期权定价理论

期权定价理论

期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世（有关期权定价的发展历史大家可以参考书上第358页，有兴趣的同学也可以自己查找一下书上所列出的经典文章，不过这要求你有非常深厚的数学功底才能够看懂）。B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。为此，对期权定价理论的完善和推广作出了巨大贡献的默顿和Scholes在1997年一起荣获了诺贝尔经济学奖（Black在1995年去世，否则他也会一起获得这份殊荣）。

原始的B—S模型仅限于这类期权：资产可用于卖出期权；能够评估价值，资产价格行为随时间连续运动。随后建立在原始的B—S模型上的研究以及许多其他期权定价模型的变体相继出现，用于处理其他类型的标的资产以及其他类型的价格行为。在大多数情况下，期权定价模型的推倒基于随机微积分（Stochastic Calculus）的数学知识。没有严密的数学推演，演示这种模型只是摸棱两可的。可是，这并非要紧的问题，因为确定期权公平价格的必要计算已自动化，且达到上述目的的软件在大型计算机及微机中均可获得。因此，在这里，我只简单介绍一下B—S模型的关键几个要素，至于具体的数学推导（非常复杂），感兴趣的同学可以在课后阅读一下相关资料（一般都是在期权定价理论章节的附录中）。

首先，我们来回顾一下套利的含义

套利

套利（arbitrage）通常是指在金融市场上利用金融产品在不同的时间和空间上所存在的定价差异、或不同金融产品之间在风险程度和定价上的差异，同时进行一系列组合交易，获取无风险利润的行为。注意，这种利润是无风险的。

现代金融交易的目的主要可以分为套利、投机和保值，这也是我们在以前的课程中接触过的。

那么，我们怎样来理解套利理论的含义呢？

我们说，市场一般是均衡的，商品的价格与它的价值是相一致的。如果有时候因为某种原因使得价格与价值不相符，出现了无风险套利的机会，我们说这种套利的机会就会马上被聪明的人所发现和利用，低买高卖，赚取利润，那么通过投机者不断的买卖交易，原来价值被低估的商品，它的价格会上涨（投机者低价买入）；原来价值被高估的商品，它的价格会下跌（投机者高价卖出），交易的结果最终会使得市场价格重新回到均衡状态。（就像书中列举的两家书店卖书的例子一样…）

同样的道理我们不难理解，现代期权定价技术就是以无风险套利原理为基础而建立起来的。我们可以设计一个证券资产组合，使得它的价值（收益）与另外一个证券资产组合的价值相等。那么，根据无风险套利理论，这两种证券资产组合应该以同样的价格出售。从而，可以帮助我们确定，在价格均衡状态下，期权的公平定价方式。

具体来说，对期权跌——涨平价原理的推导就采用了无风险套利的原理。

跌——涨平价原理（put——call parity）

看涨期权的价格与看跌期权的价格（也就是期权费）之间存在着非常密切的联系，因此，只要知道看涨期权的价格，我们就可以推出看跌期权的价格（通过平价原理）。这样，就省去我们再费心研究看跌期权的定价公式了。只要我们通过B——S模型计算出看涨欧式期权的定价之后，我们就可以相应地推出欧式看跌期权的定价（注意，B——S模型只适用于欧式看涨期权）。

第一节 证券价格变化过程

为了很好地理解B—S模型，我们首先来学习一下金融价格行为

1. 金融价格行为

B—S模型的一个重要的假设是资产价格遵循对数正态分布。这是什么意思？

相信大家都已经学习过统计学，你们对于正态分布应该很熟悉了。什么是正态分布？我们可以看下面的正态分布图：

正态分布在我们现实生活中经常发生，比如说，从我们学校的男生中随即抽取1000人，然后用图画出他们身高的分布就是正态分布。在小组平均身高分布达到顶值，但是围绕平均值有一定偏差。衡量偏差程度的统计方法叫标准差，正态分布的一个特点是68.3%的分布在平均值的正负一个标准差之间，95.4%分布在平均值的正负两个标准差之间。假如在东北大学男生身高的统计调查中，我们发现平均身高为1.72米，标准差为0.09米。这表示抽样模型中有95.4%的男生身高在1.54米和1.90米之间，并可以推断被抽样的群体身高也符合这个分布。

