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2018年北京市西城区中考数学二模试卷及答案-

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2018年北京市西城区中考数学二模试卷

考
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分,考试时间为120分钟 . 生
2. 试题所有答案必须书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 须3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求保存好. 知

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（2分）如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（ ）

A．线段PA的长度 C．线段PC的长度
B．线段PB的长度 D．线段CD的长度
2．（2分）将某不等式组的解集﹣1≤x＜3表示在数轴上，下列表示正确的是（ ） A．B．C．D．


3．（2分）下列运算中，正确的是（ ） A．x+5x＝6x
224B．x•x＝x
326C．（x）＝x
236D．（xy）＝xy
334．（2分）下列实数中，在2和3之间的是（ ） A．π
B．π﹣2 C．
D．
5．（2分）一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（ ）
第1页（共37页）




A．35°
B．30°
C．25°
D．15°
6．（2分）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
7．（2分）在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：
选手 时间（min）
由此所得的以下推断不正确的是（ ） A．这组样本数据的平均数超过130 B．这组样本数据的中位数是147 C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差 D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好
8．（2分）如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和v（m/s），起初甲车在乙车前a（m）处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x（s）后两车相距y（m），y与x的函数关系如图2所示．有以下结论：
1 129 2 136 3 140 4 145 5 146 6 148 7 154 8 158 9 165 10 175 第2页（共37页）




①图1中a的值为500； ②乙车的速度为35m/s；
③图1中线段EF应表示为500+5x；
④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为100． 其中所有的正确结论是（ ） A．①④
B．②③
C．①②④
D．①③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）如果有意义，那么x的取值范围是 ．
10．（2分）不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．
11．（2分）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．

12．（2分）某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方．社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同．求每款魔方的单价．设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，依题意可列方程组为 ．

第3页（共37页）



13．（2分）如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB＝8，AD＝6，则四边形EFGH的周长等于 ．

14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3（x+2）﹣1平移后得到抛物线y＝3x+2．请你写出一种平移方法．答： ．
15．（2分）如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，弦BD∥OC．若∠C＝36°，则∠DOC＝ °
22
16．（2分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣3，0），B（4，0），边AD长为5．现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为D′），相应地，点C的对应点C′的坐标为 ．

三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22、23题每小题5分，第24题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分） 17．（5分）计算：6cos60°﹣18．（5分）解方程：++（π﹣2）﹣|＝3．
0﹣2|．
19．（5分）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．
第4页（共37页）




20．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣5．
21．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，BE＝CD，连接CE，DE． （1）求证：四边形CDBE为矩形；
（2）若AC＝2，tan∠ACD＝，求DE的长．

22．（6分）阅读下列材料： 材料一：
早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票．与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务．实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验． 材料二：
以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013﹣2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表．
年度
参观人数（人次） 年增长率（%）
38.7 2.4 ﹣4.5 3.6 6.8 2013 7 450 000 2014 7 630 000 2015 7 290 000 2016 7 550 000 2017 8 060 000 他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门第5页（共37页）



票，观众持身份证预约即可参观．国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战．参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的．但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样．”尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式．
根据以上信息解决下列问题： （1）补全以下两个统计图；
（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由．

23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣4，n），AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8． （1）求m，n的值；
（2）若直线y＝kx+b（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当CF＝2CE时，求点F的坐标．
第6页（共37页）




24．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G． （1）求证：FG与⊙O相切； （2）连接EF，求tan∠EFC的值．

25．（6分）阅读下面材料：
已知：如图，在正方形ABCD中，边AB＝a1．
按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小． 操作步骤
作法
由操作步骤推断（仅选取部分结论）
第一步 在第一个正方形ABCD的对角（i）△EAF≌△BAF（判定依据线AC上截取AE＝a1，再作EF是①）；
⊥AC于点E，EF与边BC交于（ii）△CEF是等腰直角三角点F，记CE＝a2
形；
（iii）用含a1的式子表示a2为②：
第二步 以CE为边构造第二个正方形
CEFG；
第三步

在第二个正方形的对角线CF（iv）用只含a1的式子表示a3第7页（共37页）


上截取FH＝a2，再作IH⊥CF于点H，IH与边CE交于点I，记为③：
CH＝a3：
第四步 以CH为边构造第三个正方形
CHIJ
这个过程可以不断进行下去．若第n个正方形的边长为an，用只含a1的式子表示an为④
请解决以下问题： （1）完成表格中的填空：
① ；② ；③ ；④ ；
（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ（不要求尺规作图）．

