2016年甘肃省兰州市中考数学试卷及解析

2016年甘肃省兰州市中考数学试卷及解析

一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。

1. 如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）

（A） （B） （C） （D）

【答案】A

【解析】主视图是从正面看到的图形，从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选 A.

2.反比例函数的图像在（ ）

（A）第一、二象限（B）第一、三象限

（C）第二、三象限（D）第二、四象限

【答案】B

【解析】反比例函数 的图象受到k的影响，当 k 大于 0 时，图象位于第一、三象限，当 k小于 0 时，图象位于第二、四象限，本题中 k ＝2 大于 0，图象位于第一、三象限，所以答案选 B.

3.已知△ABC ∽△ DEF，若 △ABC与△DEF的相似比为，则△ ABC与△DEF对应中线的比为（ ）

（A） （B） （C） （D）

【答案】A

【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为，即对应中线的比为，所以答案选 A.

4.在Rt △ ABC中，∠C＝90° ，sinA＝，BC＝6，则 AB＝（ ）

（A）4 （B）6 （C）8 （D）10

【答案】D

【解析】在Rt △ ABC中，sinA＝＝＝，解得 AB＝10，所以答案选 D.

5.一元二次方程的根的情况（ ）

（A）有一个实数根 （B）有两个相等的实数根

（C）有两个不相等的实数根 （D）没有实数根

【答案】B

【解析】根据题目，∆＝＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选 B.

6.如图，在△ ABC中，DE∥BC，若＝，则＝（ ）

（A） （B） （C） （D）

【答案】C

【解析】根据三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例， 得＝＝，所以答案选 C.

7.如图，在⊙O中，点 C 是 的中点，∠A＝50º ，则∠BOC＝（ ）

（A）40º （B）45º （C）50º （D）60º

【答案】A

【解析】在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50º .根据垂径定理的推论，OC 平分弦 AB所对的弧，所以 OC 垂直平分弦 AB，即∠BOC＝90º− ∠B＝40º ，所以答案选 A.

8.二次函数化为 的形式，下列正确的是（ ）

（A）y=(x+1)2+2 （B）y=(x-1)2+3

（C）y=(x-2)2+2 （D）y=(x-2)2+4

【答案】B

【解析】在二次函数的顶点式 y＝a(x-h)2+k中，h=-=-=1,k=== 3，所以答案选B.

9.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了 1m，另一边减少了 2m，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长。设原正方形的空地的边长为 xm,则可列方程为（ ）

【答案】C

【解析】设原正方形边长为 x m，则剩余空地的长为( x－1) m，宽为 (x－2 ) m，面积为 (x－1)×(x－2)＝18.

10.如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙ O, 四边形 ABCO 是 平行四边形，则 ∠ ADC=（ ）

（A）45º （B) 50º

（C）60º (D) 75º

【答案】C

【解析】连接 OB,则∠OAB＝∠OBA, ∠OCB＝∠OBC，

∵四边形 ABCO 是平行四边形，∴∠OAB=∠OCB，∴∠OBA＝∠OBC，

∴∠ABC＝∠OBA＋∠OBC＝∠AOC，

∴∠ABC＝∠AOC＝120º，

∴∠OAB＝∠OCB＝60º，

连接 OD，则∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC，

由四边形的内角和等于 360º 可知，

∠ADC＝360º －∠OAB－∠ABC－∠OCB－∠OAD－∠OCD，

∴∠ADC＝60º.

11.点均在二次函数的图像上，则的大小关系是（ ）

【答案】D

【解析】将P1,P2,P3坐标分别代入二次函数，可知y1=y2,y3=-15+c，由二次函数的性质可知，该函数图像的顶点坐标为(1,c+1)，且关于x=1对称，在P2到P3为单调递减函数，所以y2>y3，所以y1=y2>y3 .

12.如图，用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 P 旋转了 108º ，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）

（A）πcm (B) 2πcm

(C) 3πcm (D) 5πcm

【答案】C

【解析】利用弧长公式即可求解.

13.二次函数 的图像如图所示，对称轴是直线 x=-1,有以下结论：①abc>0;②;③ 2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是（ ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

【答案】C

【解析】①a＜0,b＜0,c＞0，故正确；②抛物线与 x 轴有两个交点，故正确； ③对称轴为 x＝－1，化简得 2a－b＝0，故错误；④当 x＝－1 时，所对应的 y 值>2,故正确.

