概率论与数理统计基本公式
第一部分 概率论基本公式
1、2、对偶率:
3、概率性率:
4、古典概型
5、条件概率
例:有三个罐子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑4个球,3号装有2红2黑4个球,某人随机从其中一罐,再从该罐中任取一个球,(1)求取得红球的概率;(2)如果取得是红球,那么是从第一个罐中取出的概率为多少?
6、独立事件
(1)P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。
(2)伯努利概型
如果随机试验只有两种可能结果:事件A发生或事件A不发生,则称为伯努利试验,即:
P(A)=p, (0 相同条件独立重复n次,称之为n重伯努利试验,简称伯努利概型。 伯努利定理: (k=0,1,2……) 事件A首次发生概率为: 例:设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,(1)进行5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率。 第二章 7、常用离散型分布 (1)两点分布:若一个随机变量X只有两个可能的取值,且其分布为: (0 )则称X服从处参数为p的两点分布。 其中期望E(X)=p,D(X)=p(1-p) (2)二项分布:若一个随机变量X的概率分布由 (k=0,1,2……)给出,则称X服从参数为n,p的二项分布,记为:X~b(n,p)(或B(n,p) 其中,当n=1时为0—1分布。 其期望E(X)=np,方差D(X)=np(1-p) (3)泊松分布:若一个随机变量X概率分布为:则称X服从参数为的泊松分布,记为:,其中. 泊松定理:在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为,如果时,,则对任意给定的k, 有,这表明,当n很大时,p接近0或1时,有()。 N≥20,p≤0.05时用泊松分布。其期望方差相等,即:E(X)=D(X)=。 8、常用连续型分布 (1)均匀分布:若连续随机变量X的概率密度为则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。其中,分布函数为: 其期望E(X)=,方差D(X)=。 (2)指数分布:若随机变量的概率为,则称X服从参数为的指数分布,简记为X~e().其分布函数: 其期望E(X)=,方差D(X)=. (3)正态分布:若随机变量X的概率密度为,则称X服从参数为μ和的正态分布,记为X~N(μ,),其中μ和(>0)都是常数。分布函数为:。当称为标准正态分布,概率密度函数为:分布函数为: 定理:设 其期望E(X)= μ,D(X)=。 9、随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数分布一般方法:先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值,然后通过Y的每一个可能的取值(i=1,2,……)来确定Y的概率分布。 (2)连续型随机变量函数分布方法:设已知X的分布函数或者概率密度,则随机变量Y=g(X)的分布函数,其中,,进而可通过Y的分布函数,求出Y的密度函数。 例:设随机变量X的密度函数为,求随机变量 10、设随机变量X~N(,Y=也服从正态分布.即。 11、联合概率分布(1)离散型联合分布: (2)连续型随机变量函数的分布: 例:设随机变量(X,Y)的密度函数 求,,D(X+Y). 解:①当0≤x≤2时由,得:,当x<0或x>2时,由,所以, 同理可求得:; ② E(X)=,由对称性同理可求得,E(Y)=7/6。 ③因为E(XY)= 所以,cov(X,Y)= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6) =-1/36。 ④ 同理得D(Y)=,所以, = ⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)= 12、条件分布:若 13、随机变量的独立性:由条件分布设A={Y≤y},且P{Y≤y}>0,则: ,设随机变量(X,Y)的联合分布概率为F(x,y),边缘分布概率为,若对于任意x、y有: ,即:,则称X和Y独立。 14、连续型随机变量的条件密度函数:设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,边缘概率密度函数为,则对于一切使>0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为:,同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为:,若=几乎处处成立,则称X,Y相互独立。 例:设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为: ,求(1)确定常数c;(2)X,Y的边缘概率密度函数;(3)联合分布函数F(x,y);(4)P{Y≤X}; (5)条件概率密度函数;(6)P{X<2|Y<1} 15、数学期望:(1)离散型: (2)连续型:,因为并不是每一个函数都能积分,所以并非所有随机变量都有数学期望。 数学期望的性质:① E(CX)=CE(X) ① ③设X,Y独立,则E(XY)=E(X)E(Y). 例:10个人随机进入15个房间,每个房间容纳的人数不限,设X表示有人的房间数,求E(X)(设每个人进入房间是等可能的,且各人是否进入房间相互独立) 附:二项分布b(n,p)和两点分布b(1,p)的另一个关系,仍设一个实验只有两个结果:,且P(A)=p,现在将试验独立进行n次,记为n次试验中结果A出现的次数,则,若记 其中: 16、方差:(1) (2)方差性质:①D(CX)=CD(X);②若X.Y相互独立,则: 17、协方差:(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特别,X,Y独立时,有:cov(X,Y)=0. (2)协方差性质:①cov(X,X)=D(X);②cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);③cov(C,Y)=0;④cov(,Y)=⑤随机变量和的方差与协方差的关系. (3)相关系数,性质:①;②若X和Y相互独立,则=0,即X和Y不相关。③若D(X)>0,D(Y)>0,则当且仅当存在常数a,b(),使: 附注: ④设e=E[Y-(,称为用来近似Y的均方差,则:设D(X)>0,D(Y)>0,有:使均方误差达到最小。 18、切比雪夫不等式:设随机变量X的期望E(X)=μ,方差D(X)=,则对于给定任意正数,有: 19、大数定理:设随机变量X,X,……X……相互独立,且具有相同的期望和方差: ,i=1,2,3……,,则对于任意>0,有: 20、中心极限定理;(1)设随机变量X,X,……X……相互独立,服从同一分布,且, i=1,2,3……,则: (2)棣莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量X,X,……X……相互独立,并且都服从参数为p的两点分布,则对任意实数x,有: 第二部分 数理统计 24、点估计常用方法(1)矩估计法:先求E(X),得到一个E(X)与未知参数的式子,用E(X)表示未知参数,再把E(X)用代替即可。 例:已知总体X的概率分布为求参数的矩估计。 (2)最大似然估计:一般方法:a、写出最大似然函数L(;或c、判断并求出最大值点,在最大值点得表达式中,用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。 本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/fe414bccf61fb7360b4c65ba.html
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