宁夏银川市2020-2021学年普通高中高三学科教学质量检测理科数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知集合
A.
2.已知复数
A.
3.为了普及环保知识,增强环保意识,某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛,得分(10分制)的频数分布表如表:
得分 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
频数 | 2 | 3 | 10 | 6 | 3 | 2 | 2 | 2 |
设得分的中位数为
A.
4.曲线E是以原点为对称中心,坐标轴为对称轴的双曲线,已知
A.
C.
5.已知a,b,c是实数,且
A.
6.已知平面
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若
A.
8.△ABC是边长为4的等边三角形,
A.﹣2 B.10 C.12 D.14
9.已知函数
A.
10.将函数
A.
C.
11.已知圆锥的母线与底面所成的角等于60°,且该圆锥内接于球O,则球O与圆锥的表面积之比等于( )
A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:16
12.已知定义域为
A.
二、填空题
13.2021年初,新型冠状病毒肺炎疫情时刻牵动着全国人民的心,全国有无数医务工作者成为最美“逆行者”,他们敢于担当,勇于奉献,奋战在抗击疫情的最前线.宁夏援鄂某医疗小队中有2名男医生,3名女医生,现从中选择2名医生执行某项医疗任务,则选中的都是女医生的概率是_____.
14.在
15.设抛物线
三、双空题
16.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”,实施“以直代曲”的近似计算,用正
四、解答题
17.如图是2021年至2021年国内游客人次y(单位:亿)的散点图.
为了预测2025年国内游客人次,根据2021年至2021年的数据建立了
(1)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
(2)根据(1)中你选择的模型预测2025年国内游客人次,结合已有数据说明数据反映出的社会现象并给国家相关部门提出应对此社会现象的合理化建议.
18.如图所示,已知四边形
(1)证明:
(2)若
19.
(1)证明
(2)数列
20.已知函数
(1)若函数
(2)试讨论函数
21.平面直角坐标系
(1)求椭圆
(2)设椭圆
(i)若
(ii)若
22.在平面直角坐标系
(1)写出
(2)设点
23.已知函数
(1)当
(2)证明:
参考答案
1.C
【分析】
求出集合
【详解】
∵
∴
故选:C.
【点睛】
本题考查了列举法、描述法的定义,一元二次不等式的解法,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题.
2.C
【分析】
由题意得
【详解】
由题意,
则
∴
故选:C.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,是基础题.
3.D
【分析】
由频率分步表求出众数、中位数和平均数,比较即可.
【详解】
由图知,众数是
中位数是第15个数与第16个数的平均值,
由图知将数据从大到小排第15 个数是5,第16个数是6,
所以中位数是
平均数是
∴
故选:D.
【点睛】
本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题,是基础题.
4.A
【分析】
由渐近线的方程设双曲线的方程,再由过的点的坐标代入可得双曲线的方程.
【详解】
由题意设双曲线的方程
所以可得
即双曲线的方程为
故选:A.
【点睛】
本题考查求双曲线方程的方法,属于基础题.
5.D
【分析】
根据
【详解】
∵
对于A,
对于B,
对于C,
对于D,
故选:D.
【点睛】
本题考查了不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题.
6.A
【分析】
根据面面垂直的性质定理,以及充要条件的判定方法,即可作出判定,得到答案.
【详解】
由题意知,平面
当
反之当
所以
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理,以及充要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.
7.D
【分析】
由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式先求得
【详解】
∵
∴
化简
∴
则
故选:D.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用,属于基础题.
8.B
【分析】
根据题意画出图形,结合图形利用平面向量的线性运算与数量积的定义,计算即可.
【详解】
如图所示,
所以
所以
故选:B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算问题,是基础题.
9.B
【分析】
根据题意,分析可得
【详解】
根据题意,函数
则
又由
则有
故与
故选:B.
【点睛】
本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及对数的大小比较,属于基础题.
10.A
【分析】
按照“左加右减”先求出平移后的解析式,然后将
【详解】
∵函数
∴向左平移
化简得
解得
故选:A.
【点睛】
本题考查了三角函数的图象和性质,以及利用换元思想求单调区间的思路.属于基础题.
11.C
【分析】
由圆锥的母线与底面所成的角等于60°,可知过高的截面为等边三角形,设底面直径,可以求出其表面积,根据圆锥内接于球O,在高的截面中可以求出其半径,可求其表面积,可求比值.
【详解】
设圆锥底面直径为2r,圆锥的母线与底面所成的角等于60°,
则母线长为2r,高为
则圆锥的底面积为:
则圆锥的表面积为
该圆锥内接于球O,则球在圆锥过高的截面中的截面为圆,即为边长为2r的等边三角形的内切圆,则半径为
则球O与圆锥的表面积之比等于
故选:C.
【点睛】
本题考查圆锥的性质,以及其外接球,表面积,属于中档题.
