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吉林省吉林市2021届新高考数学三模考试卷含解析

发布时间：2020-08-04   来源：文档文库   
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吉林省吉林市2021届新高考数学三模考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）

A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著 B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关 C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上 D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】
由折线图逐项分析即可求解 【详解】
选项A，B显然正确； 对于C，2.91.60.8，选项C正确；
1.61.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D错. 故选：D 【点睛】
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题
2．如图，已知平面，l，A、B是直线l上的两点，C、D是平面内的两点，且DAl，CBl，AD3，AB6，CB6．P是平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角PBCD的余弦值的最小值是（ ）


A．5 5B．3
2C．1
2D．1
【答案】B 【解析】 【分析】
PBA为所求的二面角的平面角，由DAPCPB得出求出PBA的最大值对应的余弦值 【详解】
PA，求出P在内的轨迹，根据轨迹的特点PBDAl，，l，AD AD，同理BC
DPA为直线PD与平面所成的角，CPB为直线PC与平面所成的角
DPACPB，又DAPCBP90

DAPCPB，PADA1 PBBC2在平面内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系
0，B3，0，设Px，yy0 则A3，2x32y2x322y2，整理可得：x5y16
20为圆心，以4为半径的上半圆 P在内的轨迹为M5，平面PBC平面BC，PBBC，ABBC
PBA为二面角PBCD的平面角，
当PB与圆相切时，PBA最大，cosPBA取得最小值

此时PM4，MB8，MPPB，PB43
cosPBA故选B 【点睛】
PB433 MB82本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．
3．已知纯虚数z满足12iz2ai，其中i为虚数单位，则实数a等于（ ） A．1 【答案】B 【解析】 【分析】
先根据复数的除法表示出z，然后根据z是纯虚数求解出对应的a的值即可. 【详解】
B．1 C．2
D．2 2ai2ai12i22a4ai因为12iz2ai，所以z， 12i12i12i5又因为z是纯虚数，所以22a0，所以a1. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数zabi为纯虚数，则有a0,b0. 4．复数满足zz48i，则复数z在复平面内所对应的点在（ ） A．第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
aa2b24,即可得到z,进而找设zabi(a,bR,则zzabiab48i,可得b822到对应的点所在象限. 【详解】
设zabi(a,bR,则zzabia2b248i,
aa2b24a6b8,,z68i, b8所以复数z在复平面内所对应的点为6,8,在第二象限. 故选:B 【点睛】
本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力. 5．已知集合A={x|x<1}，B={x|3x1}，则 A．AB{x|x0} B．ABR C．AB{x|x1}
D．AB
【答案】A 【解析】
∵集合B{x|3x1} ∴Bx|x0 ∵集合A{x|x1}
∴ABx|x0，ABx|x1 故选A 6．已知向量a(3,1,b(3,3，则向量b在向量a方向上的投影为（A．3 B．3
C．1
D．1
【答案】A 【解析】 【分析】
投影即为bcosaba，利用数量积运算即可得到结论. 【详解】
设向量a与向量b的夹角为，
由题意，得ab331323，a32122，
所以，向量b在向量a方向上的投影为bcosaba2323. 故选：A. ）
【点睛】
本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题. 7． 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（
）
8A．
3B．16
3C．4
3D．8 【答案】A 【解析】 【分析】
由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积． 【详解】
由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2， 直观图如图所示，V故选：A．
18222． 33
【点睛】
本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 8．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为0,的是（ ） A．ylgx1 【答案】B 【解析】 【分析】
分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果. 【详解】
对于A，ylgx1图象如下图所示：
B．yx
12C．y2x D．ylnx


