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数学破题36计
第31计 解几开门 轨迹遥控
●计名释义
求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.
●典例示范
【例1】 动椭圆过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率e=1. (1求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）2求椭圆长轴长的最大值和最小值.
【思考】 如M（1，2）为右顶点，则左顶点为P（1-2a,2）.椭圆中心为(1-a,2，左准线为y轴.∴a2c1a111-a=0，而e=. ∴=2，有-3a+1=0，a=. 得点P1(,2；如M（1，2）为左顶点，有ca2c332，2）.
32由以上可以预见,所求轨迹是中心为O′(,2的椭圆.
3P2（1，2），∴P1P2中点为（【解答】 （1）设椭圆左顶点为M(x,y，则左焦点为F（x0，y0）=F(x+a-c，y，
a2c1∵e=，且左准线为y轴, ∴xa=0,
ca2得a=x，c=1x|MF|13,•y，由椭圆第二定义：= e=. a=，有： 