26．（6分）抛物线M：y＝ax﹣4ax+a﹣1（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D．
（1）抛物线M的对称轴是直线 ； （2）当AB＝2时，求抛物线M的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线l：y＝kx+b（k≠0）经过抛物线的顶点D，直线y＝n与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为x1，x2，直线y＝n与直线l的交点的横坐标记为x3（x3＞0），若当﹣2≤n≤﹣1时，总有x1﹣x3＞x3﹣x2＞0，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围．
2
第8页（共37页）



27．（7分）如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ＝α（0°＜α＜60°且α≠30°）． （1）当0°＜α＜30°时，
①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）； ②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；
（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系．

28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点Q（x，y）（x≠0），将它的纵坐标y与横坐标x的比称为点Q的“理想值”，记作LQ．如Q（﹣1，2）的“理想值”LQ＝＝﹣2．
（1）①若点Q（1，a）在直线y＝x﹣4上，则点Q的“理想值”LQ等于 ；
②如图，，⊙C的半径为1．若点Q在⊙C上，则点Q的“理想值”LQ的取值范围是 ．
（2）点D在直线y＝﹣横坐标xD的取值范围；
x+3上，⊙D的半径为1，点Q在⊙D上运动时都有0≤LQ≤，求点D的（3）M（2，m）（m＞0），Q是以r为半径的⊙M上任意一点，当0≤LQ≤2时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）

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2018年北京市西城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（2分）如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（ ）

A．线段PA的长度 C．线段PC的长度
B．线段PB的长度 D．线段CD的长度
【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．
【解答】解：由图可得，a∥b，AP⊥a， ∴直线a与直线b之间的距离是线段PA的长度， 故选：A．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
2．（2分）将某不等式组的解集﹣1≤x＜3表示在数轴上，下列表示正确的是（ ） A．B．C．D．


【分析】根据不等式组的解集在数轴上表示方法解答即可． 【解答】解：不等式组的解集﹣1≤x＜3在数轴上的表示为：故选：B．
【点评】考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 3．（2分）下列运算中，正确的是（ ）
第10页（共37页）




A．x+5x＝6x
224B．x•x＝x
326C．（x）＝x
236D．（xy）＝xy
33【分析】直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项和同底数幂的乘除运算法则分别分析得出答案． 【解答】解：A、x+5x＝6x，错误；
222B、x3•x2＝x5，错误；
236C、（x）＝x，正确； 333D、（xy）＝xy，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4．（2分）下列实数中，在2和3之间的是（ ） A．π
B．π﹣2 C．
D．
【分析】先求出每个数的范围，即可得出选项． 【解答】解：A、3＜π＜4，故本选项不符合题意；
B、1＜π﹣2＜2，故本选项不符合题意； C、2＜D、3＜故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的范围是解此题的关键．
5．（2分）一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（ ）
＜3，故本选项符合题意； ＜4，故本选项不符合题意；

A．35°
B．30°
C．25°
D．15°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE＝45°，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：∠EDF＝30°，∠ABC＝45°， ∵DE∥CB，
∴∠BDE＝∠ABC＝45°，
第11页（共37页）



∴∠BDF＝45°﹣30°＝15°． 故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键． 6．（2分）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
【分析】由平行得相似，由相似得比例，即可作出判断． 【解答】解：∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴＝＝，
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 7．（2分）在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：
选手 时间（min）
由此所得的以下推断不正确的是（ ） A．这组样本数据的平均数超过130 B．这组样本数据的中位数是147 C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差 D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好
第12页（共37页）

1 129 2 136 3 140 4 145 5 146 6 148 7 154 8 158 9 165 10 175

【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可求解．
【解答】解：平均数＝（129+136+140+145+146+148+154+158+165+175）÷10＝149.6（min）， 故这组样本数据的平均数超过130，A正确，C错误；
因表中是按从小到大的顺序排列的，一共10名选手，中位数为第五位和第六位的平均数，故中位数是（146+148）÷2＝147（min）． 故B正确，D正确． 故选：C．
【点评】本题考查的是平均数和中位数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
8．（2分）如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和v（m/s），起初甲车在乙车前a（m）处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x（s）后两车相距y（m），y与x的函数关系如图2所示．有以下结论：

