2018-2019学年珠海市香洲区八年级下期末数学试卷（含答案解析）

2018-2019学年广东省珠海市香洲区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

2．直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，已知c＝13，b＝5，则a＝（　　）

A．1 B．5 C．12 D．25

3．矩形的对角线一定具有的性质是（　　）

A．互相垂直 B．互相垂直且相等

C．相等 D．互相垂直平分

4．在今年的八年级期末考试中，我校（1）（2）（3）（4）班的平均分相同，方差分别为S12＝20.8，S22＝15.3，S32＝17，S42＝9.6，四个班期末成绩最稳定的是（　　）

A．（1）班 B．（2）班 C．（3）班 D．（4）班

5．函数y＝﹣2x+3的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

6．如图，下列哪组条件不能判定四边形ABCD是平行四边形（　　）

A．AB∥CD，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC

C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC

7．下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

8．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

9．如图，把一张正方形纸对折两次后，沿虚线剪下一角，展开后所得图形一定是（　　）

A．三角形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点A出发，沿A→D→C的路径以每秒1cm的速度运动（点P不与点A、点C重合），设点P运动时间为x秒，四边形ABCP的面积为ycm2，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．已知一组数据3、x、4、5、6的众数是6，则x的值是　 　．

12．若有意义，则字母x的取值范围是　 　．

13．定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的逆定理是　 　．

14．将直线y＝2x向上平移3个单位所得的直线解析式是　 　．

15．在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为　 　．

16．如图，已知等边三角形ABC边长为1，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A5B5C5的周长为　 　．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

17．计算：

18．已知矩形周长为18，其中一条边长为x，设另一边长为y．

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）求自变量x的取值范围．

19．如图，E、F分别平行四边形ABCD对角线BD上的点，且BE＝DF．

求证：∠DAF＝∠BCE．

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

20．某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．

收集数据：从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制如下：

甲：78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙：93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40

整理、描述数据按如下（表格）分数段整理、描述这两组样本数据：

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70﹣79分为生产技能良好，60﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）

分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下（表格）表所示：

得出结论：（1）请补充表格1：a＝　 　，b＝　 　．

（2）估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　 　；

（3）可以推断出　 　部门员工的生产技能水平较高，理由为：①　 　；②　 　．（从两个不同的角度说明你推断的合理性）

21．如图，在△ABC中，E点是AC的中点，其中BD＝2，DC＝6，BC＝，AD＝，求DE的长．

22．珠海长隆海洋王国暑假期间推出了两套优惠方案：①购买成人票两张以上（包括两张），则儿童票按6折出售；②成人票和儿童票一律按8.5折出售，已知成人票是350元/张，儿童票是240元/张，张华准备暑假期间带家人到长隆海洋王国游玩，准备购买8张成人票和若干张儿童票．

（1）请分别写出两种优惠方案中，购买的总费用y（元）与儿童人数x（人）之间的函数关系式；

（2）对x的取值情况进行分析，说明选择哪种方案购票更省钱．

五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

23．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AB边上一点，连接CE，把△BCE沿CE折叠，使点B落在点B′处．

（1）当B′在边CD上时，如图①所示，求证：四边形BCB′E是正方形；

（2）当B′在对角线AC上时，如图②所示，求BE的长．

24．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求出点C的坐标；

（3）点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标．

25．如图，菱形ABCD中，AB＝6cm，∠ADC＝60°，点E从点D出发，以1cm/s的速度沿射线DA运动，

同时点F从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB运动，连接CE、CF和EF，设运动时间为t（s）．

（1）当t＝3s时，连接AC与EF交于点G，如图①所示，则AG＝　 　cm；

（2）当E、F分别在线段AD和AB上时，如图②所示，求证△CEF是等边三角形；

（3）当E、F分别运动到DA和AB的延长线上时，如图③所示，若CE＝cm，求t的值和点F到BC的距离．

2018-2019学年广东省珠海市香洲区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：（A）原式＝2，故A不是最简二次根式；

（C）原式＝2，故C不是最简二次根式；

（D）原式＝，故D不是最简二次根式；

故选：B．

【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．

2．直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，已知c＝13，b＝5，则a＝（　　）

A．1 B．5 C．12 D．25

【分析】根据勾股定理计算即可．

【解答】解：由勾股定理得，a＝＝12，

故选：C．

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

3．矩形的对角线一定具有的性质是（　　）

A．互相垂直 B．互相垂直且相等

C．相等 D．互相垂直平分

【分析】根据矩形的性质即可判断；

【解答】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以选项C正确，

故选：C．

【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质，属于中考基础题．

4．在今年的八年级期末考试中，我校（1）（2）（3）（4）班的平均分相同，方差分别为S12＝20.8，S22＝15.3，S32＝17，S42＝9.6，四个班期末成绩最稳定的是（　　）

