2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数 学（理工农医类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M=word/media/image2_1.png，N=
word/media/image3_1.png，则M∩N=
A．word/media/image4_1.png B．
C．
D．
word/media/image2_1.png
2．命题“若word/media/image7_1.png，则
word/media/image8_1.png”的逆否命题是
A．若word/media/image9_1.png，则
word/media/image10_1.png B． 若
word/media/image7_1.png，则
word/media/image10_1.png
C．若word/media/image10_1.png，则
word/media/image9_1.png D． 若
word/media/image10_1.png，则
word/media/image7_1.png
3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（word/media/image13_1.png=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为
=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
5．已知双曲线C ：word/media/image16_1.png的焦距为10 ，点P （2，1）在C 的渐近线上，
则C的方程为
A． B．
word/media/image18_1.png C．
word/media/image19_1.png D．
word/media/image20_1.png
6．函数word/media/image21_1.png的值域为
A． [ -2 ，2] B．word/media/image22_1.png C．[-1，1 ] D．
word/media/image23_1.png
7．在△ABC中，AB=2，AC=3，，则
A ． B．
word/media/image27_1.png C．
word/media/image28_1.png D．
word/media/image29_1.png
8．已知两条直线word/media/image30_1.png：
word/media/image31_1.png和
word/media/image32_1.png：
word/media/image33_1.png (m＞0)，
word/media/image34_1.png与函数
的图像从左至右相交于点A，B ，
word/media/image32_1.png与函数
的图像从左至右相交于点C，D ．记线段AC和BD在
轴上的投影长度分别为a ，b．当m 变化时，
word/media/image38_1.png的最小值为
A．word/media/image39_1.png B．
word/media/image40_1.png C．
word/media/image41_1.png D．
word/media/image42_1.png
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分．
把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）
9．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：word/media/image43_1.png (t为参数)与曲线C2：
word/media/image44_1.png
(
为参数，
) 有一个公共点在
轴上，则a= ．
10．不等式的解集为 ．
11．如图2，过点P的直线与⊙相交于A，B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，
则⊙的半径等于 ．
(二)必做题（12~16题）
12．已知复数
word/media/image51_1.png (
word/media/image13_1.png为虚数单位)，则|z|= ．
13．
word/media/image53_1.png的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
14．如果执行如图3所示的程序框图，输入word/media/image54_1.png，则输出的数S= ．
15．函数的导函数
的部分图像如图4所示，其中，P为图像与
轴的交点，A，C为图像与
word/media/image58_1.png轴的两个交点，B为图像的最低点．
（1）若，点P的坐标为（0，
word/media/image60_1.png），则
word/media/image61_1.png ；
（2）若在曲线段ABC与word/media/image58_1.png轴所围成的区域内随机取一点，
则该点在△ABC内的概率为 ．
16．设word/media/image62_1.png，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前
word/media/image63_1.png个数和后
word/media/image64_1.png个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换．将P1分成两段，每段
word/media/image65_1.png个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段
个数，并对每段作C变换，得到Pi+1．例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．
（1）当N=16时，x7位于P2中的第 个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第 个位置．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工
随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％．
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，
求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）
18．（本小题满分12分） 如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，
BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，
求四棱锥P-ABCD的体积．
19．（本小题满分12分）已知数列的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，
B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1，2，……．
（Ⅰ）若a1=1，a2=5，且对任意word/media/image69_1.png，三个数
word/media/image70_1.png
组成等差数列，求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列word/media/image71_1.png是公比为
word/media/image72_1.png的等比数列的充分必要条件是：对任意
word/media/image69_1.png，
三个数word/media/image70_1.png组成公比为
word/media/image73_1.png的等比数列．
20．（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产Ａ部件6件，或Ｂ部件3件，或Ｃ部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）．
（Ⅰ）设生产Ａ部件的人数为，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；