①图1中a的值为500； ②乙车的速度为35m/s；
③图1中线段EF应表示为500+5x；
④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为100． 其中所有的正确结论是（ ） A．①④
B．②③
C．①②④
D．①③④
【分析】①根据图象2得结论；
②根据（75，125）可知：75秒时，两车的距离为125m，列方程可得结论； ③根据图1，线段的和与差可表示EF的长；
④利用待定系数法求直线的解析式，令y＝0可得结论．
【解答】解：①y是两车的距离，所以根据图2可知：图1中a的值为500，此选项正确；
第13页（共37页）



②由题意得：75×20+500﹣75v＝125，
v＝25，
则乙车的速度为25m/s， 故此选项不正确；
③图1中：EF＝a+20x﹣vx＝500+20x﹣25x＝500﹣5x， 故此选项不正确；
④设图2的解析式为：y＝kx+b， 把（0，500）和（75，125）代入得：解得：，
，
∴y＝﹣5x+500，
当y＝0时，﹣5x+500＝0，
x＝100，
即图2中函数图象与x轴交点的横坐标为100 此选项正确；
其中所有的正确结论是：①④； 故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，读懂题目信息，理解两车间的距离与时间的关系是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）如果有意义，那么x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围． 【解答】解：∵∴2﹣x≥0， 解得：x≤2． 故答案为：x≤2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
10．（2分）不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为
．
有意义，
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是第14页（共37页）



其发生的概率．
【解答】解：由于共有8个球，其中蓝球有5个， 则从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是， 故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
11．（2分）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于
．

【分析】连接OC，如图，利用等边三角形的性质得∠AOC＝120°，S△AOB＝S△AOC，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形AOC进行计算． 【解答】解：连接OC，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠AOC＝120°，S△AOB＝S△AOC， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOC＝故答案为π．
＝π．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质．
12．（2分）某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方．社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同．求每款魔方的单价．设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，第15页（共37页）



依题意可列方程组为 ．

【分析】设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，根据“购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元， 根据题意得：故答案为：． ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13．（2分）如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB＝8，AD＝6，则四边形EFGH的周长等于 20 ．

【分析】连接AC、BD，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据菱形的性质计算周长．
【解答】解：连接AC、BD， 在Rt△ABD中，BD＝∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝10，
∵E、H分别是AB、AD的中点， ∴EH∥BD，EH＝BD＝5，
同理，FG∥BD，FG＝BD＝5，GH∥AC，GH＝AC＝5，
第16页（共37页）

＝10，


∴四边形EHGF为菱形，
∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20， 故答案为：20．

【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3（x+2）﹣1平移后得到抛物线y＝3x+2．请你写出一种平移方法．答： 将抛物线 y＝3（x+2）﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线 y＝3x+2． ．
【分析】把y＝3x+2改写成顶点式，进而解答即可． 【解答】解：y＝3x+2＝3（x+0）+2，
所以将抛物线 y＝3（x+2）﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线 y＝3x+2．
故答案为：将抛物线 y＝3（x+2）﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线 y＝3x+2 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式为y＝a（x﹣222222222222）+，然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．
15．（2分）如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，弦BD∥OC．若∠C＝36°，则∠DOC＝ 54 °

【分析】利用切线的性质得∠OAC＝90°，则利用互余得到∠AOC＝54°，再根据平行线的性质得到∠OBD＝∠AOC＝54°，∠D＝∠DOC，然后根据等腰三角形的性质求出∠D的度数即可．
【解答】解：∵AC与⊙O相切于点A， ∴AC⊥AB， ∴∠OAC＝90°，
第17页（共37页）



∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣36°＝54°， ∵BD∥OC，
∴∠OBD＝∠AOC＝54°，∠D＝∠DOC， ∵OB＝OD，
∴∠D＝∠OBD＝54°， ∴∠DOC＝54°． 故答案为54．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
16．（2分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣3，0），B（4，0），边AD长为5．现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为D′），相应地，点C的对应点C′的坐标为 （7，4） ．

