2003年全国统一高考数学试卷（理科）

2003年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

2．（5分）（2003•全国）圆锥曲线的准线方程是（　　）

A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=2

3．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）

A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

4．（5分）（2003•全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（　　）

A． B． C． D．2

5．（5分）（2003•全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（　　）

A． B． C． D．

6．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（　　）

A．2πR2 B． C． D．

7．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（　　）

A．1 B． C． D．

8．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（　　）

A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

9．（5分）（2003•全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（　　）

A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1] B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]

C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1] D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]

10．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（　　）

A．（，1） B．（，） C．（，） D．（，）

11．（5分）（2003•全国）等于（　　）

A．3 B． C． D．6

12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　）

A．3π B．4π C．3 D．6π

二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）

13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是　 　（用数字作答）

14．（4分）（2003•全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是　 　．

15．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　 　种．（以数字作答）

16．（4分）（2003•全国）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是　 　（写出所有符合要求的图形序号）．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．

18．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．

19．（12分）（2003•全国）已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

20．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

21．（12分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

22．（14分）（2003•全国）（1）设{an}是集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3

5 6

9 10 12

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

…

①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

②求a100

（2）设{bn}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知bk=1160，求k．

2003年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

【考点】GS：二倍角的三角函数；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．

【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），

∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．

∴tan2x===﹣×=﹣．

故选：D．

【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．

2．（5分）（2003•全国）圆锥曲线的准线方程是（　　）

A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=2

【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】首先把圆锥曲线方程转化为直角坐标系的方程，然后根据抛物线的准线方程的公式求出准线方程，再转化为极坐标方程即得到答案．

【解答】解：圆锥曲线由极坐标与直角坐标系的关系，

可转化为直角坐标系上的方程，

即为抛物线x2=8y，

则准线方程为y=﹣2，

再转化为极坐标方程为ρsinθ=﹣2．

故选：C．

【点评】此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化，以及抛物线的准线方程的求解问题，属于综合性的问题有一定的难度．

3．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）

A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．

【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，

当x0＞0时，则x0＞1，

故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

故选：D．

【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．

4．（5分）（2003•全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（　　）

A． B． C． D．2

【考点】GS：二倍角的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有

【分析】把函数式展开，可以看出要逆用正弦和余弦的二倍角公式，变为y=Asin（ωx+φ）的形式，在定义域是全体实数的条件下，根据正弦的值域求本题的最值．

【解答】解：∵y=2sinx（sinx+cosx）

∴y=2sin2x+2sinxcosx

∴y=1﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）+1

∵当x∈R时，sin（2x﹣）∈[﹣1，1]

∴y的最大值为+1，

故选：A．

【点评】三角函数是高中一年级数学教学中的一个重要内容，公式繁多应用灵活给学生的学习带来了一定的困难．为了学生掌握这一单元的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式．

5．（5分）（2003•全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有

【分析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，半径是2，半弦长是，则弦心距是1，用点到直线的距离可以求解a．

【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心（a，2），半径是2，半弦长是，则弦心距是1，

圆心到直线的距离：1=∴

故选：C．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是基础题．

6．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（　　）

A．2πR2 B． C． D．

【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有

【分析】将全面积表示成底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值

【解答】解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有

∴h=3R﹣3r

∴S=2πrh+2πr2

=﹣4πr2+6πRr

=﹣4π（r2﹣Rr）

=﹣4π（r﹣）2+πR2

∴当r=时，S取的最大值πR2．

故选：B．

【点评】考查实际问题的最值问题，常转化成函数的最值

7．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（　　）

A．1 B． C． D．

【考点】83：等差数列的性质；73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得．

【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，

则x1+x2=2，x3+x4=2，

由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．

设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，

∴m=，n=．

∴|m﹣n|=．

故选：C．

【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q时，am+an=ap+aq的性质．

8．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（　　）

A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

【考点】KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有

【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．

【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．

将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．

由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．

又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，

所以双曲线的方程是．

故选：D．

【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．

9．（5分）（2003•全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（　　）

A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1] B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]

C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1] D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]

【考点】HV：反三角函数；4R：反函数．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】先用诱导公式求出f（x）=sin（π﹣x），x∈，然后可以反函数的定义求解即可．