（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的
时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
21．（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在圆C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线word/media/image74_1.png的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P(x0，y0)（word/media/image75_1.png）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线
上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
22．（本小题满分13分）已知函数，其中a≠0．
（Ⅰ）若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合；
（Ⅱ）在函数的图像上取定两点
，
word/media/image80_1.png
word/media/image81_1.png，
记直线AB的斜率为k．问：是否存在word/media/image82_1.png，使
word/media/image83_1.png成立？
若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．解：∵word/media/image84_1.png，∴N={ x|0≤x ≤1}，则M∩N={0，1}，故选B．
2．解：因为“若word/media/image85_1.png，则
word/media/image86_1.png”的逆否命题为“若
，则
”，
所以其逆否命题是“若word/media/image10_1.png，则
word/media/image9_1.png”， 故选C．
3．解：易知其俯视图可能是A，B， C，也可反过来看D ，其正视图和侧视图不同， 故选D．
【再解】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均
如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱
或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该
几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的
正视图上面应为如图的矩形．
4．解：易知A，B， C是对的，而对于D错在“必为”， 故选D．
【再解】由回归方程为=0．85x-85．71知
随
word/media/image91_1.png的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得知
word/media/image92_1.png，所以回归直线过样本点的中心（
word/media/image93_1.png，
word/media/image94_1.png），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确．
5．解：由焦距为10 得word/media/image95_1.png，∴
word/media/image96_1.png；点P （2，1）在C 的渐近线
word/media/image97_1.png上，
则word/media/image98_1.png，检验答案知A对，故选A．或
，又
，
，
，∴ C的方程为
．故选A
6．解：∵word/media/image103_1.png
word/media/image104_1.png，
∴
word/media/image106_1.png，故选B．
7． 解：∵word/media/image107_1.png，
则word/media/image108_1.png，
又word/media/image109_1.png，
∴，则
，故选A．
8．解：在同一坐标系中作出word/media/image112_1.png，
word/media/image33_1.png(m＞0)，
图像如下图，
由
word/media/image115_1.png= m，得
word/media/image116_1.png，
word/media/image115_1.png=
word/media/image117_1.png，得
word/media/image118_1.png．
依题意得word/media/image119_1.png，
word/media/image123_1.png
word/media/image124_1.png．
word/media/image125_1.png
word/media/image126_1.png，∴
word/media/image127_1.png，故选B．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分．
把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）
9．解：化为普通方程得C1：word/media/image128_1.png、C2：
word/media/image129_1.png，
将其交点代入曲线C2得
，∴
．
10．解：①当时，
word/media/image134_1.png无解；
②当word/media/image135_1.png时，
word/media/image136_1.png，解得
word/media/image137_1.png，则有
word/media/image138_1.png；
③当word/media/image139_1.png时，
word/media/image140_1.png恒成立；
综上得原不等式的解集为．
11． 解：取AB的中点C，连结OA、OB、OC，
由勾股定理得，则：
，故
的半径等于
word/media/image145_1.png．
【再解】设word/media/image148_1.png交
于点C，D，如图，设圆的半径为R，由切割线定理知
word/media/image149_1.png，即
word/media/image150_1.png，∴
．
(二)必做题（12~16题）
12．解：．
或
=
word/media/image154_1.png，∴
．
13．解：因为word/media/image156_1.png，由题意知
word/media/image157_1.png，
所以word/media/image158_1.png，常数项为
word/media/image159_1.png．
14．解：word/media/image160_1.png－1得
word/media/image161_1.png2，
；循环得
word/media/image161_1.png1，
；
word/media/image161_1.png0，
，退出循环，故
word/media/image165_1.png．
15． 解：（1）∵
，将
，
word/media/image167_1.png
代入得word/media/image168_1.png，∴
word/media/image61_1.png3；
（2）借助于（1）word/media/image169_1.png，有
word/media/image170_1.png
由word/media/image171_1.png，
知曲线段与
word/media/image58_1.png轴所围成的区域的面积为2；
，
则该点在△ABC内的概率为．
【再解】或由图知word/media/image176_1.png，
word/media/image177_1.png，设
word/media/image178_1.png的横坐标分别为
word/media/image179_1.png．
设曲线段与x轴所围成的区域的面积为
word/media/image180_1.png，则