【分析】根据勾股定理，可得OD′，根据平行四边形的性质，可得答案． 【解答】解：由勾股定理，得
OD′＝即D′（0，4）．
＝4，
矩形ABCD的边AB在x轴上， ∴四边形ABC′D′是平行四边形，
AD′＝BC′，C′D′＝AB＝4﹣（﹣3）＝7， C′与D′的纵坐标相等，
∴C′（7，4） 故答案为：（7，4）．
【点评】本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出AD′＝BC′，C′D′＝AB＝4﹣（﹣3）＝7是解题关键．
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22、23题每小题5分，第24题5分，第25、第18页（共37页）



26题每小题5分，第27、28题每小题5分） 17．（5分）计算：6cos60°﹣+（π﹣2）﹣|0﹣2|．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式＝6×﹣3＝3﹣3＝+1﹣2+．
，
+1﹣（2﹣），
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 18．（5分）解方程：+＝3．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程整理得：去分母，得x﹣1＝3x﹣6， 解得：x＝，
经检验，原方程的解为x＝．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（5分）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝﹣＝3，
AD，求∠C的度数．

【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：连接BD，
∵E为AB的中点，DE⊥AB于点E， ∴AD＝BD，
第19页（共37页）



∴∠DBA＝∠A， ∵∠A＝66°， ∴∠DBA＝66°， ∵∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝24° ∵AD＝BC， ∴BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC， ∴∠C＝＝78°．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 20．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣5．
【分析】先计算括号内分式的减法，再计算除法，继而将x的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝（＝＝•，

﹣）÷
当x＝﹣5时， 原式＝＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 21．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，BE＝CD，连接CE，DE． （1）求证：四边形CDBE为矩形；
（2）若AC＝2，tan∠ACD＝，求DE的长．
第20页（共37页）




【分析】（1）根据平行四边形的判定和矩形的判定证明即可； （2）根据矩形的性质和三角函数解答即可． 【解答】（1）证明：
∵CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B， ∴∠CDA＝∠DBE＝90°． ∴CD∥BE， 又∵BE＝CD，
∴四边形CDBE为平行四边形， 又∵∠DBE＝90°， ∴四边形CDBE为矩形； （2）∵四边形CDBE为矩形， ∴DE＝BC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， 可得∠ACD＝∠ABC． ∵∴，
．
，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∴∴DE＝BC＝4．
．
【点评】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和矩形的判定解答． 22．（6分）阅读下列材料： 材料一：
早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年第21页（共37页）



全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票．与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务．实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验． 材料二：
以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013﹣2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表．
年度
参观人数（人次） 年增长率（%）
38.7 2.4 ﹣4.5 3.6 6.8 2013 7 450 000 2014 7 630 000 2015 7 290 000 2016 7 550 000 2017 8 060 000 他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观．国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战．参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的．但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样．”尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式．
根据以上信息解决下列问题： （1）补全以下两个统计图；
（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由．
第22页（共37页）




【分析】（1）根据2015年全年网络售票占17.33%，2017年8月实现网络售票占比77%，2017年10月2日，首次实现全部网上售票，即可补全图1．根据2016年度中国国家博物馆参观人数及年增长率，即可补全图2；
（2）根据近两年平均每年增长385000人次，即可预估2018年中国国家博物馆的参观人数． 【解答】解：（1）补全统计图如图．
（2）近两年平均每年增长385000人次，预估2018年中国国家博物馆的参观人数为8445000人次．（答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可．）
【点评】本题主要考查了统计表、折线统计图的应用，关键是正确从统计表中得到正确的信息，折线统计图表示的是事物的变化情况．
第23页（共37页）



23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣4，n），AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8． （1）求m，n的值；
（2）若直线y＝kx+b（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当CF＝2CE时，求点F的坐标．

【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程求出n，再利用待定系数法求出m的值即可； （2）分两种情形分别求解①如图2中，当k＜0时，设直线y＝kx+b与x轴，y轴的交点分别为点E1，F1．②如图3，当k＞0时，设直线y＝kx+b与x轴，y轴的交点分别为点E2，F2．
【解答】解：（1）如图1中，

∵点A的坐标为A（﹣4，n），点C与点A关于原点O对称， ∴点C的坐标为（4，﹣n）． ∵AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，
∴B，D两点的坐标分别为B（﹣4，0），D（4，0）． ∵△ABD的面积为8，
∴S△ABD＝×AB×BD＝×（﹣n）×8＝﹣4n＝8，解得n＝﹣2， ∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣4，﹣2）， ∴m＝8．
第24页（共37页）