既然现实生活中正态分布如此普遍，因此我们很容易假定金融价格也服从正态分布。但是这种假定会产生几个问题，其中一个是服从正态分布的变量可能为负值，而大多数金融价格却不会这样（现实生活中，价格不可能为负值）。

事实上，价格本身不服从正态分布，大多数收益率却服从正态分布。一个投资者以100元的价格买入股票，他可能有正的10%的收益或者是负的10%的损失。

如果简单看来，投资者首先获得10%的收益率然后再损失10%没有什么变化，他不赔不赚。但，真实这样吗？10%的增长使投资者的股票从100上升到110，而再次10%的下降使他的股票价值从110下跌到99（110*90%）。

投资者没有回到原来的价格起点（100元）的原因在于收益率的计算方法上。从100到110是在100的基础上增长10%，从110到99是在110的基础上下降10%，虽然变化的百分比一样（都是10%），但是变化的基数却不同（100和110），因此最后的结果就不能够回到原起点价格100元。

这种简单用百分比相加来衡量最后结果的方法所确定的结论是错误的，例如上面的那个例子，上升10%和下降10%相抵消，股票的价格好象不应该有变化（还是100元），但事实却是99元，我们估计的结果（100）比实际（99）少1元，也就是说，实际的结果是损失1%。

正确的计算方法不是通过百分比相加，而是把价格比相乘。价格比就是连续价格的比值。在上例中，两个价格比是110/100 = 1.1 和 99/110 =0.9。价格比相乘为1.1*0.9=0.99。这才是正确答案，即最后的价格是最初价格的0.99倍。

我们可以采用一种数学方法使我们只用加法而不用乘法，那就是，利用对数的性质，对两个数值取对数（在金融中最有用的是自然对数，以e为底），然后相加得到两数乘积的对数。把这种方法应用于上例：

ln（110/100）= 0.0953

ln（99/110）= -0.1054

ln（110/100）*（99/100） = -0.0101

我们发现，从110下降到99比初始的100上升到110的对数大，这就是为什么最后的结果为负数的原因，它表示整体价格下降。为了找出最后价格下降1.01%后是多少数值，我们需要使用对数的相反概念：指数。因为我们用的是以e为底的对数，我们就用 得到0.99或99%。这种计算表明最后的价格是99，也就是正确答案。

从上面的推导过程我们可以总结出，用价格比的对数计算收益率比单用价格比更准确。所以，我们定义收益率为：

收益率 = ln（St+1 / St）

比传统的定义方式

传统定义收益 = （St+1 / St — 1）

更准确。这里，St代表t时间的市场价格，St+1代表一段时间后的价格。

考虑收益率在七年中每年增长10%对价格的影响。从100开始，价格逐步增长：

100，110.52，122.14，134.99，149.18，164。87，182.21，201.38

从绝对值看，价格在七年中翻了一倍，每次增长都比前一次增长幅度大。现在考虑七年中收益率每年下降10%对价格的影响，同样从100开始：

100，90.48，81.87，74.08，67.03，60.65，54.88，49.66

价格经过七年减了一半，每一次价格下降都比前一次价格下降幅度小。如果我们把这两个系列数据按水平线描绘，表示价格随时间的变化，就可得到如图所表示的图形。它很清楚地表明在图1的右方价格上升加速，图1的左方价格下降减速。

