四川省2017年高考理科数学试题及答案

四川省2017年高考理科数学试题及答案

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=

A． B． C． D．2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为

A．-80 B．-40 C．40 D．80

5． 已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆

有公共焦点，则C的方程为

A． B． C． D．

6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是

A．f(x)的一个周期为−2π

B．y=f(x)的图像关于直线x=对称

C．f(x+π)的一个零点为x=

D．f(x)在(,π)单调递减

7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，

则输入的正整数N的最小值为

A．5 B．4

C．3 D．2

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A． B． C． D．

9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为

A．-24 B．-3 C．3 D．8

10．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A． B． C． D．

11．已知函数有唯一零点，则a=

A． B． C． D．1

12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为

A．3 B．2 C． D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．

14．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．

15．设函数则满足的x的取值范围是_________。

16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所称角的最小值为45°；

④直线AB与a所称角的最小值为60°；

其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

20．（12分）

已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

21．（12分）

已知函数=x﹣1﹣alnx．

（1）若，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)- =0，M为l3与C的交点，求M的极径．

23．[选修45：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围．

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参考答案

一、选择题：

1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．A

11．C 12．A

11、【解析】由条件，word/media/image59_1.png，得：

word/media/image60_1.png

∴word/media/image61_1.png，即word/media/image62_1.png为word/media/image63_1.png的对称轴，

由题意，word/media/image64_1.png有唯一零点，

∴word/media/image65_1.png的零点只能为word/media/image66_1.png，

即word/media/image67_1.png，

解得word/media/image68_1.png．

12、【解析】由题意，画出右图．

设word/media/image70_1.png与word/media/image71_1.png切于点word/media/image72_1.png，连接word/media/image73_1.png．

以word/media/image74_1.png为原点，word/media/image75_1.png为word/media/image76_1.png轴正半轴，

word/media/image77_1.png为word/media/image78_1.png轴正半轴建立直角坐标系，

则word/media/image79_1.png点坐标为word/media/image80_1.png．

∵word/media/image81_1.png，word/media/image82_1.png．

∴word/media/image83_1.png．

∵word/media/image84_1.png切word/media/image85_1.png于点word/media/image86_1.png．

∴word/media/image87_1.png⊥word/media/image88_1.png．

∴word/media/image89_1.png是word/media/image90_1.png中斜边word/media/image91_1.png上的高．

word/media/image92_1.png

即word/media/image93_1.png的半径为word/media/image94_1.png．

∵word/media/image95_1.png在word/media/image96_1.png上．

∴word/media/image97_1.png点的轨迹方程为word/media/image98_1.png．

设word/media/image99_1.png点坐标word/media/image100_1.png，可以设出word/media/image101_1.png点坐标满足的参数方程如下：

word/media/image102_1.png

而word/media/image103_1.png，word/media/image104_1.png，word/media/image105_1.png．

∵word/media/image106_1.png

∴word/media/image107_1.png，word/media/image108_1.png．

两式相加得：

word/media/image109_1.png

(其中word/media/image110_1.png，word/media/image111_1.png)

当且仅当word/media/image112_1.png，word/media/image113_1.png时，word/media/image114_1.png取得最大值3．

二、填空题：

13． word/media/image115_1.png 14． word/media/image116_1.png 15．word/media/image117_1.png 16．②③

16、【解析】由题意知，word/media/image118_1.png三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1，

故word/media/image120_1.png，word/media/image121_1.png，

斜边word/media/image122_1.png以直线word/media/image123_1.png为旋转轴旋转，则word/media/image124_1.png点保持

不变，

word/media/image125_1.png点的运动轨迹是以word/media/image126_1.png为圆心，1为半径的圆．

以word/media/image127_1.png为坐标原点，以word/media/image128_1.png为word/media/image129_1.png轴正方向，word/media/image130_1.png为

word/media/image131_1.png轴正方向，

word/media/image132_1.png为word/media/image133_1.png轴正方向建立空间直角坐标系．

则word/media/image134_1.png，word/media/image135_1.png，

直线word/media/image136_1.png的方向单位向量word/media/image137_1.png，word/media/image138_1.png．

word/media/image139_1.png点起始坐标为word/media/image140_1.png，

直线word/media/image141_1.png的方向单位向量word/media/image142_1.png，word/media/image143_1.png．

设word/media/image144_1.png点在运动过程中的坐标word/media/image145_1.png，

其中word/media/image146_1.png为word/media/image147_1.png与word/media/image148_1.png的夹角，word/media/image149_1.png．

那么word/media/image150_1.png在运动过程中的向量word/media/image151_1.png，word/media/image152_1.png．

设word/media/image153_1.png与word/media/image154_1.png所成夹角为word/media/image155_1.png，

则word/media/image156_1.png．

故word/media/image157_1.png，所以③正确，④错误．

设word/media/image158_1.png与word/media/image159_1.png所成夹角为word/media/image160_1.png，

word/media/image161_1.png.