（2）由（1）得点C的坐标为C（4，2）．
①如图2中，当k＜0时，设直线y＝kx+b与x轴，y轴的交点分别为点E1，F1． 由 CD⊥x轴于点D可得CD∥OF1．

∴△E1CD∽△E1F1O． ∴＝，
∵CF1＝2CE1， ∴＝，
∴OF1＝3DC＝6，
∴点F1的坐标为F1（0，6）．

②如图3，当k＞0时，设直线y＝kx+b与x轴，y轴的交点分别为点E2，F2．

同理可得CD∥OF2，∵CF2＝2CE2，
∴E2为线段CF2的中点，E2C＝E2F2， ∴OF2＝DC＝2．
第25页（共37页）

＝，


∴点F2的坐标为（0，﹣2）．
综上所述，点F的坐标为（0，6）或（0，﹣2）．
【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G． （1）求证：FG与⊙O相切； （2）连接EF，求tan∠EFC的值．

【分析】（1）连接OC，AC．易证△ACD为等边三角形，所以∠D＝∠DCA＝∠DAC＝60°，从而可知∠1＝∠DCA＝30°，由于FG∥DA，易知OCF＝∠DCF﹣∠1＝90°，所以FG与⊙O相切．
（2）作EH⊥FG于点H．设CE＝a，则DE＝a，AD＝2a．易证四边形AFCD为平行四边形．因为DC＝AD，AD＝2a，所以四边形AFCD为菱形，由（1）得∠DCG＝60°，从而可求出EH、CH的值，从而可知FH的长度，利用锐角三角函数的定义即可求出tan∠EFC的值．
【解答】解：（1）连接OC，AC． ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴CE＝DE，AD＝AC． ∵DC＝AD， ∴DC＝AD＝AC． ∴△ACD为等边三角形． ∴∠D＝∠DCA＝∠DAC＝60°∴∠1＝∠DCA＝30° ∵FG∥DA，
∴∠DCF+∠D＝180°． ∴∠DCF＝180°﹣∠D＝120°． ∴∠OCF＝∠DCF﹣∠1＝90°
第26页（共37页）

．


∴FG⊥OC． ∴FG与⊙O相切 （2）作EH⊥FG于点H． 设CE＝a，则DE＝a，AD＝2a． ∵AF与⊙O相切， ∴AF⊥AG． 又∵DC⊥AG， 可得AF∥DC． 又∵FG∥DA，
∴四边形AFCD为平行四边形． ∵DC＝AD，AD＝2a， ∴四边形AFCD为菱形．
∴AF＝FC＝AD＝2a，∠AFC＝∠D＝60°． 由（1）得∠DCG＝60°，
，∴．
，
．
∵在Rt△EFH中，∠EHF＝90∴

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，考查学生综合运用知识的能力． 25．（6分）阅读下面材料：
已知：如图，在正方形ABCD中，边AB＝a1．
按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并第27页（共37页）



且一个比一个小． 操作步骤
作法
由操作步骤推断（仅选取部分结论）
第一步 在第一个正方形ABCD的对角（i）△EAF≌△BAF（判定依据线AC上截取AE＝a1，再作EF是①）；
⊥AC于点E，EF与边BC交于（ii）△CEF是等腰直角三角点F，记CE＝a2
形；
（iii）用含a1的式子表示a2为②：
第二步 以CE为边构造第二个正方形
CEFG；
第三步
在第二个正方形的对角线CF（iv）用只含a1的式子表示a3上截取FH＝a2，再作IH⊥CF于点H，IH与边CE交于点I，记为③：
CH＝a3：
第四步 以CH为边构造第三个正方形
CHIJ
这个过程可以不断进行下去．若第n个正方形的边长为an，用只含a1的式子表示an为④
请解决以下问题： （1）完成表格中的填空：
① 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ；② a2＝（ ；④ an＝﹣1）a1 ；③ a3＝a1 ；
（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ（不要求尺规作图）．
第28页（共37页）