让我们回到金融收益服从正态分布这个概念上。如果收益率服从系统的正态分布，那么价格服从扭曲的正态分布，如图1所展示的，左边逐渐压缩，右边逐渐扩展。和图2比较后更清楚，图2显示的是收益率的正态分布，平均值为10%，标准差的绝对值为20%，图3显示的是价格的分布。

图3所显示的就是价格分布，我们把它叫做对数正态分布，因为变量即价格的对数呈正态分布。好，了解了这一点，我们就可以进一步学习B—S模型了。

第二节 Black—Scholes模型

2.1 B------S定价公式

我们知道，任何金融资产的适当价格都是它的预期价值，也就是说，我们现在对它的定价是建立在对它未来价格预期的基础上的。例如，如果一只股票有30%的机会达到49的价位，同时有70%的机会达到50的价位，那么它的适当价格应该为：

1. 3*40 + 0.7*50 = 47 （它未来的价格乘以它达到这个价格的概率系数）

同样，这个原理也适用于期权。期权到期日的适当价值等于它可能取得的任何价值乘以该价值产生的概率的加总。从上述简单的举例中，只有间断的两个结果。但是期权可以以任何价值出现，因此有必要使用连续分布而不是间断分布。在间断分布中，某个结果的概率可以直接阴影的高度求出，而在连续分布中，某一范围结果的概率由曲线下的阴影部分求得。

从看涨期权的定义, 期权到期日的预期价值是:

E(CT) = E[ max (ST – X, 0)] 等式1

这里: E(CT)代表看涨期权到期日的预期价值

ST代表对应资产到期日的价格

X代表期权的执行价格

在到期日有两种可能情况发生. 如果ST > X, 看涨期权到期时为价内,则max (ST – X, 0) = ST – X. 如果ST< X,看涨期权到期时为价外, 则max (ST – X, 0) = 0. 如果P定义为ST > X的概率, 等式1可以改写成:

E(CT) = 等式2

这里:

P代表ST < X的概率

E [ ST ST > X ]代表在ST > X下ST的预期价值.

等式2给出了看涨期权到期日的预期价值. 为了获得合同的适当价格(因为期权费是预先支付的), 该等式应该加以折现得到其现值如下:

等式3

这里; C代表期权开始时的适当价格

r代表连续的复合零风险利率; t代表直到到期日的时间长度.

那么, 为期权定价的问题现在缩小为两个简单的问题:

(1) 决定p---即期权到期日时为价内期权的概率, 使得 ST > X,

(2) 决定E [ ST ST > X ], 即当期权到期日为价内时对应资产的预期价值.

这两个问题的答案可以从金融价格的对数分布中找到. 下图显示的是金融价格的对数正态分布, 它强调了价格超过120的分布(横轴是价格, 纵轴表示概率密度). 如果我们想要为交割价格为120的期权定价,这个阴影部分将很有用. 我们只要找出市场价格超过执行价格120的概率(阴影部分产生的概率),以及发生这种情况时的资产的预期价值就可以了.

通过计算, 我们得出, 阴影部分占整个分布的34%, 因此最后价格超过120的概率为034. 阴影部分的预期价值(如果在阴影部分中间设一个小木板让它平稳, 这个支点刚好在137.894处)为137.894. 如果连续复利是12%, 交割价格为120的期权的适当价格是:

这就是B---S模型给出的期权的价格.

那么,0.34和137.894是怎么算出来的? 这里就要求我们来推倒概率P和期望值E [ ST ST > X ]了. 无论是推导概率P, 还是推导期望值E的过程都非常复杂, 在这里我就不做更多的叙述了. 因为如果真的进行一步步的推导的话, 恐怕一节课也不会推导完善,而且其中牵扯到了许多复杂的计算过程,所以在这里我就把它省略了. 大家只要知道B-S公式的推导原理, 并且能够应用它就可以了. 就像你只要知道如何操作WORD软件, 而不用了解它是如何被编制出来的一样.如果你确实对B-S模型感兴趣, 课后你可以找相关的书籍看一下.