当word/media/image162_1.png与word/media/image163_1.png夹角为word/media/image164_1.png时，即word/media/image165_1.png，

word/media/image166_1.png．

∵word/media/image167_1.png，

∴word/media/image168_1.png．

∴word/media/image169_1.png．

∵word/media/image170_1.png．

∴word/media/image171_1.png，此时word/media/image172_1.png与word/media/image173_1.png夹角为word/media/image164_1.png．

∴②正确，①错误．

三、解答题：

17．（1）由word/media/image174_1.png得word/media/image175_1.png，

即word/media/image176_1.png，又word/media/image177_1.png，

∴word/media/image178_1.png，得word/media/image179_1.png.

由余弦定理word/media/image180_1.png.

又∵word/media/image181_1.png代入并整理得

word/media/image182_1.png，故word/media/image183_1.png.

（2） ∵word/media/image184_1.png，

由余弦定理word/media/image185_1.png.

∵word/media/image186_1.png，即word/media/image187_1.png为直角三角形，

则word/media/image188_1.png，得word/media/image189_1.png.

由勾股定理word/media/image190_1.png.

又word/media/image191_1.png，则word/media/image192_1.png，

word/media/image193_1.png.

18．⑴易知需求量word/media/image194_1.png可取word/media/image195_1.png

word/media/image196_1.png

word/media/image197_1.png

word/media/image198_1.png.

则分布列为：

⑵ ①当word/media/image207_1.png时：word/media/image208_1.png，此时word/media/image209_1.png，当word/media/image210_1.png时取到.

②当word/media/image211_1.png时：word/media/image212_1.png

word/media/image213_1.png

此时word/media/image214_1.png，当word/media/image215_1.png时取到.

③当word/media/image216_1.png时，

word/media/image217_1.png

word/media/image218_1.png

此时word/media/image219_1.png.

④当word/media/image220_1.png时，易知word/media/image221_1.png一定小于③的情况.

综上所述：当word/media/image222_1.png时，word/media/image223_1.png取到最大值为word/media/image224_1.png.

19．

⑴ 取word/media/image225_1.png中点为word/media/image226_1.png，连接word/media/image227_1.png，word/media/image228_1.png；

word/media/image229_1.png为等边三角形

∴word/media/image231_1.png

∴word/media/image232_1.png

word/media/image233_1.pngword/media/image234_1.png.

∴word/media/image235_1.png,即word/media/image236_1.png为等腰直角三角形，word/media/image237_1.png

为直角又word/media/image238_1.png为底边word/media/image239_1.png中点

∴word/media/image240_1.png

令word/media/image241_1.png，则word/media/image242_1.png

易得：word/media/image243_1.png，word/media/image244_1.png

∴word/media/image245_1.png

由勾股定理的逆定理可得word/media/image246_1.png

即word/media/image247_1.png

word/media/image249_1.pngword/media/image250_1.png

又∵word/media/image251_1.png

由面面垂直的判定定理

可得word/media/image252_1.png

⑵ 由题意可知word/media/image253_1.png

即word/media/image254_1.png,word/media/image255_1.png到平面word/media/image256_1.png的距离相等

即word/media/image257_1.png为word/media/image258_1.png中点

以word/media/image259_1.png为原点，word/media/image260_1.png为word/media/image261_1.png轴正方向，word/media/image262_1.png为word/media/image263_1.png轴正方向，word/media/image264_1.png为word/media/image265_1.png轴正方向，设word/media/image266_1.png，

建立空间直角坐标系，

则word/media/image267_1.png，word/media/image268_1.png，word/media/image269_1.png，word/media/image270_1.png，word/media/image271_1.png

易得：word/media/image272_1.png，word/media/image273_1.png，word/media/image274_1.png

设平面word/media/image275_1.png的法向量为word/media/image276_1.png，平面word/media/image277_1.png的法向量为word/media/image278_1.png，

则word/media/image279_1.png，解得word/media/image280_1.png

word/media/image281_1.png，解得word/media/image282_1.png

若二面角word/media/image283_1.png为word/media/image284_1.png，易知word/media/image285_1.png为锐角，

则word/media/image286_1.png

20．⑴ 显然，当直线斜率为word/media/image287_1.png时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．