【分析】（1）①根据HL证明Rt△EAF≌Rt△BAF； ②根据勾股定理得AC＝③④同理可得结论； （2）根据要求画图即可．
【解答】解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．…………………（1分） 理由是：如图1，在Rt△EAF和Rt△BAF中， ∵，
，可得CE的长，即a2的长；
∴Rt△EAF≌Rt△BAF（斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等）； ②∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝a1，∠ABC＝90°， ∴AC＝，
∵AE＝AB＝a1， ∴CE＝a2＝﹣a1＝（﹣1）a1；（2分）
③∵四边形CEFG是正方形， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴CF＝CE＝（）a1，
∵FH＝EF＝a2， ∴CH＝a3＝CF﹣FH＝④同理可得：an＝（）a1﹣（）a1＝；（3分）
a1；（4分）
；③；故答案为：①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等②④；
第29页（共37页）



（2）所画正方形CHIJ见右图．……………………………（6分）

【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形全等的判定、基本作图等知识，属于基础题，也是一道有新意的作图和几何计算、找规律的综合题，熟练掌握正方形的性质是关键.. 26．（6分）抛物线M：y＝ax﹣4ax+a﹣1（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D．
（1）抛物线M的对称轴是直线 x＝2 ； （2）当AB＝2时，求抛物线M的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线l：y＝kx+b（k≠0）经过抛物线的顶点D，直线y＝n与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为x1，x2，直线y＝n与直线l的交点的横坐标记为x3（x3＞0），若当﹣2≤n≤﹣1时，总有x1﹣x3＞x3﹣x2＞0，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围．
2
【分析】（1）根据抛物线的函数表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线M的对称轴； （2）根据抛物线的对称轴及AB＝2即可得出点A、B的坐标，根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线M的函数表达式；
（3）利用配方法求出抛物线顶点D的坐标，依照题意画出图形，观察图形可得出b＜﹣2，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出2k+b＝，结合b的取值范围即可得出k的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线M的表达式为y＝ax﹣4ax+a﹣1， ∴抛物线M的对称轴为直线x＝﹣故答案为：x＝2．
第30页（共37页）

2＝2．


（2）∵抛物线 y＝ax﹣4ax+a﹣1的对称轴为直线x＝2，抛物线M与x轴的交点为点A、B（点A在点B左侧），AB＝2，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）．
将A（1，0）代入y＝ax﹣4ax+a﹣1，得：a﹣4a+a﹣1＝0， 解得：a＝﹣，
∴抛物线M的函数表达式为y＝﹣x+2x﹣． （3）∵y＝﹣x+2x﹣＝﹣（x﹣2）+， ∴点D的坐标为（2，）．
∵直线y＝n与直线l的交点的横坐标记为x（，且当﹣2≤n≤﹣1时，总有x1﹣x3＞x3﹣x2＞0， 3x3＞0）∴直线l与y轴的交点在（0，﹣2）下方， ∴b＜﹣2．
∵直线l：y＝kx+b（k≠0）经过抛物线的顶点D， ∴2k+b＝， ∴k＝﹣＞．
22222
【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（3）依照题意画出图形，利用数形结合找出b＜﹣2．
27．（7分）如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ＝α（0°＜α＜60°且α≠30°）． （1）当0°＜α＜30°时，
①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；
第31页（共37页）



②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；
（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系．

【分析】（1）①先根据等边三角形的性质的QA＝QB，进而得出QB＝QE，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；
②先判断出△QAF≌△QEC，得出QF＝QC，再判断出△QCF是底角为30度的等腰三角形，再构造出直角三角形即可得出结论； （2）同②的方法即可得出结论． 【解答】解：（1）当0°＜α＜30°时， ①画出的图形如图1所示， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°．
∵CD为等边三角形的中线， ∵Q为线段CD上的点， ∴CD是AB的垂直平分线， 由等边三角形的对称性得QA＝QB． ∵∠DAQ＝α，
∴∠ABQ＝∠DAQ＝α，∠QBE＝60°﹣α． ∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得， ∴QE＝QA． ∴QB＝QE．
∴∠QEB＝∠QBE＝60°﹣α，
∴∠BQE＝180°﹣2∠QBE＝180°﹣2（60°﹣α）＝60°+2α； ②CE+AC＝CQ；
解：如图2，延长CA到点F，使得AF＝CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．
第32页（共37页）