A．（1）班 B．（2）班 C．（3）班 D．（4）班

【分析】直接根据方差的意义求解．

【解答】解：∵S12＝20.8，S22＝15.3，S32＝17，S42＝9.6，

∴S42＜S22＜S32＜S12，

则四个班期末成绩最稳定的是（4）班，

故选：D．

【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

5．函数y＝﹣2x+3的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

【分析】直接根据一次函数的性质进行解答即可．

【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+3中，k＝﹣2＜0，b＝3＞0，

∴此函数的图象经过一、二、四象限．

故选：B．

【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．

6．如图，下列哪组条件不能判定四边形ABCD是平行四边形（　　）

A．AB∥CD，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC

C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC

【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

【解答】解：根据平行四边形的判定，A、B、C均符合是平行四边形的条件，D则不能判定是平行四边形．

故选：D．

【点评】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．

7．下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的性质，化简计算后即可判断；

【解答】解：A、正确；

B、错误；（3）2＝45；

C、错误；3×＝；

D、错误；不是同类二次根式，不能合并；

故选：A．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的法则，属于中考常考题型．

8．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】观察函数图象得到当x＜﹣1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx﹣1的图象下方，所以不等式x+b＜kx﹣1的解集为x＜﹣1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．

【解答】解：当x＜﹣1时，x+b＜kx﹣1，

即不等式x+b＜kx﹣1的解集为x＜﹣1．

故选：C．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．

9．如图，把一张正方形纸对折两次后，沿虚线剪下一角，展开后所得图形一定是（　　）

A．三角形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

【分析】此类问题只有动手操作一下，按照题意的顺序折叠，剪开，观察所得的图形，可得正确的选项．

【解答】解：由题意可得：四边形的四边形相等，故展开图一定是菱形．

故选：B．

【点评】此题主要考查了剪纸问题，对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．

10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点A出发，沿A→D→C的路径以每秒1cm的速度运动（点P不与点A、点C重合），设点P运动时间为x秒，四边形ABCP的面积为ycm2，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据点P的路线，找到临界点为D点，则分段讨论P在边AD、边DC上运动时的y与x的函数关系式．

【解答】解：当0≤x≤4时，点P在AD边上运动

则y＝（x+4）4＝2x+8

当4≤x≤8时，点P在DC边上运动

则y═（8﹣x+4）4＝﹣2x+24

根据函数关系式，可知D正确

故选：D．

【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了一次函数图象性质，应用了数形结合思想．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．已知一组数据3、x、4、5、6的众数是6，则x的值是　6　．

【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案．

【解答】解：这组数据中的众数是6，即出现次数最多的数据为：6．

故x＝6．

故答案为：6．

【点评】本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

12．若有意义，则字母x的取值范围是　x≥﹣5　．

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x+5≥0，

解得x≥﹣5．

故答案为：x≥﹣5．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

13．定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的逆定理是　平行四边形是对角线互相平分的四边形　．

【分析】题设：四边形的对角线互相平分，结论：四边形是平行四边形．把题设和结论互换即得其逆定理．

【解答】解：逆定理是：平行四边形是对角线互相平分的四边形．

【点评】命题的逆命题是把原命题的题设和结论互换．原命题正确但逆命题不一定正确，所以并不是所有的定理都有逆定理．

14．将直线y＝2x向上平移3个单位所得的直线解析式是　y＝2x+3　．

【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．

【解答】解：直线y＝2x向上平移3个单位所得的直线解析式是y＝2x+3．

故答案为y＝2x+3．

【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．

15．在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为　2　．

【分析】根据正方形的面积公式可求正方形面积

【解答】解：正方形面积＝＝2

故答案为2

【点评】本题考查了正方形的性质，利用正方形的面积＝对角线积的一半解决问题．

16．如图，已知等边三角形ABC边长为1，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A5B5C5的周长为　　．

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出A1B1＝AC，B1C1＝AB，A1C1＝BC，从而得到△A1B1C1是△ABC周长的一半，依此类推，下一个三角形是上一个三角形的周长的一半，根据此规律求解即可．

【解答】解：∵△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，

∴A1B1＝AC，B1C1＝AB，A1C1＝BC，

∴△A1B1C1的周长＝△ABC的周长＝×3＝，

依此类推，△A2B2C2的周长＝△A1B1C1的周长＝×＝，

则△A5B5C5的周长为＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，求出后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半是解题的关键．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

