第三章 二维随机变量及其联合概率分布
考试内容：
二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 / 连续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度/ 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概率分布 / 两个随机变量的函数的概率分布
考试要求：
1、理解二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。
2、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。
3、理解随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立的条件；理解随机变量的不相关性与独立性的关系。
4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。
5、掌握根据两个随机变量的联合概率分布求其函数概率分布的方法。
一、知识要点
1、二维随机变量的分布函数
的联合分布函数
，
性质:，单调不减，右连续，
，
，
，
；
X的边缘分布函数：；
Y的边缘分布函数：.
2、二维离散型随机变量
联合分布律：，
，一般用矩形表格列出；
边缘分布律：，
，
.
3、二维连续型随机变量
若，称
为
的联合密度函数；
的性质:
(1)；
(2)；
(3)若连续，则
；
(4)；
边缘密度:；
；
二维均匀分布：，
为
的面积；
二维正态分布：
其边缘分布分别为一维正态分布，
.
4、随机变量的独立性
若，称
与
相互独立；
离散型：，
；
连续型：
，
.
5、条件分布
离散型：在条件下X的条件分布为
，
.
6、二维随机变量函数的分布
主要研究的分布：
连续型，卷积公式：或
；
若相互独立，则
或
；
可加性定理：
(1) 设，
，且
相互独立，则
；
(2) 设，
，且
相互独立，则
;
(3) 设，
，且
相互独立，则有
;
推广到有限多个，若，
，且
相互独立，则有
，
称为正态分布的可加性.
二、典型例题
题型1：二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布
【例1】 (研97) 设两个随机变量X和Y相互独立且同分布：，
，则下列各式成立的是 【 】
(A) (B)
(C) (D)
【详解】 由X和Y相互独立知
。
而
，
。
【答案】 应选(A).
【例2】 (研99) 设随机变量，且满足
，则
等于 【 】
(A)0 (B) (C)
(D)1
【详解】 先求联合分布：
由于，所以
，即
，
由联合与边缘分布的关系得 ，
，
所以 ，
【答案】 应选(A).
【例3】 (研09) 设袋中有1个红球，2个黑球和3个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数.
(1) 求；(2) 求二维随机变量
的概率分布.
【详解】 (1)表示在没有取得白球的情况下取了一次红球的概率，相当于在红球和黑球中有放回地从袋中两次取球，其中一个为红球，一个为黑球的概率，故
.
(2)的取值为0，1，2，且
，
，
，
，
，
，
，
故二维随机变量的概率分布如下：
题型2：二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布
【例1】 设随机变量的分布函数为
，试求：
(1) 系数；(2)
的概率密度；(3) 边缘密度函数；(4)
.
【详解】 (1)，
，
，
，
.
(2)的联合概率密度函数为
.
(3) ，
，
或解：边缘分布函数分别为
，
，
求导得边缘密度函数分别为
，
.
(4)
.
【例2】 (研92) 设二维随机变量的概率密度为
，
(1) 求X的边缘密度；(2) 求概率
.
【详解】(1)，
当时，
；
当时，
，
所以 .
(2) .
【例3】 (研95) 设二维随机变量的联合密度函数为
，
求的联合分布函数.
【详解】，分块计算，
当或
时，显然
；
当且
时，
；
当且
时，
；
当且
时，
；
当且
时，
，
综上所述，
.
题型3：二维随机变量函数的分布
【例1】 (研01) 设二维随机变量在正方形
上服从均匀分布，试求随机变量
的概率密度函数
.
【详解】 由题设知，
的联合密度函数为
，
先求的分布函数
，
当时，
；当
时，
；
当时，
，
于是 .
【例2】 (研03) 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
，
而Y的概率密度为，求随机变量
的概率密度
.
【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.
【详解】 设是Y的分布函数，则由全概率公式，知
的分布函数为
.
由于X和Y相互独立，可见
，
由此，得U的概率密度
.
【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性。
【例3】 (研07) 设二维随机变量的概率密度为
(1) 求；
(2) 求的概率密度
.
【详解】(1) .