则函数ylgx1在定义域上不单调，A错误； 对于B，yx21x的图象如下图所示：

则yx在定义域上单调递增，且值域为0,，B正确；
x对于C，y2的图象如下图所示：

则函数y2单调递增，但值域为0,，C错误；
x对于D，ylnx的图象如下图所示：

则函数ylnx在定义域上不单调，D错误. 故选：B. 【点睛】
本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题. 9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如：0.51，1.51，已知函数f(x4x232x4（0x2），则函数yf(x的值域为（ ）
1
A．13, 22B．1,0,1
C．1,0,1,2
D．0,1,2
【答案】B 【解析】 【分析】
利用换元法化简fx解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得fx的取值范围，由此求得yf(x的值域. 【详解】 因为f(x41x232x4（0x2），所以y4x41232x41x2232x4，令2xt2（1t4），则f(t121t3t4（1t4），函数的对称轴方程为t3，所以f(tminf(3，22f(tmax313f(x,，所以yf(x的值域为1,0,1. f(1，所以222故选：B 【点睛】
本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识. 210．已知抛物线C:y8x的焦点为F，A若|AF||BF|8，则线段AB、B是抛物线上两个不同的点，的中点到y轴的距离为（ ） A．5 【答案】D 【解析】 【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知|AF||BF|x12x228,继而可求出x1x24,从而可求出AB的中点的横坐标,即为中点到y轴的距离. 【详解】
解：由抛物线方程可知，2p8，即p4，F2,0.设Ax1,y1,Bx2,y2 则AFx12,BFx22，即|AF||BF|x12x228，所以x1x24. 所以线段AB的中点到y轴的距离为故选:D. B．3 C．3
2D．2 x1x22. 2
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A、B两点横坐标的和. 11．sin80cos50cos140sin10（ ） A．3
2B．3
2C．1
2D．1
2【答案】D 【解析】 【分析】
利用109080,1409050，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin50，然后利用两角差的正弦定理，可得结果. 【详解】
由809010,1409050
所以sin10sin9080cos10
cos140cos9050sin50，
所以原式sin80cos50cos80sin50sin8050 所以原式sin301
2故sin80cos50cos140sin10故选：D 【点睛】
1
2本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题. 12．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1V(S上S上S下S下•h）. 3A．2寸 【答案】B 【解析】
B．3寸
C．4寸
D．5寸
19(1021026262试题分析：根据题意可得平地降雨量3，故选B. 3142考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
xy1013．实数x，y满足约束条件x2y20，则zx2y的最大值为__________. y20【答案】10 【解析】 【分析】
画出可行域，根据目标函数截距可求. 【详解】
解：作出可行域如下：

由zx2y得y当y1111xz，平移直线yxz， 222211xz经过点B时，截距最小，z最大 22解得B6,2
zx2y的最大值为10 故答案为：10 【点睛】
考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题. 14．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为_______________. 【答案】【解析】
4试题分析：从编号分别为1，1，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有C10210种不8
21同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A为“取出球的编号互不相同”，
11111则事件A包含了C5C2C2C2C280个基本事件，所以PA808. 21021考点：1.计数原理；1．古典概型.
15．某种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2，且P(3Z30.9974．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(3,3之外的产品件数为_________． 【答案】26 【解析】 【分析】
直接计算100001P(3Z3，可得结果. 【详解】
由题可知：P(3Z30.9974
则质量指标值位于区间(3,3之外的产品件数：
100001P(3Z3100000.002626
故答案为：26 【点睛】
本题考查正太分布中3原则，审清题意，简单计算，属基础题. x2y216．已知双曲线221(a0,b0的一条渐近线经过点(1,2，则该双曲线的离心率为_______. ab【答案】5 【解析】 【分析】
根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示b2a，再由双曲线a，b，c关系表示c5a，最后结合双曲线离心率公式计算得答案. 【详解】
bx2y2因为双曲线为221(a0,b0，所以该双曲线的渐近线方程为yx. abab又因为其一条渐近线经过点(1,2，即2，则b2a，
a22由此可得cab5aec5. a故答案为：5. 【点睛】
本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知函数f(xsinxsinxcos(x26.
（1）求函数f(x的最小正周期； （2）求f(x在0,上的最大值和最小值． 2【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】
1将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期
2根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值
【详解】 （Ⅰ）由题意得