【解答】解：函数f（x）=sinx，x∈

所以：函数f（x）=sin（π﹣x），x∈

可得 π﹣x=arcsiny y∈[﹣1，1]

∴f﹣1（x）=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]

故选：D．

【点评】本题考查反函数的求法，是基础题．

10．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（　　）

A．（，1） B．（，） C．（，） D．（，）

【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有

【专题】16 ：压轴题．

【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tanθ=，用排除法解答．

【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，

此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，

则tanθ≠，排除A．B．D，

故选：C．

【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．

11．（5分）（2003•全国）等于（　　）

A．3 B． C． D．6

【考点】6F：极限及其运算；D5：组合及组合数公式．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．

【分析】利用组合数的性质对原式进行等价转化，得到．

【解答】解：∵C22+C32+C42+…+Cn2=C33+C32+C42++Cn2=C43+C42+…+Cn2═Cn+13，

，

∴．

故选：B．

【点评】本题考查数列的极限，解题时要注意组合数的计算和应用．

12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　）

A．3π B．4π C．3 D．6π

【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．

【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．

【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：

（1）一个正方体可以内接一个正四面体；

（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．

则球的半径R=，

∴球的表面积为3π，

故选：A．

【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）

13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是　﹣　（用数字作答）

【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，对于，

有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，

令9﹣2r=3，可得r=3，

当r=3时，有T4=﹣x3，

故答案﹣．

【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．

14．（4分）（2003•全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是　（﹣1，0）　．

【考点】4H：对数的运算性质；7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有

【专题】13 ：作图题；44 ：数形结合法．

【分析】在坐标系中画出函数f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，图象，结合图象判定即可．

【解答】解：利用作图法可以判断f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，

相交于（﹣1，0）前者是单调递减，后者是单调递增．

所以只有﹣1＜x＜0时，log2（﹣x）＜x+1成立

故答案为：（﹣1，0）．

【点评】本题考查对数函数的图象，数形结合法解不等式，是中档题．

15．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　72　种．（以数字作答）

【考点】D5：组合及组合数公式．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题；32 ：分类讨论．

【分析】分类型，选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同，求解即可．

【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33=24种

4色全用时涂色方法：C21•A44=48种

所以不同的着色方法共有72种．

故答案为：72

【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．

16．（4分）（2003•全国）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是　①④⑤　（写出所有符合要求的图形序号）．

【考点】LS：直线与平面平行．菁优网版权所有

【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．

【分析】能得出l⊥面MNP，关键是看平面MNP中有没有与1垂直的直线，逐一判断即可．

【解答】解：如图，设正方体为ABCD﹣A1B1C1D1．

在题图①中，连结AB1，则AB1⊥MN，又AB1是l在面ABB1A1内的射影，

∴l⊥MN．同理，l⊥MP．

∴l⊥平面MNP．故①符合．

在题图②中，延长MP交C1D1的延长线于E，连结NE，若l⊥面MNP，则l⊥NE．

又C1D是l在平面CDD1C内的射影，CD1⊥C1D，

∴l⊥CD1．∴l⊥平面CDD1C1，矛盾．∴②不符合．

在题图③中，平面MNP与题图①中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，

∴题图③不符合．

在题图④中，l⊥MP，l⊥MN，

∴l⊥平面MNP．延长PM交AB于F，取CD的中点G，则GN∥MP，

∴G∈平面MNP．连结FG交BC于H，则H∈平面MNP，可证H是BC的中点．

∴题图④与题图⑤中的平面MNP实为同一平面．

∴⑤也符合．

答案：①④⑤

【点评】点评：本题要先想象直观判断哪些图形符合，再加以推理，考查了空间想象能力、反证法、线面的位置关系等知识，通过这个试题可看出试题在向增加思维量、综合考查同学们的各种能力转化．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．

【考点】A1：虚数单位i、复数；87：等比数列的性质；A8：复数的模．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】本题考查的复数的基本概念及等比数列的性质，由复数z的辐角为60°，我们可以使用待定系数法设出复数Z，然后根据|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项，结合等比数列的性质构造方程，解方程求出待定的系数，即可得到Z值，进而求出复数的模．