通过复杂的推导, 我们得出:P = N (d2),

E [ ST ST > X ] =

其中, N表示累积正态分布, d1 =

d2 =

把它们带入等式3, 得到看涨期权完整的定价公式:

所以 C =

这里; S0为现行股价; X为期权的协定价格; t期权至到期日的时间; r为无风险利率; σ为股票收益的标准偏差, 波动率; N累积正态分布; ln为自然对数.

这就是著名的B—S期权定价模型. B---S模型的产生, 为金融界计算期权的价格提供了可靠而简明的计算方法. 在实践中, 大多数期权分析师都采用某种B—S模型的基本形式或变异形式来进行期权的定价. 而且,也有许多软件提供相应的期权价格分析. 对于你们来讲,不要求你们将B—S模型记住, 你只要会使用就可以了. 考试的时候, 公式会列给你们的。

以上部分我们讨论的都是对于看涨期权的定价, 而没有说看跌期权. 那么, 如何对欧式看跌期权来定价呢? 我们说,由于有了看涨----看跌平价原理, 我们就没有必要再去建立单独的模型去计算看跌期权的价格了. 只有通过平价公式, 已知看涨期权的价格之后, 我们就可以推导出看跌期权的价格了。

例题: 假定某股票现值为$30, 该股票3月期的期权的协定价格为$25, 无风险利率为5%, 该股票价格的波动率为45%. 试计算该股票欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格.

2.2 有关B----S的假设条件

目前, B---S模型已经成为期权交易专业人士为期权定价的重要工具之一. 但是我们在应用这个模型的时候必须十分注意该模型的几个前提条件. 对这些条件理解得越深刻, 你在期权定价中就越会得心应手.

(1) 不支付股息和红利. B---S模型假设作为基础资产的股票在期权定价期间不支付红利和股息. 而实际上, 由于大多数股票都要支付股息或红利, 因此, 在实际操作中, 如果在期权的有效期内遇到股票支付红利的情况时, 我们应当对B---S模型做出适当的调整, 以反应股票支付红利的事实. 因为股息率或红利率越高, 看涨期权费越低, 所以股票价格应当减去未来支付股息或红利的贴现值, 也就是: .

例题. 假如按照上面的例子, 该股票的现金红利为0.50元, 82天后支付, 那么, 该股票的期权费将如何计算?

(2)期权为欧式期权. B---S模型之对于欧式看涨期权进行定价, 美式看涨期权因为具有更大的灵活性(提前执行的可能性较大), 所以不能使用B----S模型. 对于美式看涨期权, 我们会采用其他方法来定价。

（3）市场是有效率的, 不存在无风险套利的机会. (366)

（4）无交易成本,如不支付佣金,税收等. 事实上, 这个假设也不太符合实际,因为在现实生活中,即使是交易商也要支付费用, 对于散户投资者来讲, 交易成本会更大. 如果考虑到交易成本的话, 期权的真正成本可能会发生很大的变化, 这也是不同期权市场实际期权费差异的主要因素。

（5）利率为常数或已知. 无风险利率, 30天的美国短期国库券利率。

（6）收益呈对数正态分布. 这一假设适用于绝大多数金融资产的价格分布特征.

2.3 易变性或变动率的计算

如果观察期权定价需要的五个变量,我们发现有四个很容易获得.对应资产的价格和利率可以很容易地从路透和电子屏幕上读到,交割价格和到期日在签定期权时已经确定.只有一个变量却不是那么清楚,它就是对应资产价格的变动率,或简称变动率(Volatility).

金融资产的变动率越大,说明基础资产偏离协定价格的可能性也越大,那么,该种期权的价格就越高.这是期权定价模型中我们为什么如此关注变动率的原因. 变动率在期权定价被定义为收益率的年标准差. 注意此定义没有把变动率直接与价格变动联系,而是与产生价格的收益率变动联系.