31原式sinxsinx2cosx2sinx
2323sinxsinxcosx 22331cos2xsin2x 443313sin2xcos2x 222433sin2x 234fx的最小正周期为.
（Ⅱ）x0,，
232x32.
3，即x0时，fxmin0；
当2x当2x3332，即x5233. 时， fxmax124综上，得x0时，fx取得最小值为0； 当x5233. 时，fx取得最大值为124【点睛】

本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算正确，属于基础题
18．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点F为线段PC上的点，过A,D,F三点的平面与PB交于点E.将①ABAP，②BEPE，③PBFD中的两个补充到已知条件中，解答下列问题：

（1）求平面ADFE将四棱锥分成两部分的体积比； （2）求直线PC与平面ADFE所成角的正弦值. 【答案】（1）【解析】 【分析】
若补充②③根据已知可得AD平面ABP，从而有ADBP，结合PBFD，可得
56. ；（2）33BP平面ADFE，故有PBAE，而BEPE，得到ABAP，②③成立与①②相同，
①③成立，可得BEPE，所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析; （1）设APAB1，可得AE，进而求出梯形AEFD的面积，可求出VPADFE,VPABCD，即可求出结论；（2）ABADAP1，以A为坐标原点，建立空间坐标系，求出B,C,P坐标，由（1）得BP为平面ADEF的法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解. 【详解】
第一种情况：若将①ABAP，②BEPE作为已知条件，解答如下： （1）设平面ADFE为平面. ∵BC∥AD，∴BC∥平面，而平面∴EF∥BC，又E为PB中点. 设APAB1，则EF平面PBCEF，
11BC. 222,AEPB2，
22在三角形PAB中，PB由ADPA,ADAB知AD平面PAB，

∴ADAE,EFAE， ∴梯形AEFD的面积
SAEFDADEFAE2112232， 228ABAP,BEPE,PBAE，ADPB，
ADAEA,PB平面AEFD，
1113221VPAEFD，VPABCD11，
333828∴VEFABCD故VPAEFDVEFABCD115， 382413VEFABCD58，. 55VPAEFD324（2）如图，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

设ABADAP1，则C(1,1,0,P(0,0,1,B(1,0,0
PB(1,0,1,PC(1,1,1，
由（1）得PB为平面ADFE的一个法向量， 因为cosPC,PBPCPB26，
3|PC||PB|236. 3所以直线PC与平面ADFE所成角的正弦值为第二种情况：若将①ABAP，③PBFD作为已知条件， 则由ADAP,ADAB知AD平面ABP，ADPB， 又PBFD，所以PB平面ADFE，PBAE，

又ABAP，故E为PB中点，即BEPE，解答如上不变. 第三种情况：若将②BEPE，③PBFD作为已知条件， 由PBFD及第二种情况知PBAE，又BEPE， 易知ABAP，解答仍如上不变. 【点睛】
本题考查空间点、线、面位置关系，以及体积、直线与平面所成的角，考查计算求解能力，属于中档题. 19．已知a0，函数f(x|xa||2x6|有最小值7. （1）求a的值；
（2）设m,n0，m4na，求证：【答案】（1）a4.（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由绝对值三解不等式可得f(xa3|x3|，所以当x3时，f(xmina37，即可求出参数的值；
（2）由m4n4，可得m4(n18，再利用基本不等式求出【详解】 解：
（1）∵f(x|xa||2x6||xa||x3||x3||(xa(x3||x3|
119. mn1811的最小值，即可得证； mn1a3|x3|，
∴当x3时，f(xmina37，解得a4. （2）∵m4n4，∴m4(n18，
∴111114(n1m91m4(n15， mn1mn188mn1814(n1m8，即m，n时，等号成立. 3mn13119. ∴mn18当且仅当【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．
231A20．已知矩阵t1的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵A.
141【答案】A12【解析】 【分析】
34. 12根据特征多项式可得f(4(42(413t0，可得t2，进而可得矩阵A的逆矩阵A1. 【详解】
因为矩阵A的特征多项式f((2(13t，所以f(4(42(413t0，所以t2. 因为A23，且212340， 213144212434. 12141所以A24【点睛】
本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解，是基础题. x2cosCxOy21．在直角坐标系中，曲线1的参数方程为（为参数，以坐标原点O为极点，xy22sin轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos． （1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程； （2）设射线OP:的长．
【答案】（1）=4sin；x2y24（2）232 【解析】 【分析】
26与曲线C1交于不同于极点的点A，与曲线C2交于不同于极点的点B，求线段AB1曲线C1的参数方程转换为直角坐标方程为x2(y224．再用极直互化公式求解，曲线C2的极坐标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程(x2y4．
222射线OP与曲线C1的极坐标方程联解求出1＝2，射线OP与曲线C2的极坐标方程联解求出2＝23， 再用 AB12得解
【详解】