【解答】解：设z=（rcos60°+rsin60°i），

则复数z的实部为．

由题设|z﹣1|2=|z|•|z﹣2|，

即：（z﹣1）（﹣1）=|z|

∴r2﹣r+1=r，

整理得r2+2r﹣1=0．

解得r=﹣1，

r=﹣﹣1（舍去）．

即|z|=﹣1．

【点评】解决复数问题时，我们多使用待定系数法，即设出复数的值，然后根据题目中的其它条件，列出方程，解方程求出系数，即可得到未知复数的值．

18．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．

【考点】MI：直线与平面所成的角；L2：棱柱的结构特征；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】（1）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，易证∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，设F为AB中点，连接EF、FC，在三角形EBG中求出此角；

（2）连接A1D，有，建立等量关系，求出点A1到平面AED的距离即可．

【解答】解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，

即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．

设F为AB中点，连接EF、FC，

∵D，E分别是CC1，A1B的中点，

又DC⊥平面ABC，

∴CDEF为矩形，连接DE，

G是△ADB的重心，

∴G∈DF，在直角三角形EFD中，

EF2=FG•FD=FD2，

∵EF=1，∴FD=．

于是ED=，EG=

∵FC=，CD=1

∴AB=2，A1B=2，EB=，

∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin；

（Ⅱ）连接A1D，有

∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，

∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，

则，

，

．

∴，

即A1到平面AED的距离为．

【点评】本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．

19．（12分）（2003•全国）已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；15 ：综合题．

【分析】函数y=cx在R上单调递减，推出c的范围，不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，推出x+|x﹣2c|的最小值大于1，P和Q有且仅有一个正确，然后求出c的取值范围．

【解答】解：函数y=cx在R上单调递减⇔0＜c＜1．

不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔函数y=x+|x﹣2c|在R上恒大于1．

∵x+|x﹣2c|=

∴函数y=x+|x﹣2c|在R上的最小值为2c．

∴不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞．

如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤．

如果P不正确，且Q正确，则c＞1．

∴c的取值范围为（0，]∪（1，+∞）．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，指数函数单调性的应用，是中档题．

20．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

【考点】JF：圆方程的综合应用．菁优网版权所有

【专题】12 ：应用题；16 ：压轴题．

【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．

【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．

在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为

令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，

其中r（t）=10t+60，

若在t时，该城市受到台风的侵袭，

则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，

即，

即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．

答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．

【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．

21．（12分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

【考点】J3：轨迹方程；K4：椭圆的性质．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．

【分析】建立坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据解出E，F，G三点的坐标 参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程．由于参数a的取值范围影响曲线的形状故按参数a的范围来对曲线进行分类．

【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，

据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．

按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）

设=k（0≤k≤1），

由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．

直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y=0，①

直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a=0． ②

从①，②消去参数k，

得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay=0，

整理得．

当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；

当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；

当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；

当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．

【点评】考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状．考查分类讨论的数学思想．

22．（14分）（2003•全国）（1）设{an}是集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3

5 6

9 10 12

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

…

①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

②求a100

（2）设{bn}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知bk=1160，求k．

【考点】8B：数列的应用．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；15 ：综合题；16 ：压轴题．

【分析】（1）①用（t，s）表示2t+2s，先利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从0增加到对应的行数，而纵坐标为行数，就可求出第四行、第五行各数；

②解法一：因为100=（1+2+3+4++13）+9，所以可以知道a100位于第14行第8列，即可求出a100．

解法二：直接把设a100=2s0+2t0，再利用条件确定对应的正整数s0，t0即可．

（2）利用上面的结论可以快速找到{bn}的规律，再结合组合数对其求解即可．

【解答】（1）解：用（t，s）表示2t+2s，下表的规律为

3（0，1）

5（0，2） 6（1，2）

9（0，3） 10（1，3） 12（2，3）

①第四行17（0，4） 18（1，4） 20（2，4） 24（3，4）

第五行33（0，5） 34（1，5） 36（2，5） 40（3，5） 48（4，5）

②解法一：因为100=（1+2+3+4+…+13）+9，所以a100=（8，14）=28+214=16640

解法二：设a100=2s0+2t0，只须确定正整数s0，t0．

数列{an}中小于2t0的项构成的子集为{2t+2s|0≤s＜t＜t0}，

其元素个数为，依题意．

满足等式的最大整数t0为14，所以取t0=14．

因为100﹣C142=s0+1，由此解得s0=8，

∴a100=214+28=16640．

（2）解：bk=1160=210+27+23，

令M={c∈B|C＜1160}（其中，B={2r+2s+2t|0≤r＜s＜t}）

因M={c∈B|c＜210}∪{c∈B|210＜c＜210+27}∪{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}．