(2) 方法一： 先求Z的分布函数：
当时,
；
当时,
；
当时,
；
当时,
.
故的概率密度
.
方法二：，
，
当或
时,
；
当时,
；
当时,
；
故的概率密度
.
【例4】 (研08) 设随机变量独立同分布且X分布函数为
，则
的分布函数为 【 】
(A) (B)
(C) (D)
【详解】 独立同分布
.
【答案】应选(A).
【例5】 (研08) 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为，Y的概率密度为
，记
.
(1) 求；(2) 求Z的概率密度．
【详解1】 (1) .
(2) 先求Z的分布函数，
当时，
；当
时，
；
当时，由全概率公式，
，
所以Z的密度函数为
.
【详解2】 当时，
；
当时，
；
当时，
；
综合如下 ，
所以Z的概率密度为 .
【例6】 (研09) 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布，Y的概率分布为
，记
为随机变量
的分布函数，则函数
的间断点个数为 【 】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【详解】
，
因为X与Y相互独立，所以 ，
显然是
唯一的间断点.
【答案】 应选(B).
题型4：随机变量的独立性与相关性
【例1】 (研90) 一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)，已知X和Y的联合分布函数为
，
(1) 问X和Y是否独立？
(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率.
【详解】 由题设条件知，X和Y的边缘分布函数分别为
，
.
(1) 由上式知，故X和Y相互独立.
(2)
.
【例2】 (研05) 设二维随机变量的概率分布为
若随机事件与
相互独立，则
【答案】应填.
【分析】 首先所有概率求和为1，可得。其次，利用事件的独立性又可得一个等式，由此可确定
的取值.
【详解】 由题设，知；
又事件与
相互独立，于是有
，
即 , 由此可解得
。
【例3】 (研06) 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则
= .
【答案】应填.
【详解】因为X与Y服从上的均匀分布，则有
，
再由X与Y相互独立，有
.
【例4】 设二维随机变量的联合概率密度为
，
证明：X与Y不独立，但与
独立.
【详解】 先求边缘分布，
，
，
因为，所以X与Y不独立；
再计算与
的分布函数，
，
，
再计算与
的联合分布函数，
，
于是有 ，即
与
独立.
【评注】 如果X与Y相互独立，则与
也相互独立，但反之不然，本例即说明了这一点.
题型5：综合题
【例1】 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了的联合分布及边缘分布的部分数值，试在空白处填入相应数值。
【详解】，
由独立性，
，
，
，
再由独立性，
，
，
，
，
将所得数字填入，得下表：
【例2】 设袋中有标记为的四张卡片，从中不放回地抽取两张，X表示首次抽到的卡片上的数字，Y表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值。
(1) 求的联合概率分布；
(2) 求X和Y的边缘分布；
(3) 求在条件下Y的条件分布以及在
条件下X的条件分布。
【详解】(1)按题意， X的可能取值为，Y的可能取值为
，
的联合概率分布如下表，其中，
表示卡片上的数字分别为
和
，所以
，其它
可类似求得.
(2) X的边缘分布为 ，
Y的边缘分布为 .
(3) 取定，则把该行各概率除以
，即可得到在
条件下Y的条件分布:
同理， 在条件下X的条件分布为
.
【例3】 (研05) 设二维随机变量的概率密度为
求：(1)的边缘概率密度
；
(2)的概率密度
.
【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度；直接用条件概率公式计算即可.
【详解】 (1) 关于X的边缘概率密度
，
关于Y的边缘概率密度
，
(2) Z的分布函数为，
1) 当时，
；
2) 当时，
，
3) 当时，
即Z的分布函数为
故Z的的概率密度为 .
【评注】 求随机变量函数分布，一般都是通过定义用“分布函数法”计算.
【例4】 设二维随机变量
的联合概率密度为
，
其中G是由和
围成的区域，
(1) 求k；
(2) 求的边缘密度函数；
(3) 求.
【详解】 (1) 由规范性，
，
；
(2)，
当时，
，
当时，
，
所以 ;
而 ；
(3) 记，
则 ，
或解：
.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f3bdc6e6561252d380eb6ee5.html
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