杨辉简介

杨辉简介

　　杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，中国南宋数学家和数学教育家、由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷、

　　〔一〕要紧著述

　　杨辉一生留下了大量的著述，它们是：《详解九章算法》12卷(1261年)，《日用算法》2卷(1262年)，《乘除通变本末》3卷(1274年，第3卷与他人合编)，《田亩比类乘除捷法》2卷(1275年)，《续古摘奇算法》2卷(1275年，与他人合编)，其中后三种为杨辉后期所著，一般称之为《杨辉算法》、

　　《详解九章算法》现传本已非全帙，编排也有错乱、从其序言可知，该书乃取魏刘微注、唐李淳风等注释、北宋贾宪细草的《九章算术》中的80问进行详解、在《九章算术》9卷的基础上，又增加了3卷，一卷是图，一卷是讲乘除算法的，居九章之前；一卷是纂类，居书末、今卷首图、卷l乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰诸题、卷6商功的诸同功问题已佚、卷4衰分下半卷、卷5少广存《永乐大典》残卷中，其余存《宜稼堂丛书》中、从残本的体例看，该书对《九章算术》的详解可分为：【一】解题：内容为解释名词术语、题目含义、文字校勘以及对题目的评论等方面、【二】明法、草：在编排上，杨辉采纳大字将贾宪的法、草与自己的详解明确区分出来、【三】比类：选取与《九章算术》中题目算法相同或类似的问题作对比分析、【四】续释注：在前人基础上，对《九章算术》中的80问进一步作注释、杨辉的“纂类” ，突破《九章算术》的分类格局，按照解法的性质，重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类、

　　杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源” ，现在简称为“杨辉三角” 、

　　杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

16 15 20 15 6 1

… …

　　杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边基本上由数字1组成的，而其余的数那么是等于它肩上的两个数之和、

　　《日用算法》，原书不传，仅有几个题目留传下来、从《算法杂录》所引杨辉自序可知该书内容梗概：“以乘除加减为法，秤斗尺田为问，编诗括十三首，通俗的有用算书、

《乘除通变本末》三卷，皆各有题，在总结民间对等算乘除法的改进上作出了重大贡献、上卷叫《算法通变本末》，首先提出“习算纲目”，是数学教育史的重要文献，又论乘除算法、中卷叫《乘除通变算宝》，论以加减代乘除、求【一】九归诸术、下卷叫《法算取用本末》，是对中卷的注解、

《田亩比类乘除捷法》，其上卷内容是《详解九章算法》方田章的延展，所选例子特别贴近实际、下卷要紧是对刘益工作的引述、杨辉在《田亩比类乘除捷法》序中称“中山刘先生作《议古根源》、……撰成直田演段百间，信知田体变化无穷，引用带从开方正负损益之法，前古之所未闻也、作术逾远，罔究本源，非探喷索隐而莫能知之、辉择可作关键提问者重为详悉著述，推广刘君垂训之意、”《田亩比类乘除捷法》卷下征引了《议古根源》22个问题，要紧是二次方程和四次方程的解法、

《续古摘奇算法》上卷首先列出20个纵横图，即幻方、其中第一个为河图，第二个为洛书，其次，四行、五行、六行、七行、八行幻方各两个，九行、十行幻方各一个，最后有“聚五”“聚六”“聚八”“攒九”“八阵”“连环”等图、有一些图有文字说明，但每一个图都有构造方法，使图中各自然数“多寡相资，邻壁相兼”凑成相等的和数、下卷评说《海岛》也有极高的科学价值、

杨辉著作大都注意应用算术，浅近易晓、其著作还广泛征引数学典籍和当时的算书，中国古代数学的一些杰出成果，比如刘益的“正负开方术”，贾宪的“开方作法本源图”“增乘开方法”，幸得杨辉引用，否那么，今天将不复为我们知晓、