设word/media/image288_1.png，word/media/image289_1.png，word/media/image290_1.png，

联立：word/media/image291_1.png得word/media/image292_1.png，

word/media/image293_1.png恒大于word/media/image294_1.png，word/media/image295_1.png，word/media/image296_1.png．

word/media/image298_1.png

word/media/image299_1.png

word/media/image300_1.pngword/media/image301_1.png

∴，即word/media/image303_1.png在圆word/media/image304_1.png上．

⑵ 若圆word/media/image305_1.png过点word/media/image306_1.png，则

word/media/image308_1.png

word/media/image309_1.png

word/media/image310_1.png

化简得word/media/image311_1.png解得word/media/image312_1.png或word/media/image313_1.png

①当word/media/image314_1.png时，word/media/image315_1.png圆心为word/media/image316_1.png，

word/media/image317_1.png，word/media/image318_1.png，

半径word/media/image319_1.png

则圆word/media/image320_1.png

②当word/media/image321_1.png时，word/media/image322_1.png圆心为word/media/image316_1.png，

word/media/image323_1.png，word/media/image324_1.png，

半径word/media/image325_1.png

则圆word/media/image326_1.png

21．⑴ word/media/image327_1.png，word/media/image328_1.png

则word/media/image329_1.png，且word/media/image330_1.png

当word/media/image331_1.png时，word/media/image332_1.png，word/media/image333_1.png在word/media/image334_1.png上单调增，所以word/media/image335_1.png时，word/media/image336_1.png，不满足题意；

当word/media/image337_1.png时，

当word/media/image338_1.png时，word/media/image339_1.png，则word/media/image340_1.png在word/media/image341_1.png上单调递减；

当word/media/image342_1.png时，word/media/image343_1.png，则word/media/image344_1.png在word/media/image345_1.png上单调递增．

①若word/media/image346_1.png，word/media/image347_1.png在word/media/image348_1.png上单调递增∴当word/media/image349_1.png时word/media/image350_1.png矛盾

②若word/media/image351_1.png，word/media/image352_1.png在word/media/image353_1.png上单调递减∴当word/media/image354_1.png时word/media/image355_1.png矛盾

③若word/media/image356_1.png，word/media/image357_1.png在word/media/image358_1.png上单调递减，在word/media/image359_1.png上单调递增∴word/media/image360_1.png满足题意

综上所述word/media/image361_1.png．

⑵ 当word/media/image362_1.png时word/media/image363_1.png即word/media/image364_1.png

则有word/media/image365_1.png当且仅当word/media/image366_1.png时等号成立

∴word/media/image367_1.png，word/media/image368_1.png

一方面：word/media/image369_1.png，

即word/media/image370_1.png．

另一方面：word/media/image371_1.png

当word/media/image372_1.png时，word/media/image373_1.png

∵word/media/image374_1.png，word/media/image375_1.png，

∴word/media/image376_1.png的最小值为word/media/image377_1.png．

22．⑴ 将参数方程转化为一般方程

word/media/image378_1.png ……①

word/media/image379_1.png ……②

①word/media/image380_1.png②消word/media/image381_1.png可得：word/media/image382_1.png

即word/media/image383_1.png的轨迹方程为word/media/image382_1.png；

⑵将参数方程转化为一般方程

word/media/image384_1.png ……③

联立曲线word/media/image385_1.png和word/media/image386_1.pngword/media/image387_1.png

解得word/media/image388_1.png

由word/media/image389_1.png解得word/media/image390_1.png

即word/media/image391_1.png的极半径是word/media/image392_1.png．

23．⑴ word/media/image393_1.png可等价为word/media/image394_1.png.由word/media/image395_1.png可得：

①当word/media/image396_1.png时显然不满足题意；

②当word/media/image397_1.png时，word/media/image398_1.png，解得word/media/image399_1.png；

③当word/media/image400_1.png时，word/media/image401_1.png恒成立.综上，word/media/image402_1.png的解集为word/media/image403_1.png.

⑵ 不等式word/media/image404_1.png等价为word/media/image405_1.png，

令word/media/image406_1.png，则word/media/image407_1.png解集非空只需要word/media/image408_1.png.

而word/media/image409_1.png.

①当word/media/image410_1.png时，word/media/image411_1.png；

②当word/media/image412_1.png时，word/media/image413_1.png；

③当word/media/image414_1.png时，word/media/image415_1.png.

综上，word/media/image416_1.png，故word/media/image417_1.png.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/332eb47b42323968011ca300a6c30c225801f073.html