条件概率知识点、例题、练习题

条件概率专题

一、知识点

① 只须将无条件概率word/media/image1.gif替换为条件概率word/media/image2.gif，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质

② 在古典概型中---

word/media/image3.gifword/media/image4.gif

3 在几何概型中---

word/media/image3.gifword/media/image5.gif

条件概率及全概率公式

 3.1.对任意两个事件A、B, 是否恒有P(A)≥P(A|B).

答：不是. 有人以为附加了一个B已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率, 从而就一定有P(A)≥P(A|B),  这种猜测是错误的. 事实上,可能P(A)≥P(A|B), 也可能P(A)≤P(A|B), 下面举例说明.

在0,1,…,9这十个数字中, 任意抽取一个数字,令

A={抽到一数字是3的倍数};    B1={抽到一数字是偶数};    B2={抽到一数字大于8}, 那么

    P(A)=3/10, P(A|B1)=1/5, P(A|B2)=1. 因此有 P(A)＞P(A|B1), P(A)＜P(A|B2).

3.2.以下两个定义是否是等价的.

定义1. 若事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),  则称A、B相互独立.

定义2. 若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称A、B相互独立.

答：不是的.因为条件概率的定义为

     P(A|B)=P(AB)/P(B) 或 P(B|A)=P(AB)/P(A)

自然要求P(A)≠0,  P(B)≠0, 而定义1不存在这个附加条件, 也就是说,P(AB)=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的. 事实上,  若P(A)=0由0≤P(AB)≤P(A)=0可知P(AB)=0故 P(AB)=P(A)P(B).

因此定义1与定义2不等价, 更确切地说由定义2可推出定义1,  但定义1不能推出定义2, 因此一般采用定义1更一般化.

3.3.对任意事件A、B, 是否都有         P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)+P(B).

答：是的.由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (*)

因为  P(AB)≥0, 故 P(A+B)≤P(A)+P(B).

由P(AB)=P(A)P(B|A), 因为0≤P(B|A)≤1,故 P(AB)≤P(A);

同理P(AB)≤P(B),  从而 P(B)-P(AB)≥0, 由(*)知 P(A+B)≥P(A).

原命题得证.

3.4.在引入条件概率的讨论中, 曾出现过三个概率: P(A|B), P(B|A), P(AB). 从事件的角度去考察, 在A、B相容的情况下, 它们都是下图中标有阴影的部分, 然而从概率计算的角度看, 它们却是不同的. 这究竟是为什么?

答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别:

P(A|B)的计算基于附加样本空间ΩB;

P(B|A)的计算基于附加样本空间ΩA;

P(AB)的计算基于原有样本空间Ω.

3.5.在n个事件的乘法公式：

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)

中,涉及那么多条件概率, 为什么在给出上述乘法公式时只提及P(A1A2…An-1)>0呢?

答：按条件概率的本意, 应要求P(A1)>0,  P(A1A2)>0, …,  P(A1A2…An-2)>0,           P(A1A2…An-1)>0.

事实上, 由于A1A2A3…An-2A1A2A3…An-2An-1, 从而便有P(A1A2…An-2) ≥P(A1A2…An-1)>0. 这样,  除P(A1A2…An-1)>0作为题设外,  其余条件概率所要求的正概率,  如P(A1A2…An-2) >0, …,  P(A1A2) >0,  P(A1)>0便是题设条件P(A1A2…An-1)>0的自然结论了.

3.6.计算P(B)时,  如果事件B的表达式中有积又有和, 是否就必定要用全概率公式.

答：不是. 这是对全概率公式的形式主义的认识,  完全把它作为一个”公式”来理解是不对的.   其实,  我们没有必要去背这个公式,  应着眼于A1,A2,…,An的结构. 事实上,  对于具体问题,  若能设出n个事件Ai, 使之满足

(*)

就可得    . (**)

这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.

因此,  能否使用全概率公式,  关键在于(**)式, 而要有(**)式,  关键又在于适当地对Ω进行一个分割,  即有(*)式.

3.7.设P(A)≠0,  P(B)≠0, 因为有

(1)若A、B互不相容, 则A、B一定不独立.

(2)若A、B独立, 则A、B一定不互不相容.

故既不互不相容又不独立的事件是不存在的. 上述结论是否正确.