12.A
【分析】
求出
【详解】
当
当
当
则
由
由方程
又
当该直线经过点
由图象可得当
故选:A.
【点睛】
本题考查函数方程的转化思想,考查导数的运用,以及图象平移,考查运算能力和数形结合思想的运用,属于中档题.
13.
【分析】
基本事件总数
【详解】
宁夏援鄂某医疗小队中有2名男医生,3名女医生,
现从中选择2名医生执行某项医疗任务,
基本事件总数
选中的都是女医生包含的基本事件总数
则选中的都是女医生的概率是
故答案为:
【点睛】
本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
14.
【分析】
根据
【详解】
因为
所以
又
即
联立①②结合
设
∴
故答案为:
【点睛】
本题考查解三角形中的余弦定理、面积公式等基础知识,同时考查了学生利用方程思想解决问题的能力.属于中档题.
15.
【分析】
根据题意画出图形,结合图形求出
【详解】
如图所示,
因为
所以圆的半径为
由抛物线定义知,点A到准线l的距离为
所以
解得
根据弦长公式可得弦长等于
故答案为:
【点睛】
本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题,也考查了数形结合应用问题,是基础题.
16.
【分析】
先根据题意求出
【详解】
函数
则
∴
∴
根据以直代曲,
所以可以将
即
故答案为:
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,以及导数的极限概念.要注意理解.属于基础题.
17.(1)模型②;见解析(2)见解析
【分析】
(1)选择模型②得到的预测值更可靠,从散点图和相关指数R2,都可以得出结论;
(2)将
【详解】
(1)选择模型②得到的预测值更可靠;
理由一,观察散点图,散点分布更接近一条直线,故选择回归模型②;
理由二,比较三个模型的相关指数R2,模型②的相关指数R2最大,且最接近1,
说明该模型能更好的解释数据,模型的拟合更好,故选择模型②;
(2)将
结合已有数据可以看到国内游客人数逐年稳步增长,到2025年国内游客人次已是非常巨大的数字,
国内旅游热成为越来越突出的社会热点现象,国内旅游热为我国社会发展贡献了经济增长点的同时,
也对旅游管理和环境保护部门等相关带来了压力,故建议:
各地旅游管理部门应在开发、统筹旅游资源,创新旅游项目、统筹风景区建设,
规划旅游路线、提高服务意识、提升服务水平上做好准备,建立风险评估机制和应急预案;
环保部门应与旅游管理部门协调做好风景区的环境保护预案,
防止在风景区的开发、建设以及运营过程中造成的生态破坏或环境污染等问题.
【点睛】
本题考查了线性回归模型的应用问题,也考查了分析问题、解决问题的能力,是中档题.
18.(1)见解析(2)
【分析】
(1)取
(2)推导出
【详解】
证明:取
∵
∴
同理,
∴四边形
∴
∴
(2)∵
∴
∵平面
∴
分别以
则
设平面APC的法向量
则
平面
设二面角
则
∴二面角
【点睛】
本题考查线面平行的证明,考查二面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
19.(1)见解析,
【分析】
(1)先利用定义法证明
(2)先利用数列
【详解】
(1)证明:因为
所以
∵
∴
当
∴
(2)∵数列
∴公差
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查了等比数列与等差数列的定义及通项公式和裂项相消法求和,属于中档题.
20.(1)
【分析】
(1)由
(2)先对函数求导,然后结合导数与单调性的关系及函数的性质,零点判定定理即可求解.
【详解】
(1)题意可知,由
即
结合二次函数的性质可知,
故
(2)由
令
令
所以当
所以
当
当
【点睛】
本题主要考查了导数在单调性的判断中的应用,还考查了导数与函数性质的综合应用,体现了分类讨论思想的应用.
21.(1)
【分析】
(1)根据
(2)(i)先由(1)中的结论得出椭圆E的方程,设点
(ii)利用点到直线的距离公式可得到点
【详解】
(1)由题意可知,
∵
又椭圆过点
∴椭圆C的方程为
(2)(i)由(1)可知,椭圆E的方程为
∴射线
∴
(ii)∵
∵点Q到直线AB的距离等于原点O到直线AB距离的3倍,
∴
联立
∴弦长
∴
令
当且仅当
故
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系,涉及曲直联立、弦长公式、对勾函数的性质等知识点,还采用了换元法,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
22.(1)
【分析】
(1)利用
(2)将射线
【详解】
(1)∵
∴曲线
∵
∴曲线
(2)依题意设
∴由
∵
∴
∵
∴在直角
∵在直角
∴
∴
【点睛】
本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识;考查运算求解能力;考查数形结合、函数与方程思想.
23.(1)
【分析】
(1)分3段去绝对值解不等式组,再取并集;
(Ⅱ)由题
【详解】
解:(1)当
①当
②当
③当
综上,不等式
(2)证明:因为
所以
当且仅当
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法,属于中档题.
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