17．计算：

【分析】根据平方差公式和二次根式的加减法可以解答本题．

【解答】解：

＝3﹣2+3+

＝1+4．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

18．已知矩形周长为18，其中一条边长为x，设另一边长为y．

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）求自变量x的取值范围．

【分析】（1）直接利用矩形周长求法得出y与x之间的函数关系式；

（2）利用矩形的性质分析得出答案．

【解答】解：（1）∵矩形周长为18，其中一条边长为x，设另一边长为y，

∴2（x+y）＝18，

则y＝9﹣x；

（2）由题意可得：9﹣x＞0，

解得：0＜x＜9．

【点评】此题主要考查了函数关系式以及自变量的取值范围，正确得出函数关系式是解题关键．

19．如图，E、F分别平行四边形ABCD对角线BD上的点，且BE＝DF．

求证：∠DAF＝∠BCE．

【分析】只要证明△ADF≌△CBE即可解决问题；

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵DF＝BE，

∴△ADF≌△CBE，

∴∠DAF＝∠BCE．

【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

20．某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．

收集数据：从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制如下：

甲：78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙：93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40

整理、描述数据按如下（表格）分数段整理、描述这两组样本数据：

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70﹣79分为生产技能良好，60﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）

分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下（表格）表所示：

得出结论：（1）请补充表格1：a＝　7　，b＝　10　．

（2）估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　240　；

（3）可以推断出　甲　部门员工的生产技能水平较高，理由为：①　甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高　；②　甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高　．（从两个不同的角度说明你推断的合理性）

【分析】（1）根据收集数据填写表格即可求解；

（2）用乙部门优秀员工人数除以20乘以400即可得出答案；

（3）根据情况进行讨论分析，理由合理即可．

【解答】解：（1）由题意知a＝7、b＝10，

故答案为：7、10；

（2）故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为×400＝240（人）．

故答案为：240；

（3）可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：

①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；

②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高．

【点评】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键．

21．如图，在△ABC中，E点是AC的中点，其中BD＝2，DC＝6，BC＝，AD＝，求DE的长．

【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出线段AC长，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．

【解答】解：∵BD2+CD2＝22+62＝（2）2＝BC2，

∴△BDC为直角三角形，∠BDC＝90°，

在Rt△ADC中，∵CD＝6，AD＝2，

∴AC2＝（2）2+62＝60，

∴AC＝2，

∵E点为AC的中点，

∴DE＝AC＝．

【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上中线性质等知识点，能求出△ADC是直角三角形是解此题的关键．

22．珠海长隆海洋王国暑假期间推出了两套优惠方案：①购买成人票两张以上（包括两张），则儿童票按6折出售；②成人票和儿童票一律按8.5折出售，已知成人票是350元/张，儿童票是240元/张，张华准备暑假期间带家人到长隆海洋王国游玩，准备购买8张成人票和若干张儿童票．

（1）请分别写出两种优惠方案中，购买的总费用y（元）与儿童人数x（人）之间的函数关系式；

（2）对x的取值情况进行分析，说明选择哪种方案购票更省钱．

【分析】（1）根据题意分别列出两种方案的收费方案的函数关系式；

（2）由（1）找到临界点分类讨论即可．

【解答】解：（1）当选择方案①时，y＝350×8+0.6×240x＝144x+2800

当选择方案②时，y＝（350×8+240）x×0.85＝204x+2380

（2）当方案①费用高于方案②时

144x+2800＞204x+2380

解得x＜7

当方案①费用等于方案②时

144x+2800＝204x+2380

解得x＝7

当方案①费用低于方案②时

144x+2800＜204x+2380

解得x＞7

故当0＜x＜7时，选择方案②

当x＝7时，两种方案费用一样．

当x＞7时，选择方案①

【点评】本题是一次函数实际应用问题，考查一次函数性质以及一元一次方程、不等式．解答关键是分类讨论．

五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

23．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AB边上一点，连接CE，把△BCE沿CE折叠，使点B落在点B′处．

