九年级数学上册知识点总结

第一章 证明(二)

【知识整理】

1．三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）

2．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）

3．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）

4．全等三角形的对应边相等、对应角相等。

5．两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）

6．等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

7．有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）

8．等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合。（三线合一）

9．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

10．在直角三角形中如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

11．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

12.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

13.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

14.线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

15.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

16.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

17. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

18. 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

19. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

20.反证法：假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反正法。

【精华提炼】

1．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。（画图说明）

说明:

⊿ABC和⊿ABD中AB=AB，AD=AC，∠B=∠B。但⊿ABC和⊿ABD没有完全重合，所以两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

2．在直角三角形中如果一个锐角等于30°，三边的比为1：：2

在直角三角形中如果一个锐角等于45°，三边的比为1：1：

顶角为120°（底角为30°）的等腰三角形三边的比为1：1：

3．三角形的五心

外心：三角形三边的垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。

内心：三角形的三个内角的平分线的交点，到三边的距离相等。

重心：三角形的三边的中线的交点，到一个顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

垂心：三角形的三条高线的交点。

中心：当三角形为等边三角形时，外心、内心、重心、垂心四心合一称为正三角形的中心。

4． 三角形的一个内角的平分线分对边所成两条线段的比等于夹这个角的两条边的比。

如图，已知AD是∠BAC的平分线，求证：

5.直角三角形斜边上高的求法：

直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边。

6.射影定理的三个结论

7.一种常用的做辅助线的方法：

过一点做某条线的平行线，然后与另一条线段或者其延长线相交构造出全等三角形，从而证明结论。

第二章 一元二次方程

【知识整理】

1.概念：可以化为ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项。

2.解法：

（一）、直接开平方法

形如：（ax+b）2＝m(m≥0)的方程都可以用直接开平方法来解。

（二）、配方法

配方法解一元二次方程的一般步骤是：（1）方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；（2）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程．如果是负数则方程无解。

（三）、公式法

直接套公式：x＝ ( b2-4ac≥0)

（四）、分解因式法

当方程的一边很容易分解因式时，（一般为x2+(p+q)x+pq） 另一边为0时，我们采用因式分解法来解方程

3．应用：

用一元二次方程解应用题的一般步骤

①认真读题，看清楚题目的已知条件和问题。

②找出题目中的等量关系，然后设未知数（注意带单位），列方程

③解方程

④检验方程的根，并且检验方程的解是否是实际问题的解

⑤写出完整的答案（注意带单位）。

【精华提炼】

1．根的判别式⊿=b2-4ac

当⊿>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根。

当⊿=0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根。

当⊿<0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数根。

2. 违达定理

如果方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1,x2 , 那么：

x1+x2= ， x1·x2=

在我们解完一元二次方程后，一定记住用违达定理检验一下，这样可以确保我们所做的工作有效。

3． 方程有0根的条件为c=0，方程有1根的条件为a+b+c=0，方程有-1根的条件为a-b+c=0

4. 如果知道方程的一个根，可以根据方程根的意义将其代入方程，等式成立

5. 用配方法可以求二次三项式的最大值和最小值

用配方法可以将一个二次三项式化为a(x+h)2+k的形式，如果a>0，有最小值k. 如果a<0，有最大值k.

第三章 证明（三）

【知识整理】

1．平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2．平行四边形的对边相等。

3．平行四边形的对角相等。

4．平行四边形的对角线互相平分。

5．两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

6．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

7．对角线互相平分的四边形是平行四边形。

8．两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

9．等腰梯形在同一个底上的两个角相等。

10．同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

11．等腰梯形的两条对角线相等。

12．夹在两条平行线间的平行线段相等。

13．三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半。

14．直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

15．如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

16．矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

17．矩形的四个角都是直角。

18．矩形的对角线相等。

19．有三个角是直角的四边形是矩形。

20．对角线相等的平行四边形是矩形。

21．菱形：有一组对边相等的平行四边形是菱形。

22．菱形的四条边都相等。

23．菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

24．对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

25．四条边都相等的四边形是菱形。

26．菱形的面积等于其对角线乘积的一半。

27．正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形

28．正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

29．正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

30．有一个角是直角的菱形是正方形。

31．对角线相等的菱形是正方形。

32．对角线互相垂直的矩形是正方形。

【精华提炼】

1．顺次连接任意四边形一组对边及对角线中点所得到的四边形是平行四边形。

2．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。当这个四边形的两条对角线相等时连接各边中点得到的是菱形，当这个四边形的两条对角线互相垂直时连接各边中点得到的是矩形，当这个四边形的两条对角线互相垂直且相等时连接各边中点得到的平行四边形是正方形。

3．顺次连接平行四边形各边中点得到的中点四边形是是平行四边形。

4．顺次连接矩形各边中点得到的中点四边形是菱形。

5．顺次连接菱形各边中点得到的中点四边形是矩形。

6．顺次连接正方形各边中点得到的中点四边形是正方形。

第四章 视图与投影

【知识整理】

1．物体在光线的照射下会在地面或者墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。

2．太阳光线可以看成是平行光线，象这样的光线所形成的投影称为平行投影。

3．探照灯，手电筒，路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，象这样的光线所形成的投影称为中心投影。

【精华提炼】

1．在阳光下，上午影子由长变短，中午影子最短，下午影子逐渐变长；方向变化为：先向西，然后偏北，再到正北（正北时最短）再到北偏东，最后向东。

2．在阳光下，同一时刻，物体的影子长度（指落在地面上的影子长度）与物体的高度成正比。

3．同一平面内，两条平行线的平行投影是平行的，不平行的两条线的平行投影是不平行的。

4．垂直的两条直线的平行投影不一定垂直。不垂直的两条线平行投影有可能垂直。

5．画三视图时要不仅注意他们的位置，左视图要画在主视图的右边，俯视图要画在主视图下面，还要注意他们的大小关系：长对正，高平齐，宽相等。

第五章 反比例函数

【知识整理】

1．反比例函数概念: 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成y=k/x（K为常数，K≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的自变量x不能为零。

2．反比例函数y＝的图象是双曲线，当k>0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随，值的增大而减小；当k<0时，图象在第二、四象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。

3．将反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是直线y=x和y=-x

对称中心是原点。

【精华提炼】

1．反比例函数y＝ (k≠0)也可以成y=kx-1 或xy=k (k≠0)的形式.

2．反比例函数关系式中y＝ (k≠0)中，当k>0时，若x>0图象在第一象限，x<0图象在第三象限，当k〈0时，若x>0图象在第四象限，x<0图象在第二象限。

3．在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2，则有S1＝S2＝︱k ︳。

4．反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交，函数图象可以与坐标轴无限接近，但永远不会与x轴和y轴相交。

5．正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，而关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数。用这一小技巧解课本上册最后一页最后一题很轻松。

第六章 频率与概率

【知识整理】

Ⅰ求概率的方法有如下几种：

(1)用概率的计算公式，当实验的结果是有限个，并且是等可能的时候.

(2)用实验的方法，当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率.

(3)可用树状图，求某随机事件发生的概率.

(4)用列表法，求某随机事件发生的概率.

(5)用计算器模拟实验的方法求某随机事件发生的概率.

Ⅱ.建立有关概率知识的统计图

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f7e53f25aff8941ea76e58fafab069dc512247ee.html