变动率的计算方法有两种:

(1) 正向法(forwards)

这是指应用历史数据来计算变动率, 也叫做历史变动率. 具体的计算方法如下:

a金融资产的相对价格(价格比:两个连续收盘价之比)

b相对价格的自然对数

c对数相对价格的标准偏差(离差)

d标准偏差(离差)的平方,经开方后得到σ。

具体的计算公式如下:

计算这些数据时要考虑应该选择多少个观察值才能得到相对准确的数值. 观察值越多, 可靠性越大. 但是太久远的数字用来计算今天的波动率可能不相关,一般来讲,20到50个观察值可以得到合理的结果.

在这里我们计算出来的变动率是历史变动率, 但我们要求未来的变动率. 因为给未来到期的期权定价时需要未来的收益变动率而不是过去的变动率. 如果从过去可以合理地推出未来,那么历史变动率可以作为未来变动率的合理参考值.例如, 1987年股灾之后, 标准普尔500股票指数的20天变动率从通常的12%狂升到150%. 如果造市商完全依赖历史变动率,在股灾后的一个月,他们是在另外一个股灾将发生的基础上来给期权定价的. 其结果肯定是不合理的.

那么, 我们如何来得到一个较为合理的变动率呢? 这就要使用方法二:

(2) 逆向法 (backwards)

如果期权价格可以由变动率决定, 那么变动率也可以由期权价格决定. 这种方法是运用期权价格往回推导. 也就是说, 我们已知期权价格(该期权的报价)和其他四个变量, 可以反向推导出期权价格中所隐含的变动率. 通过这种方法计算出来的变动率叫做隐含变动率 (Implied Volatility)

因为期权价格都可以获得,大多数市场参与者使用相似或一样的定价模型,所以计算隐含变动率就很直接,而且一般比运用历史变动率要适当.

为了解释这一方法的基本思路, 我们假设S=21, X=20, R=0.1, T – t =0.25时一种不付红利股票的看涨期权的价值为1.875. 隐含变动率是把以上数据代入B-S方程, 求使得C=1.875的σ的取值. 但是,我们不能直接解出方程, 使得σ表示为其他四个变量的函数形式. 这时候, 我们可以用插值法得到隐含波动率. 也就是我们不断假定σ的数值, 带入B-S公式, 从得到的C值进行不断调整, 最后得到变动率的准确值. 例如, 我们假定σ=0.2, 这个值使得C的值等于1.76, 比1.875小. 由于期权的价格与变动率的大小成正比,因此, 如果计算出的C比实际小的话, 说明我们的σ值估计小了, 我们就要选大一些的σ值. 这样不断实验, 最后找到准确的变动率. (这种方法比较麻烦).

在考试中我们有可能给出一个变动率, 利用其他变量去估计欧式看涨或看跌期权的价格, 然后与已知的看涨期权价格进行比较, 来判断我们对于变动率的估计是否正确.(你的前提假设是:变动率的估计是正确的; 然后在此变动率的基础上去计算期权价格,与实际的期权报价相比较, 最后得出结论)..

例: DJB公司的一股股票现价为$2.5, 它的变动率被估计为0.6. 一个欧式看涨期权的协定价格是$2.00, 期限为3个月, 看涨期权费为$0.45. 无风险利率为5%. 问:我们对于变动率的估计是否合理?

第三节 期权定价的二叉树模型（二项式）

Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点, 但是它的推导过程难以为人们所接受. 在1979年, 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型, 称为二项式模型(Binomialｍodel)或二叉树法(Binomial tree).