现在求M的元素个数：{c∈B|c＜210}={2r&+2s+2t|0≤r＜s＜t＜10}，

其元素个数为C103：{c∈B|210＜c＜210+27}={210&+2s+2r|0≤r＜s＜7}．

某元素个数为C72：{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}={210+27+2r|0≤r＜3}

某元素个数为C107：k=C103+C72+C32+1=145．

另法：规定2r+2t+2s=（r，t，s），bk=1160=210+27+23=（3，7，10）

则b1=20+21+22=（0，1，2）C22

依次为（0，1，3） （0，2，3） （1，2，3） C32

（0，1，4） （0，2，4） （1，2，4） （0，3，4） （1，3，4） （2，3，4） C42

（0，1，9） （0，2，9）（6，8，9） （7，8，9）C92

（0，1，10） （0，2，10）（0，7，10） （1，7，10） （2，7，10） （3，7，10） C72+4

k=（C22+C32++C92）+C72+4=145．

【点评】本题考查数列的应用是数列这一块的难题，适合做压轴题．

考点卡片

1．分段函数的解析式求法及其图象的作法

【知识点的认识】

分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．

【解题方法点拨】

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；

2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．

【命题方向】

分段函数是今后高考的热点题型．常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图形相联系的简单问题．

2．指数函数的单调性与特殊点

【知识点归纳】

1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．

2、同增同减的规律：

（1）y=ax 如果a＞1，则函数单调递增；

（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．

3、复合函数的单调性：

（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；

（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．

3．对数的运算性质

【知识点的认识】

对数的性质：①=N；②logaaN=N（a＞0且a≠1）．

loga（MN）=logaM+logaN； loga=logaM﹣logaN；

logaMn=nlogaM； loga=logaM．

4．反函数

【知识点归纳】

【定义】一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x=g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y=g（x）（x∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f（﹣1）（x） 反函数y=f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域．

【性质】

反函数其实就是y=f（x）中，x和y互换了角色

（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称

（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f（x），定义域是{0} 且 f（x）=C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．

（5）一切隐函数具有反函数；

（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；

（8）反函数是相互的且具有唯一性；

（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．

5．极限及其运算

【知识点的知识】

1．数列极限

（1）数列极限的表示方法：

（2）几个常用极限：

③对于任意实常数，

当|a|＜1时，an=0，

当|a|=1时，若a=1，则an=1；若a=﹣1，则an=（﹣1）n不存在

当|a|＞1时，an=不存在．

（3）数列极限的四则运算法则：

如果，那么

特别地，如果C是常数，那么．

（4）数列极限的应用：

求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S=（|q|＜1）．

（化循环小数为分数方法同上式）

注：并不是每一个无穷数列都有极限．=a

2．函数极限；

（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作=a或当x→x0时，f（x）→a．

注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x=x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）

如P（x）=在x=1处无定义，但存在，因为在x=1处左右极限均等于零．

（2）函数极限的四则运算法则：

如果，那么

特别地，如果C是常数，那么

．

注：①各个函数的极限都应存在．

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．

（3）几个常用极限：

3．函数的连续性：

（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x=x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x=x0处都连续．

（2）函数f（x）在点x=x0处连续必须满足三个条件：

①函数f（x）在点x=x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x=x0处的极限值等于该点的函数值，即．=f（x0）．