答：不正确. 原命题中的结论(1)(2)都是正确的.  但是由(1)(2)(它们互为逆否命题,  有其一就可以了)只能推出在P(A)≠0,  P(B)≠0的前提下, 事件A、B既互不相容又独立是不存在的,  并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”. 事实上, 恰恰相反,  既不互不相容又不独立的事件组是存在的, 下面举一例.

5个乒乓球(4新1旧),  每次取一个,  无放回抽取三次,  记Ai={第i次取到新球},  i=1, 2, 3. 因为是无放回抽取, 故A1、A2、A3互相不独立, 又A1A2A3={三次都取到新球},  显然是可能发生的,  即A1、A2、A3可能同时发生,  因此A1、A2、A3不互不相容.

3.8.事件A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系? 事件A、B “独立”与“互不相容”又有什么区别和联系?

答：“对立”与“互不相容”区别和联系,  从它们的定义看是十分清楚的, 大体上可由如下的命题概括: “对立” →“互不相容”,  反之未必成立.

至于“独立”与“互不相容”的区别和联系, 并非一目了然.

事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事件的关系,  丝毫未涉及它们的概率, 其关系可借助图直观显示.

事件的独立性是由概率表述的,  即当存在概率关系P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)时,  称A、B是相互独立的.

它们的联系可由下述命题概括: 对于两个非不可能事件A、B,  则有“A、B互不相容” →“A、B不独立”.  其等价命题是: 在P(A)>0与P(B)>0下,  则有“A、B独立” →“A、B不互不相容”(相容). 注意,  上述命题的逆命题不成立.

3.9.设A、B为两个事件,若

0<P(A)<1, 0<P(B)<1. (*)

则A、B相互独立,A、B互不相容, , 这三种情形中的任何两种不能同时成立.

答：在条件(*)下

当A、B相互独立时, 有 P(AB)=P(A)P(B);

当A、B互不相容时, 有 P(AB)<P(A)P(B);

当时, 有 P(AB)>P(A)P(B).

在条件(*)下, 上述三式中的任何两个不能同时成立. 因此,  A、B相互独立,A、B互不相容,   这三种情形中的任何两种不能同时成立.

此结论表明: 在条件(*)下,若两个事件相互独立时,  必不互不相容，也不一个包含另一个,而只能是相容了.

3.10.证明: 若P(A)=0或P(A)=1,  则A与任何事件B相互独立.

答：若P(A)=0, 又,  故0≤P(AB)≤P(A)=0.

于是P(AB)=0=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立.

若P(A)=1, 则.由前面所证知,与任何事件B相互独立.  再由事件独立性的性质知,   与B相互独立, 即A与B相互独立.另种方法证明: 由P(A)=1知,  进而有.

又且AB与互不相容,  故 .

即A与B相互独立.

3.11.设A、B是两个基本事件,  且0<P(A)<1,P(B)>0,   , 问事件A与B是什么关系?

[解1]由已知条件可得 .

由比例性质, 得 .

所以 P(AB)=P(A)P(B).因此事件A与B相互独立.

[解2]由 得

.

因而 .

又 ,

所以 P(B|A)=P(B).

因此事件A与B相互独立.

3.12.是不是无论什么情况,  小概率事件决不会成为必然事件.

答：不是的. 我们可以证明,  随机试验中, 若A为小概率事件, 不妨设P(A)=ε(0＜ε＜1为不论多么小的实数 ), 只要不断地独立地重复做此试验, 则A迟早要发生的概率为1.

事实上, 设Ak={A在第k次试验中发生}, 则P(Ak)=ε,, 在前n次试验中A都不发生的概率为:

.

于是在前n次试验中,  A至少发生一次的概率为

   .

如果把试验一次接一次地做下去,  即让n→∞, 由于0＜ε＜1, 则当n→∞时, 有pn→1.

以上事实在生活中是常见的, 例如在森林中吸烟, 一次引起火灾的可能性是很小的, 但如果很多人这样做,  则迟早会引起火灾.

3.13.只要不是重复试验,  小概率事件就可以忽视.

答：不正确. 小概率事件可不可以忽视, 要由事件的性质来决定, 例如在森林中擦火柴有1%的可能性将导致火灾是不能忽视的, 但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的.