word/media/image181_1.png，
由几何概型知该点在△ABC内的概率为word/media/image182_1.png．
16．解：（1）当N=16时，，可设为
；
，即为
；
word/media/image187_1.png，即
word/media/image188_1.png，
故x7位于P2中的第6个位置；
（2）方法同（1），可由word/media/image189_1.png归纳推理知x173位于P4中的第
word/media/image190_1.png个位置．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得word/media/image191_1.png，
word/media/image192_1.png，所以
，
．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次
购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，
将频率视为概率得
word/media/image195_1.png，
word/media/image196_1.png，
，
，
．
X的分布列为
X的数学期望为word/media/image205_1.png．
（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，
word/media/image206_1.png为该顾客前面第
word/media/image207_1.png位顾客的结算时间，则
．
由于各顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以
word/media/image212_1.png．
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为word/media/image213_1.png．
18．（本小题满分12分）
解法1（Ⅰ）如图（1），连接AC．由AB=4，word/media/image214_1.png，
word/media/image215_1.png得
word/media/image216_1.png．
又word/media/image217_1.png，Ｅ是CD的中点，所以
因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以
而word/media/image221_1.png是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）过点Ｂ作 ，分别与
word/media/image223_1.png 相交于
word/media/image224_1.png，连结
word/media/image225_1.png
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE．
于是word/media/image226_1.png为直线ＰＢ与平面PAE所成的角，且
word/media/image227_1.png．
由PA⊥平面ABCD知，word/media/image228_1.png为直线
与平面ABCD所成的角．
由题意因为
所以word/media/image232_1.png由
word/media/image233_1.png
所以四边形word/media/image234_1.png是平行四边形．故
word/media/image235_1.png于是
word/media/image236_1.png
在word/media/image237_1.png中，
word/media/image238_1.png所以
于是又梯形
的面积为
所以四棱锥word/media/image243_1.png的体积为
word/media/image245_1.png
解法2：如图（2），以A为坐标原点，word/media/image246_1.png所在直线分别为
word/media/image247_1.png轴，
word/media/image248_1.png轴，
word/media/image249_1.png轴，
建立空间直角坐标系．设则相关的各点坐标为：
（Ⅰ）易知
因为所以
word/media/image254_1.png
而word/media/image255_1.png是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．
(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，word/media/image256_1.png分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以
word/media/image257_1.png，即
word/media/image258_1.png
由（Ⅰ）知，word/media/image259_1.png又
故
解得
．
又梯形ABCD的面积为word/media/image263_1.png，所以四棱锥
word/media/image264_1.png的体积为
word/media/image265_1.png．
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）对任意word/media/image266_1.png，三个数
word/media/image70_1.png是等差数列，所以
word/media/image267_1.png
即word/media/image268_1.png，亦即
word/media/image269_1.png．
故数列是首项为１，公差为４的等差数列．于是
（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为
的等比数列，则对任意
word/media/image266_1.png，有
．由
word/media/image274_1.png知，
word/media/image275_1.png均大于０，于是
word/media/image276_1.png，
word/media/image277_1.png，
即word/media/image278_1.png＝
word/media/image279_1.png＝
word/media/image280_1.png，所以三个数
word/media/image70_1.png组成公比为
word/media/image280_1.png的等比数列．
（２）充分性：若对任意word/media/image266_1.png，三个数
word/media/image70_1.png组成公比为
word/media/image280_1.png的等比数列，
则．
于是得
，即
．
由word/media/image285_1.png有
word/media/image286_1.png即
word/media/image287_1.png，从而
word/media/image288_1.png．
因为word/media/image289_1.png，所以
word/media/image290_1.png，
故数列是首项为
，公比为
的等比数列．
综上所述，数列是公比为
的等比数列的充分必要条件是：
对任意n∈N﹡，三个数word/media/image275_1.png组成公比为
的等比数列．
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为
word/media/image294_1.png由题设有
其中均为1到200之间的正整数．
（Ⅱ）完成订单任务的时间为
其定义域为
易知，word/media/image299_1.png为减函数，
word/media/image300_1.png为增函数．
注意到word/media/image301_1.png于是
（1）当word/media/image302_1.png时，
word/media/image303_1.png 此时
word/media/image304_1.png．
由函数word/media/image305_1.png的单调性知，当
时
取得最小值，
解得．由于
，而