（1）当B′在边CD上时，如图①所示，求证：四边形BCB′E是正方形；

（2）当B′在对角线AC上时，如图②所示，求BE的长．

【分析】（1）由折叠可得BE＝B'E，BC＝B'C，∠BCE＝∠B'CE，由∠DCB＝90°＝∠B可证四边形BCB′E是正方形

（2）由折叠可得BC＝B'C＝6，则可求AB'＝4，根据勾股定理可求B'E的长，即可得BE的长．

【解答】证明：（1）∵△BCE沿CE折叠，

∴BE＝B'E，BC＝B'C

∠BCE＝∠B'CE

∵四边形ABCD是矩形

∴∠DCB＝90°＝∠B

∴∠BCE＝45°且∠B＝90°

∴∠BEC＝∠BCE＝45°

∴BC＝BE

∵BE＝B'E，BC＝B'C

∴BC＝BE＝B'C＝B'E

∴四边形BCB'E是菱形

又∵∠B＝90°

∴四边形BCB'E是正方形

（2）∵AB＝8，BC＝6

∴根据勾股定理得：AC＝10

∵△BCE沿CE折叠

∴B'C＝BC＝6，BE＝B'E

∴AB'＝4，AE＝AB﹣BE＝8﹣B'E

在Rt△AB'E中，AE2＝B'A2+B'E2

∴（8﹣B'E）2＝16+B'E2

解得：BE'＝3

∴BE＝B'E＝3

【点评】本题考查了折叠问题，正方形的判定，矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列出方程是本题的关键．

24．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求出点C的坐标；

（3）点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；

（2）作CD⊥y轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA＝CD，故可得出C点坐标；

（3）求得B点关于y轴的对称点B′的坐标，连接B′C与y轴的交点即为所求的P点，由B′、C坐标可求得直线B′C的解析式，则可求得P点坐标．

【解答】解：（1）设AB直线的解析式为：y＝kx+b，

把（0，4）（3，0）代入可得：，

解得：，

所以一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；

（2）如图，作CD⊥y轴于点D．

∵∠BAC＝90°，

∴∠OAB+∠CAD＝90°，

又∵∠CAD+∠ACD＝90°，

∴∠ACD＝∠BAO．

在△ABO与△CAD中，

∵，

∴△ABO≌△CAD（AAS），

∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．

则C的坐标是（4，7）．

（3）如图2中，作点B关于y轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB+PC的值最小．

∵B（3，0），C（4，7）

∴B′（﹣3，0），

把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n中，

可得：，

解得：，

∴直线CB′的解析式为y＝x+3，

令x＝0，得到y＝3，

∴P（0，3）．

【点评】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．

25．如图，菱形ABCD中，AB＝6cm，∠ADC＝60°，点E从点D出发，以1cm/s的速度沿射线DA运动，

同时点F从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB运动，连接CE、CF和EF，设运动时间为t（s）．

（1）当t＝3s时，连接AC与EF交于点G，如图①所示，则AG＝　　cm；

（2）当E、F分别在线段AD和AB上时，如图②所示，求证△CEF是等边三角形；

（3）当E、F分别运动到DA和AB的延长线上时，如图③所示，若CE＝cm，求t的值和点F到BC的距离．

【分析】（1）想办法证明CE＝CF，AE＝AF，推出AC垂直平分线段EF，即可解决问题；

（2）如图②中，连接AC．只要证明△DCE≌△ACF即可解决问题；

（3）如图③中，连接AC，作CH⊥AB于H，FM⊥BC交CB的延长线于M．解直角三角形求出AF，FM即可解决问题；

【解答】（1）解：如图①中，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，

∴DA＝DC＝AB＝BC，

∴△ADC，△ABC第三等边三角形，

当t＝3时，AE＝DE＝3cm，AF＝BF＝3cm，

∵CA＝CD＝CB，

∴CE⊥AD，CF⊥AB，

∵∠CAB＝∠CAD，

∴CF＝CE，∵AE＝AF，

∴AC垂直平分线段EF，

∴∠AGF＝90°，

∵∠FAG＝60°，

∴∠AFG＝30°，

∴AG＝AF＝cm，

故答案为．

（2）如图②中，连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，

∴DA＝DC＝AB＝BC，

∴△ADC，△ABC第三等边三角形，

∴∠D＝∠ACD＝∠CAF＝60°，DA＝AC，

∵DE＝AF，

∴△DCE≌△ACF，

∴CE＝CF，∠DCE＝∠ACF，

∴∠ECF＝∠ACD＝60°，

∴△ECF是等边三角形．

（3）如图③中，连接AC，作CH⊥AB于H，FM⊥BC交CB的延长线于M．

由（2）可知：△ECF是等边三角形，

∴CF＝CE＝3，

在Rt△BCH中，∵BC＝6，∠CBH＝60°，

∴BH＝3，CH＝3，

在Rt△CFH中，HF＝＝3，

∴BF＝3﹣3，AF＝3+3，

∴t＝（3+3）s，

在Rt△BFM中，∵∠FBM＝∠ABC＝60°，BF＝3﹣3，

∴FM＝BF•sin60°＝．

【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e6534f7e951ea76e58fafab069dc5022abea4661.html