14.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（ ）

【答案】A

【解析】∵CE∥BD, DE∥AC，

∴四边形 OCED 是平行四边形，

∴OD＝EC, OC＝DE.

∵矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，

∴OD＝OC.

连接 OE, ∵DE＝2，

∴DC＝2，DE＝，

∴四边形 OCED 的面积为.

15.如图，A、B 两点在反比例函数 的图像上，C、D 两点在反比例函数

的图像上， AC 交 x 轴 于点 E,BD 交 x 轴 于点 F ， AC=2,BD=3,EF= 则 k2-k1=( )

【答案】A

【解析】连接AF，CF，DE，BE，OA，OB，OC，OD，

∵S△ACF=S△AOE+S△EOC+S△AOF+S△COF，

∴||+||+·OF·AC=AC·EF，

∵S△EBD=S△DOF+S△BOF+S△EOD+S△EOB，

∴||+||+·OF·BD=BD·EF，

代入具体数值化简得： -==2，

∴k2-k1=4.

二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分.

16. 二次函数的最小值是 .

【答案】-7

【解析】本题考查二次函数最值问题，可将其化为顶点式.

17. 一个不透明的口袋里装有若干除颜色外完全相同的小球，其中有 6 个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，由此估计口袋中共有小球 个.

【答案】20

【解析】本题为概率问题，考查了概率中的相关概念.

18. 双曲线在每个象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 .

【答案】m ＜ 1

【解析】根据题意得 m-1<0,则 m<1.

19. ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得ABCD 为正方形.

【答案】AC＝BD 或∠BAD＝90° 或∠ABC＝90° 或∠BCD＝90° 或∠CDA＝90°

【解析】由题知四边形 ABCD 为菱形，所以只需一个角为 90 度，或对角线相等.

20.对于一个矩形 ABCD 及⊙M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形 ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”。如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l : 交 x轴于点 M，⊙M 的半径为 2，矩形 ABCD 沿直线 l 运动（BD 在直线 l 上），BD=2，AB ∥y轴，当矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点 C 的坐标为 .

【解析】四边形 ABCD 的四个顶点到其对角线交点的距离相等，只有当该交点在圆上时满足题意.

三、解答题：本大题共 8 小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

21.（本小题满分 10 分，每题 5 分）

(1) +()-1-2cos 45°-(π-2016) 0；

(2)2y2+4y=y+2.

【解】(1) +1. (2)y1=,y2=-2.

22.（本小题满分 5 分）如图，已知 ⊙O，用尺规作 ⊙O的内接正四边形 ABCD.（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

【解】如图，四边形 ABCD 即为所求。过圆心作直线 BD，交⊙O于 B 、 D 两点，作线段 BD 的垂直平分线，交 ⊙O于 A、C 两点，连接 AD、DC、CB、AB ，四边形 ABCD 即为所求的正四边形.

23.（本小题满分 6 分）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从 1，2，…，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次，如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.若小军事先选择的数是 5，用列表法或画树状图的方法求他获胜的概率.

【解法1】列表法：

小军获胜的概率为=.

【解法2】画树状图法：

小军获胜的概率为=.

24.（本小题满分 7 分）如图，一垂直于地面的灯柱， AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 45°夹角（∠CDB=45° ），在 C 点上方 2 米处加固另一条钢缆 ED， ED 与地面成 53° 夹角（∠EDB=53° ），那么钢缆 ED 的长度约为多少米？

（结果精确到 1 米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【解】设BD=x m，则BC=x m，BE=(x+2)m.

在Rt△BDE中， =tan∠EDB，

∴=1.33，x=6.06，

∵=sin∠EDB，

∴ED==≈10.1≈10.

答：钢缆ED的长度约为10米.

25.（本小题满分 10 分）阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图 1 ，我们把一个四边形 ABCD 的四边中点E,F,G,H 依次连接起来得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗？

小敏在思考问题时，有如下思路：连接 AC.

结合小敏的思路作答：

（1）若只改变图 1 中四边形 ABCD 的形状（如图 2），则四边形 EFGH 还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题的方法，解决一下问题.

