38%=50（人）；

（2）A组所占圆心角的度数是：360×=108°，

C组的人数是：50﹣15﹣19﹣4=12．

；

（3）路程是6km时所用的时间是：6÷12=0.5（小时）=30（分钟），

则骑车路程不超过6km的人数所占的百分比是：×100%=92%．

18．如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC，OC．

（1）求证：△OAP≌△OCP；

（2）若半圆O的半径等于2，填空：

①当AP=　2　时，四边形OAPC是正方形；

②当AP=　2　时，四边形BODC是菱形．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）根据切线的性质，可以得到OP⊥AC，然后利用“HL”证明：△OAP≌△OCP；

（2）①根据正方形的性质可以得到AP的长；

②先利用菱形的性质得到△OBC为等边三角形，则∠B=60°，所以∠AOP=60°，然后在Rt△OAP中利用正切的定义求AP即可．

【解答】（1）证明：∵PC切半圆O于点C，

∴OC⊥PC，

∵AM⊥AB，

∴∠OAP=90°，

在Rt△OAP和Rt△OCP中

，

∴Rt△OAP≌Rt△OCP；

（2）解：①∵Rt△OAP≌Rt△OCP，

∴PA=PC，

而OA=OC，

∴当AO=AP时，四边形OAPC为菱形，

而∠OAP=90°，

∴四边形OAPC是正方形，

此时AP=OA=2；

②∵四边形BODC是菱形，

∴OB=OD=CD=BC，BC∥OD，

∴△OBC为等边三角形，

∴∠B=60°，

∴∠AOP=60°，

在Rt△OAP中，∵tan∠AOP=，

∴AP=2tan60°=2，

即AP=2时，四边形BODC是菱形．

故答案为2，2．

19．数学小组的两位同学准备测量两幢教学楼之间的距离，如图，两幢教学楼AB和CD之间有一景观池（AB⊥BD，CD⊥BD），一同学在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，另一同学在C点测得E点的俯角为45°（点B，E，D在同一直线上），两个同学已经在学校资料室查出楼高AB=15m，CD=20m，求两幢教学楼之间的距离BD．

（结果精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AB的长，进而得出ED的长，进而得出答案．

【解答】解：由题意可得：∠AEB=42°，∠CED=45°，

故tan42°==≈0.90，

解得：AB≈16.67（m），

tan45°==1，

故DC=ED=20m，

故BD=16.67+20≈36.7（m），

答：两幢教学楼之间的距离BD为36.7m．

20．新学期开学了，文具店张经理购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：

（1）张经理如何进货，才能使进货款恰好为1300元？

（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮张经理设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．

【考点】FH：一次函数的应用；CE：一元一次不等式组的应用．

【分析】（1）设A文具为x只，则B文具为只，根据题意列出方程解答即可；

（2）设A文具为x只，则B文具为只，根据题意列出函数解答即可．

【解答】解：（1）设A文具为x只，则B文具为只，可得：

10x+15=1300，

解得：x=40．

答：A文具为40只，则B文具为100﹣40=60只；

（2）设A文具为x只，则B文具为只，可得

（12﹣10）x+（23﹣15）≤40%[10x+15]，

解得：x≥50，

设利润为y，则可得：y=（12﹣10）x+（23﹣15）=2x+800﹣8x=﹣6x+800，

因为是减函数，所以当x=50时，利润最大，即最大利润=﹣50×6+800=500元．

21．阅读下面材料：

上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．

小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1=x2﹣2x﹣1，y2=a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．

请结合小捷的思路回答：

对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是　a＜﹣2　．

参考小捷思考问题的方法，解决问题：

关于x的方程x﹣4=在0＜a＜4范围内有两个解，求a的取值范围．

【考点】HC：二次函数与不等式（组）．

【分析】请结合小捷的思路回答：直接根据函数的顶点坐标可得出a的取值范围；设y1=x2﹣4x+3，y2=a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G，于是原问题转化为y2=a与G有两个交点时a的取值范围，结合图象可得出结论．

【解答】解：请结合小捷的思路回答：

由函数图象可知，a＜﹣2时，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立．

故答案为：a＜﹣2．

解决问题：将原方程转化为x2﹣4x+3=a，

设y1=x2﹣4x+3，y2=a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G，于是原问题转化为y2=a与G有两个交点时a的取值范围，结合图象可知，a的取值范围是：﹣1＜a＜3．

22．已知：等边△ABC的边长为4，点P在线段AB上，点D在线段AC上，且△PDE为等边三角形，当点P与点B重合时（如图1），AD+AE的值为　4　；

[类比探究]在上面的问题中，如果把点P沿BA方向移动，使PB=1，其余条件不变（如图2），AD+AE的值是多少？请写出你的计算过程；

[拓展迁移]如图3，△ABC中，AB=BC，∠ABC=a，点P在线段BA延长线上，点D在线段CA延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=a，设AP=m，则线段AD、AE有怎样的等量关系？请用含m，a的式子直接写出你的结论．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．

【分析】（1）只要证明△EPA≌△DPC，即可推出AE=CD，可得AD+AE=AD+DC=AC=4；

（2）[类比探究]：如图2中，作PK∥BC交AC于K．连接AE．利用（1）中的结论即可解决问题；

（3）[拓展迁移]：如图3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一点K，使得PK=PA．由△PDK≌△PEA，推出DK=AE，推出AD﹣AE=AK=2AJ=2•m•sin即可解决问题；

【解答】（1）解：如图1中，

∵△PDE．△PAC都是等边三角形，

∴PE=PD，PA=PC，∠EPD=∠APC=60°，

∴∠EPA=∠DPC，

∴△EPA≌△DPC，

∴AE=CD，

∴AD+AE=AD+DC=AC=4．

（2）[类比探究]：解：AD+AE=3

理由：如图2中，作PK∥BC交AC于K．连接AE．

易证△PAK是等边三角形，

由上面题目可知．AE+AD=AK=3．

（3）[拓展迁移]：解：如图3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一点K，使得PK=PA．

易证∠APK=∠DPE=α，

∵PD=PE，PK=PA，

∴∠DPK=∠EPA，

∴△PDK≌△PEA，

∴DK=AE，

∴AD﹣AE=AK=2AJ=2•m•sin．

∴AD﹣AE=2m•sin．

23．如图1，二次函数y=ax2+bx+3经过点A（3，0），G（﹣1，0）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点M时抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM面积的最大值；

（3）抛物线的对称轴交x轴于点P，过点E（0， ）作x轴的平行线，交AB于点F，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得ME的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

（3）即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．

【解答】解：（1）将A、G点坐标代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）作ME⊥x轴交AB于E点，如图1

，

当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）

直线AB的解析式为y=﹣x+3，

设M（n，﹣ n2+2n+3），E（n，﹣ n+3），

ME═﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）=﹣n2+5n，

S△ABM=ME•xA=（﹣n2+5n）×3=﹣（n﹣）2+，

当n=时，△ABM面积的最大值是；

（3）存在；理由如下：

OE=，AP=2，OP=1，BE=3﹣=，

当y=时，﹣ x+3=，解得x=，即EF=

将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3），

∵OB⊥EF，

∴点B'在直线EF上，

∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO﹣PO长度，

∴C点坐标为（﹣，﹣1），

过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，

则△FEQ∽△B'EC，

由===，

可得Q的坐标为（﹣，﹣）；

根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（﹣，）也符合条件．

2017年7月21日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e236679e51e2524de518964bcf84b9d528ea2c3c.html