解：1曲线C1的参数方程为x2cos22（为参数，转换为直角坐标方程为x(y24．把y22sinxcos，xsin代入得：=4sin
22曲线C2的极坐标方程为4cos．转换为直角坐标方程为(x2y4．
2设射线OP:6与曲线C1交于不同于极点的点A，
所以，解得1＝2．
64sin与曲线C2交于不同于极点的点B，
所以，解得223，
64cos所以AB【点睛】
.1）本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用和的几何意义求线段的长（直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的x,y分别用cos，sin代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决. 22．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABAD，ADC45，AD∥BC，AD2AB2，△ADP为等边三角形，平面PAD底面ABCD，E12232
为AD的中点.

（1）求证：平面PBC平面PCE； （2）点F在线段CD上，且CF3，求平面PAD与平面PBF所成的锐二面角的余弦值. FD2
【答案】（1）见解析（2）【解析】 【分析】
4183 61（1）根据等边三角形的性质证得PEAD，根据面面垂直的性质定理，证得PE底面ABCD，由此证得PEBC，结合CEBC证得BC⊥平面PCE，由此证得：平面PBC平面PCE. （2）建立空间直角坐标系，利用平面PBF和平面PAD的法向量，计算出平面PAD与平面PBF所成的锐二面角的余弦值. 【详解】
（1）证明：∵△PAD为等边三角形，E为AD的中点，∴PEAD ∵平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，
∴PE底面ABCD，BC平面ABCD，∴PEBC 又由题意可知ABCE为正方形，CEBC 又PEECE，∴BC⊥平面PCE
BC平面PBC，∴平面PBC平面PCE
（2）如图建立空间直角坐标系，则E0,0,0，A0,1,0，B1,1,0，C1,0,0，D0,1,0，P(0,0,3，323由已知CFCD，得F,,0，
55523PB(1,1,3,PF,,3
55设平面PBF的法向量为nx,y,z，则
nPBxy3z0 23nPFxy3z055令z3，则x249,y， 55249∴n,,3
55
由（1）知平面PAD的法向量可取为m1,0,0
2452492(35522∴|cosm,n|4183
61
∴平面PAD与平面PBF所成的锐二面角的余弦值为【点睛】
4183. 61本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 23．已知抛物线y22px(p0，过点C(2,0的直线l交抛物线于A,B两点，坐标原点为O，OAOB12. （1）求抛物线的方程；
（2）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程. 【答案】（1）y4x；（2）x3y20或x3y20 【解析】
试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想. 第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，x1x2，代入到OAOB12中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出AB的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程. 试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝1．（*）
2y12y24． 设A(x1，y1，B(x2，y2，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x224p2因为OAOB12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12， 得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x． …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y2－4my＋2＝1． y1＋y2＝4m，y1y2＝2． …6分
设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2－4＝4m2－4， ① 又AB1m2y1y2(1m2(16m232， ② 由①②得(1＋m2(16m2－32 ＝(4m2－42， 解得m2＝3，m3．
所以，直线l的方程为x3y20，或x3y20． …12分 考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/16c646bfa800b52acfc789eb172ded630b1c98d3.html

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