高中奥数题及答案

高中奥数题及答案

【篇一：高中数学试题及答案】

择题：本大题共12小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合a?{1,2,3,4,5},b?{(x,y)x?a,y?a,x?y?a}；,则b中所含元素的个数为 （） (a)3(b)6 (c)? (d)??

2、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （）

a.简单随机抽样 b.按性别分层抽样c.按学段分层抽样 d.系统抽样

3、设函数f(x)，g(x)的定义域都为r，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 （）

（a）f(x)g(x)是偶函数

（c）|f(x)|g(x)是奇函数 （b）f(x)|g(x)|是奇函数 （d）|f(x)g(x)|是奇函数

4、直线l过点p(－1,2)，且与以a(－2，－3)，b(4,0)为端点的线段相交，则l的斜率的取值范围是( ) ?2??2?a.?－，5? b.?－，0?∪(0,5] ?5??5?

a,a,...,an，输出a,b，则5、如果执行右边的程序框图，输入正整数n(n?2)和实数12

（）

(a)a?b为a1,a2,...,an的和

a?b

(b)2为a1,a2,...,an的算术平均数

(c)a和b分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数

(d)a和b分别是a1,a2,...,an中最小的数和最大的数

6、设等差数列?an?的前n项和为sn,sm?1??2,sm?0,sm?1?3，

则m?( )

a.3b.4 c.5 d.6

7.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于m,n两点,且m,n关于直线x+2y=0对称,则实数k+m=( )

a.-1b.1c.0d.2

8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

a．16?8?b．8?8?

c．16?16? d．8?16?

（第8题） （第9题）

9、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 （ ） 500?866?1372?cm3cm3cm32048?cm3 a.3b. 3c. 3 d. 3

10、如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为(

)

2323a.550d．不能估计

??x2?2x,x?0?ln(x?1),x?011、已知函数f(x)?

?，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是（ ）

a．(??,0] b．(??,1] c．[?2,1]d．[?2,0]

12、阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯(gauss)函数如[-2]=-2，[-1.5]=- 2，[2.5]=2,则[log211]?[log2]+[log21]+[log23]+[log24]43的值为( )

a、0 b、-2 c、-1 d、

l

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分。

（13）已知向量a,b夹角为45

，且?a?1,2a?b?；则b?_____

(14) 设x,y满足约束条件：?x,y?0??x?y??1?x?y?3?；则z?x?2y的取值范围为

（15）已知a，b，c为圆o上的三点，若

___________． ao?1(ab?ac)2，则ab与ac的夹角为

（16）已知a，b，c分别为?abc三个内角a，b，c的对边，

(2?b)(sina?sinb)?(c?b)sinc，且a?2，则?abc面积的最大值为_____________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17． （本小题满分8分）高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.

(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；

(2)求射击一次，至少命中8环的概率；

(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．

18、（本小题满分8分）已知a,b,c分别为?abc三个内角a,b,c

的对边，acoscsinc?b?c?0

（1）求a （2）若a?2，?abc的面积为；求b,c。

19、（本小题满分8分）已知数列其中?为常数．

（Ⅰ）证明：?an?的前n项和为sn，a1?1，an?0，anan?1??sn?1，an?2?an??；

（Ⅱ）是否存在?，使得

?an?为等差数列？并说明理由．

【篇二：高一数学集合练习题及答案-经典】

一、选择题（每题4分，共40分）

1、下列四组对象，能构成集合的是 （）

a 某班所有高个子的学生b 著名的艺术家

c 一切很大的书d 倒数等于它自身的实数

2、集合{a，b，c }的真子集共有个 （）

a 7b8 c 9 d10

3、若{1，2}?a?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合a的个数是 （）

a.6 b.7c.8 d.9

4、若u={1，2，3，4}，m={1，2}，n={2，3}，则c u（m∪n）=（）

a .{1，2，3} b. {2} c. {1，3，4} d. {4}

x?y?1

5、方程组x?y??1的解集是( )

a .{x=0,y=1} b. {0,1} c. {(0,1)} d. {(x,y)|x=0或y=1}

6、以下六个关系式：0??0?，?0???，0.3?q, 0?n, ?a,b???b,a? ，?x|x2?2?0,x?z?是空集中，错误的个数是 （）

a 4b 3 c 2d 1

7、点的集合m＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( )

a.第一象限内的点集b.第三象限内的点集

c. 第一、第三象限内的点集d. 不在第二、第四象限内的点集

8、设集合a=x?x?2，b=xx?a，若a?b，则a的取值范围是 （ ） a aa?2baa?1 caa?1d aa?2

9、 满足条件m?1?=1,2,3?的集合m的个数是 （ ）

a 1 b2c 3d 4

10、集合p??x|x?2k,k?z?，q??x|x?2k?1,k?z?，??????????????

r??x|x?4k?1,k?z?，且a?p,b?q，则有（ ）

a a?b?p b a?b?q

ca?b?r da?b不属于p、q、r中的任意一个

二、填空题

11、若a?{?2,2,3,4}，b?{x|x?t2,t?a}，用列举法表示12、集合a={x| x+x-6=0}, b={x| ax+1=0}, 若b?a，则a=__________ 2

13、设全集u=2,3,a?2a?3，a=?2,b，cua=?5，则a，b 2????