3.14.重复试验一定是独立试验, 理由是: 既然是重复试验就是说每次试验的条件完全相同, 从而试验的结果就不会互相影响, 上述说法对吗?

答：不对. 我们举一个反例就可以证明上述结论是错误的.

一个罐子中装有4个黑球和3个红球, 随机地抽取一个之后, 再加进2个与抽出的球具有相同颜色的球, 这种手续反复进行, 显然每次试验的条件是相同的. 每抽取一次以后, 这时与取出球有相同颜色的球的数目增加，而与取出球颜色不同的球的数目保持不变，从效果上看，每一次取出的球是什么颜色增加了下一次也取到这种颜色球的概率，因此这不是独立试验,此例是一个如同传染病现象的模型，每一次传染后都增加再传染的概率.

3.15.伯努利概型的随机变量是不是都服从二项分布.

答：不一定. 例如某射手每次击中目标的概率是p，现在连续向一目标进行射击，直到射中为止. 此试验只有两个可能的结果：A={命中}； ={未命中}，且P(A)=p. 并且是重复独立试验，因此它是伯努利试验（伯努利概型），设Xk={第k次射中}，Xk显然是一个随机变量，但

        P(Xk=k)=qk-1p，k=1,2,…，其中q=p-1，

可见Xk是服从参数为p的几何分布，而不是二项分布.

3.16.某人想买某本书, 决定到3个新华书店去买, 每个书店有无此书是等可能的. 如有, 是否卖完也是等可能的. 设3个书店有无此书, 是否卖完是相互独立的. 求此人买到此本书的概率.

答：(37/64).

3.17.在空战中, 甲机先向乙机开火, 击落乙机的概率是0.2;  若乙机未被击落, 就进行还击, 击落甲机的概率是0.3,  则再进攻乙机, 击落乙机的概率是0.4. 在这几个回合中,

(1)  甲机被击落的概率是多少?

(2) 乙机被击落的概率是多少?

答：以A表示事件“第一次攻击中甲击落乙”, 以B表示事件“第二次攻击中乙击落甲”, 以C表示事件“第三次攻击中甲击落乙”.

(1)甲机被击落只有在第一次攻击中甲未击落乙才有可能, 故甲机被击落的概率为

.

(2)乙机被击落有两种情况. 一是第一次攻击中甲击落乙, 二是第三次攻击中甲击落乙, 故乙机被击落的概率是

=0.2+(1-0.2)(1-0.3)×0.4=0.424.

3.18.某个问题, 若甲先答, 答对的概率为0.4; 若甲答错, 由乙答, 答对的概率为0.5. 求问题由乙答出的概率.

答：(0.3)

3.19.有5个人在一星期内都要到图书馆借书一次, 一周内某天借书的可能性相同, 求

(1)5个人都在星期天借书的概率;

(2)5个人都不在星期天借书的概率;

(3)5个人不都在星期天借书的概率.

答： (1)(1/75);

         (2)(65/77);

         (3)(1-1/75).

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三、练习题

1．已知P(B|A)= word/media/image68.gif,P(A)= word/media/image69.gif,则P(AB)=( )

A．word/media/image70.gif B. word/media/image71.gif C．word/media/image72.gif D. word/media/image73.gif

2．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=（ ）

A. word/media/image70.gif B. word/media/image74.gif C. word/media/image75.gif D. word/media/image76.gif

3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是word/media/image77.gif，刮三级以上风的概率为word/media/image78.gif，既刮风又下雨的概率为word/media/image79.gif，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）

A. word/media/image80.gif B. word/media/image70.gif C. word/media/image81.gif D. word/media/image82.gif

4．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是.

５．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则

（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？

（2）先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？

６．某种元件用满6000小时未坏的概率是word/media/image83.gif，用满10000小时未坏的概率是word/media/image84.gif，现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率

7．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表

（1）求这个代表恰好在第一小组内的概率（2）求这个代表恰好是团员代表的概率

（3）求这个代表恰好是第一小组内团员的概率

（4）现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率

8．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占30％，甲厂产品合格率是95％，乙厂合格率是80％，则(1)市场上灯泡的合格率是多少？

(2)市场上合格品中甲厂占百分之几？（保留两位有效数字）

9．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率？（每个小孩是男孩和女孩的概率相等）

10．在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少？

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f882248a59eef8c75ebfb372.html