∵∠BQE＝60°+2α，点E在BC上，
∴∠QEC＝∠BQE+∠QBE＝（60°+2α）+（ 60°﹣α）＝120°+α． ∵点F在CA的延长线上，∠DAQ＝α， ∴∠QAF＝∠BAF+∠DAQ＝120°+α． ∴∠QAF＝∠QEC． 又∵AF＝CE，QA＝QE， ∴△QAF≌△QEC． ∴QF＝QC． ∵QH⊥AC于点H， ∴FH＝CH，CF＝2CH．
∵在等边三角形ABC中，CD为中线， 点Q在CD上， ∴∠ACQ＝＝30°，
即△QCF为底角为30°的等腰三角形． ∴∴CE+AC＝AF+AC＝CF＝
（2）如图4，当30°＜α＜60°时， 在AC上取一点F使AF＝CE， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°．
∵CD为等边三角形的中线， ∵Q为线段CD上的点， ∴CD是AB的垂直平分线， 由等边三角形的对称性得QA＝QB． ∵∠DAQ＝α，
∴∠ABQ＝∠DAQ＝α，∠QBE＝60°﹣α． ∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得， ∴QE＝QA．
第33页（共37页）

．
．


∴QB＝QE．
∴∠QEB＝∠QBE＝60°﹣α＝∠QAF， 又∵AF＝CE，QA＝QE， ∴△QAF≌△QEC． ∴QF＝QC． ∵QH⊥AC于点H， ∴FH＝CH，CF＝2CH．
∵在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上， ∴∠ACQ＝＝30°，
即△QCF为底角为30°的等腰三角形． ∴∴AC﹣CE＝AC﹣AF＝CF＝．
．



【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形第34页（共37页）



的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点Q（x，y）（x≠0），将它的纵坐标y与横坐标x的比称为点Q的“理想值”，记作LQ．如Q（﹣1，2）的“理想值”LQ＝＝﹣2．
（1）①若点Q（1，a）在直线y＝x﹣4上，则点Q的“理想值”LQ等于 ﹣3 ； ②如图，≤LQ≤ ．
，⊙C的半径为1．若点Q在⊙C上，则点Q的“理想值”LQ的取值范围是
0（2）点D在直线y＝﹣横坐标xD的取值范围；
x+3上，⊙D的半径为1，点Q在⊙D上运动时都有0≤LQ≤，求点D的（3）M（2，m）（m＞0），Q是以r为半径的⊙M上任意一点，当0≤LQ≤2时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）

【分析】（1）理想值越大，点与原点连线与x轴夹角越大； （2）根据题意，讨论⊙D与x轴及直线相切时的D点横坐标
上，分析图形即可．
（3）根据题意将点M转化为直线x＝2，Q点理想值最大时点Q在y＝2【解答】解：（1）①x＝1时，a＝1﹣4＝﹣3 ∴点Q的“理想值”LQ＝﹣3 故答案为：﹣3 ②当点Q在⊙D与x轴切点时，点Q的“理想值”最小为0 当点Q纵坐标与横坐标比值最大时，Q的“理想值”最大，此时直线OQ与⊙D且于点Q 点Q的“理想值”为故答案为：②0≤LQ≤

，B（0，3）．
（2）设直线与x轴、y轴的交点分别为点A，点B，可得第35页（共37页）



∴由0≤LQ≤①如图，
，OB＝3，∠OAB＝30°．
，作直线．

当⊙D与x轴相切时，相应的圆心D1满足题意，其横坐标取到最大值．作D1E1⊥x轴于点E1， 可得D1E1∥OB，∵⊙D的半径为1， ∴D1E1＝1． ∴∴②如图
，．
． ．

当⊙D与直线相切时，
相应的圆心D2满足题意，其横坐标取到最小值． 作D2E2⊥x轴于点E2，则D2E2⊥OA． 设直线与直线的
第36页（共37页）



交点为F．
可得∠AOF＝60°，OF⊥AB． 则∵⊙D的半径为1， ∴D2F＝1． ∴．
，．
．
∴AE2＝AD2•cos∠OAF＝∴．
由①②可得，xD的取值范围是（3）根据题意作图得，
≤xD≤．

由△NQM∽△NEO，可得半径为复制发布
日期：2020/3/12 22:49:19；用户：金雨教育；邮箱：309593466@qq.com；学号：335385

第37页（共37页）


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e5aedc6d75232f60ddccda38376baf1ffd4fe355.html

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