（2）如图 2，在（1）的条件下，若连接 AC，BD.

①当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？写出结论并证明；

②当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是矩形？直接写出结论.

【解】（1）四边形EFGH还是平行四边形，理由如下：连接AC，

∵E，F分别是AB，BC的中点，

∴EF//AC，EF=AC.

∵G，H分别是CD，AD的中点，

∴GH//AC，GH=AC.

∴EF//GH,EF=GH.

∴四边形EFGH是平行四边形.

(2)①当AC=BD时，四边形EFGH是菱形，理由如下：

由（1）可知四边形EFGH是平行四边形，

当AC=BD时，FG=BD，EF=AC，

∴FG=EF，

∴四边形EFGH是菱形.

②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形.

26.（本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中， OA OB ，AB x 轴于点 C ，点 在反比例函数 的图像上.

（1）求反比例函数的 的表达式；

（2）在 x 轴的负半轴上存在一点 P ，使得S△AOP=S△AOB，求点 P 的坐标；

（3）若将 △BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60º 得到 △BDE ，直接写出点 E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图像上，说明理由.

【解】（1）∵点A（，1）在反比例函数y=的图像上，

∴k=×1=，

∴y=.

（2）∵A（，1），

∴OC=，AC=1.

易得△AOC∽△OBC，则OC2=AC·BC，可得BC=3，∴B（，-3）.

∴S△AOB=××4=2.

∵S△AOP= S△AOB，

∴S△AOP=.

设P（m,0），

∴×|m|×1=，

∴|m|=2.

∵P是x轴的负半轴上一点，

∴m=-2，

∴P（-2，0）.

(3)将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，

此时E（-，-1），点E在反比例函数y=的图像上，理由如下：

∵(-)×（-1）==k，

∴点E在反比例函数y=的图像上.

27.（本小题满分 10 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径， OD AB于点O，分别交AC、CF于点E 、D，且DE ＝DC.

（1）求证： CF 是⊙O 的切线 ；

（2）若⊙O的半径为5，，求DE的长.

【证明】（1）连接OC，则∠A=∠OCA；

∵OD⊥AB，∴∠A+∠AEO=90°，

∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE.

∵∠AEO=∠DEC，∴∠AEO=∠DCE，

∴∠OCA+∠DCE=90°，

∴CF是⊙O的切线.

【解】（2）作DH⊥EC，则∠EDH=∠A.

∵DE=DC，∴EH=HC=EC.

∵⊙O的半径是5，BC=，

∴AB=10，∴AC=3.

∵∠EAO=∠BAC, ∠AOE=∠ACB=90°，

∴△AEO∽△ABC，

∴=，

∴AE==,

∴EC=AC-AE=3-=,

∴EH=EC=.

∵∠EDH=∠A,

∴sin A=sin∠EDH;

即=，

∴DE===.

28.（本小题满分 10 分）如图 1，二次函数 的图像过点 A （3，0）， B （0， 4）两点，动点 P 从 A 出发，在线段 AB 上沿 A → B 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点P作 PD y轴于点 D ，交抛物线于点 C . 设运动时间为 t （秒）.

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 BC ，当t＝ 时，求△BCP 的面积；

（3）如图 2，动点 P 从 A 出发时，动点 Q 同时从 O 出发，在线段 OA 上沿 O→A 的方向以 1个单位长度的速度运动，当点 P 与 B 重合时， P 、 Q 两点同时停止运动，连接 DQ 、 PQ ，将△DPQ沿直线 PC 折叠到 △DPE . 在运动过程中，设 △DPE 和 △OAB重合部分的面积为 S ，直接写出 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围.

【解】（1）∵y=-x2+bx+c的图象过 A（3，0），B（0，4），

∴解得

∴解析式为y=-x2+x+4.

（2）当t=时，AP=，BP=，

∵PC//x轴，∴△BOA∽△BDP， ∴==，

∴==，

∴OD=，DP=2.

当y=时，-x2+x+4=，

解得x1=-1,x2=，

∴C.

∴S△BCP=PC·BD=×(2+1) ×=4.

（3）当0≤t≤时，S=-t2+t.

当≤时，S=t2-t+.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/369088ec2dc58bd63186bceb19e8b8f67d1cef72.html