14、集合a??x|x??3或x?3?，b??x|x?1或x?4?，a?b?____________.

15、已知集合a={x|x?x?m?0}, 若a∩r=?，则实数m的取值范围是16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人.

三、解答题

22222

18、已知二次函数f(x)=x?ax?b,a=xf(x)?2x?22?,试求 f(x)的解析式 2???

219、已知集合a???1,1?，b=xx?2ax?b?0，若b??，且a?b?a 求实数??

a，b的值。

2220、设x,y?r，集合a?3,x?xy?y，b?1,x?xy?x?3，且a=b，求实数x，????

y 的值

答案

一、选择题（每题4分，共40分）

二、填空题（每题3分，共18分）

11、 ?4,9,16? 12、 ?,11,013、32

14、 x|x??3或x?4 15 、 m???1 16、4

三、解答题（每题10分，共40分）

18、由xf(x)?2x?22?得方程x?ax?b?2x有两个等根22 2???

根据韦达定理x1?x2?2?a?44

x1x2?b?484 解得a??422 所以f（x）=x-42x+484 b?484

19解：由a?b?a，b??得b??1?或??1?或?1,?1?

当b??1?时，方程x?2ax?b?0有两个等根1，由韦达定理解得2a?1 b?1

a??1 b?1

a?0 b??12当b???1?时，方程x?2ax?b?0有两个等根—1，由韦达定理解得当b??1,?1?时，方程x?2ax?b?0有两个根—1、1，由韦达定理解得2

x?3x??120、由a=b得解得或 2y??2y??6x?xy?x?3?3x2?xy?y?1,

【篇三：高中数学经典50题(附答案)】

求下列函数的值域：

解法2 令t＝sinx，则f(t)＝－t＋t＋1，∵ |sinx|≤1,∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．

2

本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离

地球相距m万千米和

4

m万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3

?

2

和

?

3

，求该慧星与地球的最近距离。

x2y2

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点f(?c,0)处，椭圆的方程为2?2?1

ab

（图见教材p132页例1）。

?

时，由椭圆的几何意义可知，彗星a只3

??12

能满足?xfa?(或?xfa/?)。作ab?ox于b，则fb?fa?m

3323

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为

?ca2

m?(?c)??ac

故由椭圆第二定义可知得?

2

?4m?c(a?c?2m)?ac3?3

c213?m,?a?2c.代入第一式得m?(4c?c)?c, a322

22?c?m.?a?c?c?m.

33

2

答：彗星与地球的最近距离为m万千米。

3

两式相减得m?

说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a?c，另一个是a?c.

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。

3. a，b，c是我方三个炮兵阵地，a在b正东6km，c在b正北偏西30，相距4km，p为敌炮阵地，某时刻a处发现敌炮阵地的某种信号，由于b，c两地比a距p地远，因此4s后，b，c才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，a若炮击p地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书p249例2）

解：如图，以直线ba为x轴，线段ba的中垂线为y轴建立坐标系，则

?

13

b(?3,0),a(3,0),c(?5,2)，因为pb?pc，所以点p在线段bc的垂直平分线上。

因为kbc??，bc中点d(?4,)，所以直线pd的方程为y?3?

13

(x?4) （1）

又pb?pa?4,故p在以a，b为焦点的双曲线右支上。设p(x,y)，则双曲线方程为

x2y2

??1(x?0)（2）。联立（1）（2），得x?8,y?5， 45

所以p(8,5).因此kpa?

53

?，故炮击的方位角北偏东30?。 8?3

说明：本题的关键是确定p点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。

4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2

米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？

解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为x??2py得p=1.6

2

(p?0)。将b（4,-5）代入

?x2??3.2y船两侧与抛物线接触时不能通过

则a(2,ya)，由22=-3.2 ya得ya = - 1.25 因为船露出水面的部分高0.75米 所以h=︱ya︱+0.75=2米

答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行

[思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。．

5. 如图所示，直线l1和l2相交于点m，l1?l2，点n?l1，以a、b为端点的曲线段c

上任一点到l2的距离与到点n的距离相等。若?amn为锐角三角形，

am?,an?3,且nb6，建立适当的坐标系，求曲线段c的方程。

解：以直线l1为x轴，线段mn的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段c是以点n为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中a、b分别为曲线段c的端点。

设曲线段c的方程为y?2px(p?0)(xa?x?xb,y?0)，其中xa,xb为a、b的横坐标，p?mn，所以m(?