我们首先来看:

3.1一期间二项式模型

二项式模型的特点是将看涨期权合约的到期期限分成若干个时间段(每一个时间段称为一个期间), 并假定期权的基础资产的价格在每经过一个期间的时间后以事先规定的比例上升或下降. 为直观简便起见, 我们首先考虑一期间的情形:

假设: 在任何一个给定的时间, 金融资产的价格以事先规定的比例上升或下降. 如果资产价格在时间t的价格为S, 它可能在时间段t + 内上升到Su或下降到Sd. 假定对应的期权价格也上升到Cu, 或下降到Cd. 下图表示了这些平行移动. 当金融资产只可能达到两种价格时, 这一顺序被称为二项程序.

为了解释方便, 我们假定S = 100, u =1.2, d=0.9, 看涨期权的协定价格为100, 只有一期. 在这些条件下, 我们知道如果对应资产价格上升到120, 期权在到期时值20; 如果对应资产价格下降至90, 期权到期时没有价值. 下图显示了这个特殊的例子.

在图中我们可以看出, 唯一不知道的是C, 也就是看涨期权在到期日前的一段时期的价值. 我们将证明C的适当价值可以通过建立期权和对应资产的无风险套利组合来决定.

考虑这样一个资产组合:

a以价格C卖出三份看涨期权

b以价格100买入两份对应资产

c在这短时间以10%的利率借入163.64

那么, 开始时的净现金流为 3C – 200 + 163.64 = 3C – 36.36.在到期日时, 有两种可能结果(价格上升或下降), 每种结果的现金流如下表所示:

期权和对应资产组合的结果

上升 下降

卖出资产过程 2 × 120 = 240 2 × 90 = 180

支付空头看涨期权 3 × (-20) = -60 3× 0 =0

归还借款 -180 -180

净现金流 0 0

从上面这个表我们看出, 这个由对应资产, 借款和期权组成的特殊组合不管对应资产上升还是下降结果都一样. 这就是无风险套利交易. 如果这个特殊组合的最后结果总是零, 那么开始获得此组合的适当价格也为零. 这表示 3C – 36.36 =0, 即 C = 12.12.

上面举的无风险套利交易的方法比较独特, 我们可以把它引申到一般的情况当中.

考虑以下资产组合:

a卖出一份看涨期权

b买入h份对应资产

c借入款项B.

在到期日时, 我们希望选择价值h和B使不管对应资产价格上升还是下降, 组合的最后结果为零. 我们可以设定:

S u h– Cu – BR = 0

S d h – Cd – BR = 0

在这里R为 , i是按连续复利计算的无风险利率. 这是一个包含两个未知变量的方程式, 经过简单的计算可以得出h和B:

h = (Cu – Cd) / S(u – d)

B = (d Cu – u Cd) / R(u – d)

因为初始的现金流为0, 所以:

C – hS + B = 0

把h和B的值带入上面的等式, 得到:

C = [( R – d )Cu + ( u – R )Cd] / R(u – d)

最后得到价格上涨的概率为:

p = ( R – d ) / ( u – d )

把一期期权价值的表达式写得规矩一点:

C = [ p Cu + ( 1 – p ) Cd ] / R

从一期期权的定价公式我们得出: 每一步期权的价值只是预期结果的现值, 没一种结果按其发生的概率进行加权.

例题. 股票价格的现值为$20, 而且已知在3个月末股票的价格会达到$22或$18. 投资者买入3月期的该股票的欧式看涨期权, 协定价格为$21. 无风险利率为12%每年, 用二项式法计算该股票欧式看涨期权的价格.

3.2两期间二项式模型

这种为一期期权定价的方法可以开展为更长到期日的期权定价. 我们来观察两期期权, 把上面的例题展开为两期. 初始价格为$20, 在每个时间间隔价格都会上升10%, 或下降10%. 我们假设每个时间间隔是3个月, 无风险利率为12%每年, 看涨期权的协定价格是$21.