〔二〕要紧研究成果

杨辉的数学研究与数学教育工作之重点在于改进筹算乘除计算技术，总结各种乘除捷算法，这是由当时的社会状况决定的、唐代中期以后，社会经济得到较大进展，手工业和商业交易都具有相当的规模，因而，人们在生产、生活中需要数学计算的机会，较前大大增加，这种情况迫切要求数学家们为人们提供便于掌握、快捷准确的计算方法、为适应社会对数学的这种需求，中晚唐时期出现了一些有用的算术书籍、然而，这些书籍除了《韩延算术》，被宋人误认为《夏侯阳算经》而刊刻流传到现在外，都已失传、《韩延算术》大约编写于公元770年前后，书中介绍了特别多乘除捷法的例子、比如，某数乘以42能够化为某数乘以6，再乘以7；某数除以12能够化为某数除以2，再除以6、关于更复杂的问题可同样处理、通过将乘数、除数分解为一位数，能够使运算在一行内实现，简化了运算，提高了速度、韩延还介绍了其他一些简捷算法、比如“身外添加四”、“隔位加二”、北京科学家沈括也总结了增成、重因等捷算法、

杨辉生活在南宋商业发达的苏杭一带，进一步进展了乘除捷算法、他说：“乘除者本钩深致远之法、《指南算法》以‘加减’、‘九归’、‘求一’旁求捷径，学者岂容不晓，宜兼而用之、”在前人的基础上，他提出了“相乘六法”：一曰“单因”，即乘数为一位数的乘法；二曰“重因”，即乘数可分解为两个一位数的乘积的乘法；三曰“身前因”，即乘数末位为一的两位数乘法，比如257×21＝257×20＋257，实际上，“身前因”确实是通过乘法分配律将多位数乘法化为一位数乘法和加法来完成、四曰“相乘”，即通常的乘法；五曰“重乘”，确实是乘数可分解为两因数的积，作两次相乘；六曰“损乘”，是一种以减代乘法，比如，当乘数为9、8、7时，能够10倍被乘数中，减去被乘数的—、【二】三倍、杨辉还进一步进展了唐宋相传的求一算法，总结出了“乘算加法五术”、“除算减法四术”、求一实际上确实是通过倍、折、因将乘除数首位化为一，从而用加减代乘除、杨辉的“乘算加法五术”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“连身加”、乘数为11至19的，用加一位；乘数为l0l至199的，用加二位法；乘数可分为两因数的积，且可用加一或加二时，称为重加；乘数为101至l09时，用隔位加；乘数为21至29、20l至299时，用连身加、其“除算减法四术”即“减一位”、“减二位”、“重减”、“减隔位”，用法与乘算加法类似、

北宋初年出现的一种除法——增成法，在杨辉那儿得到进一步的完善、增成法的优点在于用加倍补数的方法幸免了试商，但关于位数较多的被除数，运算比较繁复，后人改进了它，总结出了“九归古括”，包含44句口诀、杨辉在其《乘除通变算宝》中引《九归新括》口诀32句，分为“归数求成十”、“归数自上加”，“半而为五计”三类、

客观上讲，杨辉不遗余力改进计算技术，大大加快了运算工具改革的步伐、随着筹算歌诀的盛行，运算速度大大加快，以至人们感受到摆弄算筹跟不上口诀、在如此的背景下，算盘便应运而生了，及至元末，差不多广为流行、

纵横图，即所谓的幻方、早在汉郑玄《易纬注》及《数术记遗》都记载有“九宫”即三阶幻方，千百年来一直被人披上神奇的色彩、杨辉创“纵横图”之名、在所著《续古摘奇算法》上卷作出了多种多样的图形、杨辉不仅给出了这些图的编造方法，而且对一些图的一般构造规律有所认识，打破了幻方的神奇性、这是世界上对幻方最早的系统研究和记录、自杨辉以后，明清两代中算家关于纵横图的研究相继不断、

杨辉的另一重要成果是垛积术、这是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数求和的研究、在《详解九章算法》和《算法通变本末》中记叙了假设干二阶等差级数求和公式、

对数学重新分类也是杨辉的重要数学工作之一、杨辉在详解《九章算术》的基础上，专门增加了一卷“纂类”，将《九章》的方法和246个问题按其方法的性质重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类、

杨辉不仅是一位著述甚丰的数学家，而且依旧一位杰出的数学教育家、他一生致力于数学教育和数学普及，其著述有特别多是为了数学教育和普及而写、《算法通变本末》中载有杨辉专门为初学者制订的“习算纲目”，它集中表达了杨辉的数学教育思想和方法、

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