word/media/image310_1.png，
word/media/image311_1.png．
故当word/media/image312_1.png时完成订单任务的时间最短，且最短时间为
word/media/image313_1.png．
（2）当word/media/image314_1.png时，
word/media/image315_1.png 由于
word/media/image316_1.png为正整数，故
，此时
，
记word/media/image319_1.png，易知
为增函数，则
word/media/image321_1.png
word/media/image322_1.png
word/media/image323_1.png．
由函数word/media/image324_1.png的单调性知，当
word/media/image325_1.png时
word/media/image326_1.png取最小值，解得
．
由于，
而
此时完成订单任务的最短时间大于word/media/image330_1.png．
（3）当word/media/image331_1.png时，
word/media/image332_1.png 由于
word/media/image316_1.png为正整数，故
word/media/image333_1.png，此时
word/media/image334_1.png
由函数word/media/image335_1.png的单调性知，当
word/media/image336_1.png时
取最小值，
解得．类似（1）的讨论．此时完成订单任务的最短时间为
，大于
．
综上所述，当时，完成订单任务的时间最短，此时，生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的
人数分别为44，88，68．
21．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）解法1 设M的坐标为word/media/image341_1.png，由已知得
word/media/image342_1.png．
易知圆word/media/image343_1.png上的点位于直线
word/media/image74_1.png的右侧，于是
word/media/image344_1.png，所以
word/media/image345_1.png．
化简得曲线word/media/image346_1.png的方程为
word/media/image347_1.png．
解法2 由题设知，曲线word/media/image346_1.png上任意一点M到圆心
word/media/image343_1.png
的距离等于
它到直线的距离．因此，曲线
word/media/image346_1.png是以
为焦点，
直线为准线的抛物线．故其方程为
word/media/image347_1.png．
（Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为
，又
word/media/image75_1.png，
则过P且与圆word/media/image343_1.png相切得直线的斜率
存在且不为0，
每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为word/media/image352_1.png，
即word/media/image353_1.png．于是
word/media/image354_1.png
整理得word/media/image355_1.png ①
设过P所作的两条切线word/media/image356_1.png的斜率分别为
word/media/image357_1.png，
则word/media/image357_1.png是方程①的两个实根．故
②
由得
③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为word/media/image361_1.png，
则是方程③的两个实根，所以
word/media/image363_1.png ④
同理可得word/media/image364_1.png ⑤
于是由②，④，⑤三式得
word/media/image365_1.png
word/media/image366_1.png
word/media/image367_1.png．
所以，当P在直线word/media/image368_1.png上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400．
22．（本小题满分13分）已知函数，其中a≠0．
（Ⅰ）若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合；
（Ⅱ）在函数的图像上取定两点
，
word/media/image80_1.png
word/media/image81_1.png，
记直线AB的斜率为k．问：是否存在word/media/image82_1.png，使
word/media/image83_1.png成立？
若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）若，则对一切
，
word/media/image372_1.png，这与题设矛盾．
又word/media/image373_1.png，故
word/media/image374_1.png．
而word/media/image375_1.png令
word/media/image376_1.png，得
word/media/image377_1.png
当word/media/image378_1.png时，
单调递减；
当时，
单调递增．
故当时，
word/media/image383_1.png取最小值
word/media/image384_1.png
于是对一切word/media/image385_1.png恒成立，当且仅当
word/media/image386_1.png． ①
令word/media/image387_1.png则
word/media/image388_1.png
当word/media/image389_1.png时，
单调递增；
当时，
单调递减．
故当时，
word/media/image394_1.png取最大值
．因此，当且仅当
，
即word/media/image397_1.png时，①式成立．
综上所述，word/media/image398_1.png的取值集合为
word/media/image399_1.png．
（Ⅱ）由题意知，word/media/image400_1.png
令word/media/image401_1.png则
word/media/image402_1.png
word/media/image403_1.png
令，则
．
当时，
单调递减；
当word/media/image408_1.png时，
word/media/image409_1.png单调递增．
故当word/media/image410_1.png时，
word/media/image411_1.png即
word/media/image412_1.png
从而word/media/image413_1.png，
又所以
因为函数word/media/image419_1.png在区间
word/media/image420_1.png上的图像是连续不断的一条曲线，
所以存在word/media/image421_1.png，使得
word/media/image422_1.png．又
word/media/image423_1.png单调递增，
故这样的word/media/image424_1.png是唯一的，且
．
故当且仅当时，
．
综上所述，存在word/media/image428_1.png，使
word/media/image429_1.png成立，且
word/media/image430_1.png的取值范围为
word/media/image431_1.png．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1afcc7c771fe910ef12df8df.html
文档为doc格式