我们分析的目的就是计算出初始结点的期权价格. 要想达到这个目的, 我们可以重复地应用前面一期间二项式模型的计算原则. 我们可以画出两个期间的二叉树模型, 如下图所示:

如果价格在这两个时期内呈直线上升, 最后价格为20 * 1.1 * 1.1 = 24.2. 如果价格在两个时期下降, 最后为16.2. 最后, 如果资产价格先升后降, 或先降后生, 价格将为19.8. 与此想对应地, 我们可以求出期权的内在价值. 分别用下面的图来表示(每个结点用字母来标明):

在结点D, 股票价格是24.2, 看涨期权价值为24.2 – 21 = 3.2; 在结点E和F, 看涨期权为价外, 期权价值为0. 在结点C的看涨期权价格为0, 因为结点E和F的价值都是0.

我们主要关注结点B的看涨期权价格. 用我们前面的二项式计算方法, u = 1.1, d = 0.9, r = 0.12, T = 0.25, 那么 p = 0.6523. 因此, 结点B的期权价格为:

最后, 我们还要求期权的最初价格, 也就是结点A的期权价格(利用结点B的期权价格和结点C的期权价格). 最后, 结点A的看涨期权价格为:

从上面的数字例子我们可以总结出两期间二项式模型的定价方法.

股票价格的现值是S0. 在每个时间段内, 股票价格会上升u倍, 或下降d倍. 股票价格的变化可以从图中看出来(例如, 在两个期间段后, 价格上升到 , 期权价格为fuu). 我们假设无风险利率为r, 每个期间段的长度为 .

重复一期间二项式模型的定价方法, 我们可以得到:

把等式1, 等式2带入等式3, 可以得到:

这样, 我们就可以把大问题化解为几个小问题, 即”分割法”. 从后往前推, 从最后的两个结点(价格上升或下降后的数值)来推出前面结点的期权价值, 直到推出最后的期权价值为止.

如果一期模型可以扩展为二期模型, 那么它也可以扩展为多期模型, 得到一个完整的阶梯结构. 解体上每一个结点代表某一时间对应资产的价格. 在每一步中, 价格可能上升或下降. 从左边的市场价格, 阶梯逐渐扩展, 包含了随时间变化对应资产所有可能达到的价格. 到期日时间越长, 对应资产价格变化越剧烈, 阶梯范围越大.

作为二差数方法的解释, 我给大家准备了一个运用十步二项式模型为我们例题中的期权定价, 表中列出了所有资产价格和期权价值.

在此例中, 运用十步二项式方法求出期权的适当价格为5.40, 和B-S模型求出的一样. 看起来二项模型和B-S模型是一致的. 实际上, 我们通常要使用十步以上, 否则二项式方法得出的结果就不可信了.

当二项模型步数越来越大, 最后为无尽, 此时的二项模型和B-S模型完全一致. 这就提出了一个问题: 为什么要使用二项模型? 它计算起来十分费时间. 答案是二项模型的限制更少, 当B-S模型不好用时可以用来进行期权的定价. 例如, 美式期权或者有不规则股息支付的股票的期权, 用B-S模型定价有较大的扭曲. 在这些情况下, 使用二项模型相对要简单, 准确一些. (你只要掌握一点: 对于欧式期权, 我们应用B-S模型来定价; 对于美式期权, 我们要用二项式方法来定价. 具体的事例我们在后面会给出).

下面给大家介绍一下与二项式方法和B-S模型都相关的期权定价的重要思想:

3.3风险中性假设 ( Risk Neutrality)

如果一个问题的分析过程与投资者的收益/风险偏好无关, 那么可以把这个问题放在一个假想的风险中性的世界里进行分析, 而所得结果在真实世界里也应当成立, 即风险中性假设.

我们用二项式方法对期权进行定价时, 把P和1 – P定义为风险中性概率, 而且期权的价值也相当于其末期权的预期值用无风险利率折现后的现值. 由于期权是有风险的金融工具, 要计算现值的话, 折现率也不应该是无风险利率. 这些都涉及到风险中性假设.