2

pp

,0),n(,0)，由am?,an?3，得22

(xa?(xa?

p2

)?2pxa?17 （1） 2

4p2

，（1）（2）联立解得xa?，代入（1）式，并由p?0 )?2pxa?9（2）

p2

解得?

?p?4?p?2?p?2p

或?，因为?amn为锐角三角形，所以?xa，故舍去?，所

2?xa?1?xa?2?xa?2?p?4

x?1?a

以?

由点b在曲线段c上，得xb?bn?

p

?4，综上，曲线段c的方程为2

y2?8x(1?x?4,y?0)

[思维点拔]

本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，

综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

6. 设抛物线y?4ax(a?0)的焦点为a,以b(a+4,0)点为圆心，︱ab︱为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点m，n。点p是mn的中点。 （1）求︱am︱+︱an︱的值

（2）是否存在实数a，恰使︱am︱︱ap︱︱an︱成等差数列？若存在，求出a，不存在，说明理由。

解：(1)设m,n,p在抛物线准线上的射影分别为m′,n′,p′.

︱am︱+︱an︱=︱mm′︱+︱nn′︱=xm+xn+2a又圆方程

2

[x?(a?4)]2?y2?16

将y?4ax代入得x?2(4?a)x?a?8a?0

2

2

2

?xm?xn?2?4?a?得︱am︱+︱an︱=8

(2)假设存在a

因为︱am︱+︱an︱=︱mm′︱+︱nn′︱=2︱pp′︱

所以︱ap︱=︱pp′︱ ，p点在抛物线上，这与p点是mn的中点矛盾。故a不存在。

2

7. 抛物线y?2px?p?0?上有两动点a，b及一个定点m，f为焦点，若af,mf,bf

成等差数列

（1）求证线段ab的垂直平分线过定点q

（2）若mf?4,oq?6（o为坐标原点），求抛物线的方程。 （3）对于（2）中的抛物线，求△aqb面积的最大值。

解：（1）设a?x1,y1?,b?x2,y2?,m?x0,y0?，则af?x1?

pp

，bf?x2?，22

mf?x0?

x?x2p

，由题意得x0?1，?ab的中点坐标可设为?x0,t?，其中

22

t?

y1?y2

， ?0（否则af?mf?bf?p?0）

2

y1?y2y1?y2

?1x1?x222

y1?y22p

?

2pp

?，故ab的垂直平分线为

y1?y2t

而kab?

y?t?

t

?x?x0?，即t?x?x0?p??yp?0，可知其过定点q?x0?p,0? p

（2）由mf?4,oq?6，得x0?

p2

联立解得p?4,x0?2?y?8x。 ?4,x0?p?6，

2

（3）直线ab：y?t?

2

2

4

?x?2?，代入?y2?8x得y2?2ty?2t2?16?0，t

2

??y1?y2???y1?y2??4y1y2???64?4t，?x1?x2?

2

t22??y1?y2? 16

2

2

t2?16?t2,?ab?4

??

x1?x22?y1?y22

???

12

16?t16?t

，

1

256?t4，又点q?6,0?到ab的距离d????t22

111

?s?aqb?abd?256?t416?t2?4096?256t2?16t4?t6

244?

令

u?4096?256t2?16t4?t6，则u??512t?64t3?6t5，令u??0即

512t?64t3?6t5?0，得t?0或t2??16或t2?

161642

，?t??t??3时333

?s

?aqb

??64

9

6。

[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对

定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

8、已知直线l:y?tan(x?22)交椭圆x?9y?9于a、b两点，若?为l的倾斜角，且ab的长不小于短轴的长，求?的取值范围。 解

：

将

2

2

l

的方程与椭圆方程联立，消去

y

，得

2

(1?9tan2?)x2?362tan2??x?72ta?n?9?0

?6tan2??6?ab??tan?x2?x1??tan??? 22

(1?9tan?)1?9tan?

2

2

由ab?2,得tan??

2

13,???tan??， 333

????5??

,?? 的取值范围是?0,?????

?6??6?

[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l的方程由tan?给出，所以可以认定??

9、已知抛物线y??x与直线y?k(x?1)相交于a、b两点

2

?

2

，否则涉及弦长计算时，还要讨论??

?

2

时的情况。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/052ea3a9366baf1ffc4ffe4733687e21ae45ff25.html