（3）函数f（x）在点x=x0处不连续（间断）的判定：

如果函数f（x）在点x=x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．

①f（x）在点x=x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．

6．一元二次不等式及其应用

【概念】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．

【特征】

当△=b2﹣4ac＞0时，

一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）

当△=b2﹣4ac=0时，

一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．

当△=b2﹣4ac＜0时．

一元二次方程ax2+bx+c=0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．

【实例解析】

例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．

解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0

所以，﹣2＜x＜3

故答案为：（﹣2，3）．

这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．

【一元二次不等式的常见应用类型】

①一元二次不等式恒成立问题：

一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．

②分式不等式问题：

＞0⇔f（x）•g（x）＞0；

＜0⇔f（x）•g（x）＜0；

≥0⇔；

≤0⇔．

7．其他不等式的解法

【知识点的知识】

不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）．

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．

特例：

①一元一次不等式ax＞b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

．

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式

①应用分类讨论思想去绝对值；

②应用数形思想；

③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

8．基本不等式及其应用

【概述】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．

【实例解析】

例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．

A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．

对于C选项中sinx≠±2，

不满足“相等”的条件，

再者sinx可以取到负值．

故选：C．

A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．

例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．

解：当x=0时，y=0，

当x≠0时，=，

用基本不等式

若x＞0时，0＜y≤，

若x＜0时，﹣≤y＜0，

综上得，可以得出﹣≤y≤，

∴的最值是﹣与．

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．

【基本不等式的应用】

1、求最值

例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用

【解题方法点拨】

技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．

技巧二：凑系数

例2：当0＜x＜4时，求y=x（8﹣2x）的最大值．

解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）=8为定值，故只需将y=x（8﹣2x）凑上一个系数即可．

y=x（8﹣2x）=[2x•（8﹣2x）]≤（）2=8

当2x=8﹣2x，即x=2时取等号，当x=2时，y=x（8﹣x2）的最大值为8．

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．

技巧三：分离

例3：求y=的值域．

解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．

y===（x+1）++5，

当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5=9（当且仅当x=1时取“=”号）

技巧四：换元

对于上面例3，可先换元，令t=x+1，化简原式在分离求最值．

技巧五：结合函数f（x）=x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．

技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．

9．等差数列的性质

【等差数列】

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an=a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn=na1+n（n﹣1）或Sn= （n∈N+），另一重要特征是若p+q=2m，则有2am=ap+aq（p，q，m都为自然数）

例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16=0的两个实根．

（1）求此数列{an}的通项公式；

（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．

解：（1）由已知条件得a3=2，a6=8．

又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，

∴a1+2d=2，a1+5d=8，解得a1=﹣2，d=2．

∴an=﹣2+（n﹣1）×2=2n﹣4（n∈N*）．

∴数列{an}的通项公式为an=2n﹣4．

（2）令268=2n﹣4（n∈N*），解得n=136．

∴268是此数列的第136项．

这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．

【等差数列的性质】

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d=0，则为常数列；

（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；

（3）m，n∈N+，则am=an+（m﹣n）d；

（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有

as+at=2ap；

（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．

（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．

（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1=an+an+2，

2an=an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）

（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．

10．等比数列的性质

【等比数列】

（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）． 注：q=1 时，an为常数列．

等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an=a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn=，表示的是前面n项的和．③若m+n=q+p，且都为正整数，那么有am•an=ap•aq．

例：2，x，y，z，18成等比数列，则y=　　．

解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，

则18=2q4，解得q2=3，

∴y=2q2=2×3=6．

故答案为：6．

本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．

【等比数列的性质】

（1）通项公式的推广：an=am•qn﹣m，（n，m∈N*）．

（2）若{an}为等比数列，且k+l=m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al=am•an

（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．

（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q=1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．

11．数列的应用

【知识点的知识】

1、数列与函数的综合

2、等差数列与等比数列的综合

3、数列的实际应用

数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．

12．虚数单位i、复数

【虚数单位i的概念】

i是数学中的虚数单位，i2=﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a=0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b=0叫做实数．复数的模为．

【复数的运算】

①复数的加法，若M=a+bi，N=c+di，那么M+N=（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．

②复数的乘法，若M=a+bi，N=c+di，那么M•N=（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．

【例题解析】

例：定义运算，则符合条件的复数z为．

解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z===3﹣i．

这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．

【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a=0，b≠0，则a+bi为纯虚数．

2、复数相等：a+bi=c+di⇔a=c，b=d（a，b，c，d∈R）．

3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a=c，b+d=0（a，b，c，d∈R）．

4、复数的模：的长度叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=．