现代金融学认为理性的投资者都是厌恶风险的, 他们承担风险的同时要得到相应的回报. 如果一个投资者对风险采取无所谓的态度, 那么他就被认为是风险中性的. 在一个风险中性的世界里, 所有市场参与者都是风险中性的. 他们对于资产的风险性大小或是否有风险都不要求相应的补偿, 所有资产的预期收益率都是一样的. 因此, 风险中性的投资者对于任何资产所要求的收益率就是无风险利率. 而且, 所有资产现在的市场均衡价格都应当等于其未来收益的预期值, 加上考虑到货币的时间价值, 资产的现行价格就都是未来预期值用无风险利率折现后的现值. 这就是我们为什么把P和1 – P叫做风险中性概率, 而采用无风险利率作为折现率的原因.

利用风险中性假设可以大大简化问题的分析. 因为在风险中性的世界里, 对所有的资产(不管风险如何)都要求相同的收益率(无风险利率), 而且, 所有资产的价格都可以按照风险中性概率算出未来收益的预期值, 再以无风险利率折现得到. 最后, 将得到的结果放回到真实世界中, 就取得了有实际意义的结果.

风险中性假设也同样适用于B-S定价模型. 如果B-S微分方程中包含股票的预期收益μ, 那么它将受投资者风险偏好的影响. 因为μ值的大小确实依赖于风险偏好. 对于任何给定的股票, 投资者厌恶风险程度越高, μ的值就应该越大. 而幸运的是, 在方程的推导过程中, μ恰巧被消掉了. B-S方程不受投资者风险偏好影响的事实使得我们对期权进行定价时可以提出一个非常简单的假设: 所有的投资者都是风险中性的. 因此, 所有证券的预期收益率都是无风险利率 r. 同理. 我们也可以用无风险利率作为贴现率, 将期权到期时的价值贴现到现值.

风险中性假设是对于B-S微分方程的人为假设, 求得的方程解对于所有世界都有效, 而不仅仅是风险中性世界. 当我们从风险中性世界进入到风险厌恶世界时会发生两件事情:股票价格的期望增长率改变了; 在衍生证券任何损益中所用的贴现率改变了. 然而这两件事的效果总是正好相互抵消.

好, 下面我们应用二差树方法来计算期权的价格

3.4 二差树方法的应用

由于二差树方法的限制条件比较少, 因此二项式方法的应用范围要超过B-S模型, 尤其是对于美式看涨和美式看跌期权的定价, 我们主要使用二项式方法.

例1 我们考虑一个两年期的欧式看跌期权, 协定价格为$52, 股票的现价为$50. 我们假设以一年为一个时间段, 每个时间段股票价格或者上升20%, 或者下降20%. 无风险利率为5%每年. 求该欧式看跌期权的价格.

例2 假设上面的看跌期权为美式看跌期权, 求该期权的价格.

(讲解: 到目前为止, 我们都假设期权是看跌期权. 现在我们考虑如何用二项式模型来求美式期权的价格. 计算过程是从后往前推出期权的价格, 然后在每个结点去检验是否可以提前执行期权. 也就是比较:

a按照二项式模型计算的期权价格.

b提前执行期权的收益 (期权的内在价值).

下图显示了如果在美式期权的条件下, 期权价格是如何被改变的. 股票价格和风险中性概率都没有改变, 在最后结点上的期权价值也没有改变.

在结点B, 二项式模型得出的期权价格为1.4147, 而提前执行美式看跌期权的收益是负值( =-8). 由此可见, 在结点B提前执行看跌期权是不明智的, 那么在结点B的看跌期权价值是1.4147.

在结点C, 二项式模型得出的期权价格是9.4636, 而提前执行看跌期权的收益是12. 在这个情况下, 提前执行是最优的选择, 因此结点C的期权价格是12.

在最初的结点A的价值为:

提前执行的收益是2.0. 在这里, 提前执行看跌期权是不明智的. 因此, 看跌期权的价值是$5.0894.

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